1、4.2 4.2 整式的加法与减法整式的加法与减法第四章第四章 整式整式的加减的加减知识点知识点同类项同类项知知1 1讲讲11.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作叫作同类项，所有的常数项都是同类项同类项，所有的常数项都是同类项.知知1 1讲讲2.判断同类项的方法判断同类项的方法(1)同类项同类项必须同时满足必须同时满足“两个相同两个相同”：所含字母相同所含字母相同；相同字母的指数也相同，两者缺一不可相同字母的指数也相同，两者缺一不可.(2)是不是是不是同类项有同类项有“两个无关两个无关”：与系数无关；与：与系数无关；与字字母的母的
2、排列顺序无关，如排列顺序无关，如3mn 与与nm 是同类项是同类项.知知1 1讲讲特别解读特别解读1.同类项的对象是同类项的对象是单项式单项式，而不是多项式，而不是多项式，但可以但可以是多项式中的是多项式中的单项式单项式.2.同类项可以有两项，同类项可以有两项，也可以也可以有三项、四项或有三项、四项或更多更多项项，但至少有两项，但至少有两项.知知1 1练练例 1下列各组中的两个式子是同类项的下列各组中的两个式子是同类项的是是()A.2x2y 与与3xy2 B.10ax 与与6bx C.a4 与与x4 D.与与3解题秘方解题秘方：紧扣同类项定义中的两个紧扣同类项定义中的两个“相同相同”进行进行识
3、别识别.解：解：A 中所含字母相同，但相同字母的指数不同；中所含字母相同，但相同字母的指数不同；B，C 中所中所含字母不同；含字母不同；D 中中 是常数，是常数，与与3 是同类项是同类项.D知知1 1练练1-1.中考中考湘潭湘潭 下列整式下列整式与与ab2 为同类项为同类项的的是是()A.a2b B.2ab2C.ab D.ab2cB知知1 1练练期末期末南京浦口区南京浦口区若单项式若单项式3xmy5 与与4x2yn2 是同类是同类项项，则，则mn=_例 2解题秘方解题秘方：根据同类项的定义：所含字母相同且相根据同类项的定义：所含字母相同且相同同字母的字母的指数也相同，列式求解即可指数也相同，列
4、式求解即可解：解：因为单项式因为单项式3 xmy5 与与4 x2yn2 是同类项，是同类项，所以所以m 2，n2 5，即，即n 7.则则mn 99知知1 1练练2-1.如果如果单项式单项式xyb1与与xa 2y3 是同类项，是同类项，那么那么(ab 7)2 024 的的值值为为()A1 B1C2 024 D2 024B知知2 2讲讲知识点知识点合并同类项合并同类项21.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并并同类项同类项.2.合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前前各同类项各
5、同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变的系数的和，且字母连同它的指数不变.知知2 2讲讲3.合并同类项的一般步骤合并同类项的一般步骤知知2 2讲讲4.升降幂排列：把一个多项式各项按某个字母的指数从大升降幂排列：把一个多项式各项按某个字母的指数从大到小到小的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母的降幂排的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母的降幂排列列.若按若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个个多项式按多项式按这个字母的升幂排列这个字母的升幂排列.知知2 2讲讲特别特别解读解读1.合并同类项法则可合并同类项法则可简记简记为为“一相加，两不变一相加，两
6、不变”.其中其中，“一相一相加加”是指是指各同类项各同类项的系数相加的系数相加“；两不变；两不变”是指字母连同是指字母连同它它的的指数不变指数不变.2.合并同类项的过程合并同类项的过程是分配律是分配律的逆用的逆用.3.升升(降降)幂幂排列看的排列看的是某是某一个字母指数的一个字母指数的大小大小，而不是项的次数，而不是项的次数.4.合并同类项的结果合并同类项的结果一般一般需要按照某一需要按照某一字母进行字母进行升升(降降)幂幂排列排列.知知2 2练练母母题题 教材教材P96例例1 合并合并下列各式的同类项：下列各式的同类项：例 3解题秘方：解题秘方：合并同类项：将同类项的系数相加，字合并同类项：
7、将同类项的系数相加，字母和母和字母的字母的指数不变指数不变.知知2 2练练(1)x23x24x1；解解：x2 3x24 x1=x2(3x4 x)(21)=x2(34)x3=x2x3；找同类项，要连同该找同类项，要连同该项项的符号的符号一同标记上一同标记上加法的交换律、结合律加法的交换律、结合律合并同类项，没有同合并同类项，没有同类项的项类项的项，不能，不能漏掉漏掉知知2 2练练(2)3a2b2ab22aba2b5.解解：3a2b2ab22aba2b5=(3a2ba2b)(2ab2ab)(25)=(31)a2b(22)ab3=2a2b3.知知2 2练练3-1.期末期末广州广州天河区天河区 下列各
8、式中正确下列各式中正确的的是是()A2x2y=4xyB3x2 x2=2C3xy 2xy=xyD2x4x=6x2C知知2 2练练3-2.中考中考黄冈黄冈 先先化简化简，再求值：，再求值：4xy2xy(3xy)，其其中中x=2，y=1.解：解：4xy2xy(3xy)4xy2xy3xy5xy.当当x2，y1时，原式时，原式52(1)10.知知2 2练练(1)某某中学七年级一班数学活动中分为三个组，第一中学七年级一班数学活动中分为三个组，第一组有组有a 人，第二组比第一组的一半多人，第二组比第一组的一半多5 人，第三组人，第三组人数等于前两人数等于前两组人数组人数的和，则第三组有的和，则第三组有 _人
9、人；例 4解题秘方：解题秘方：先根据数量关系列出整式，然后合并先根据数量关系列出整式，然后合并同类项同类项得到得到最后结果最后结果.知知2 2练练解题秘方：解题秘方：先根据数量关系列出整式，然后合并同类项先根据数量关系列出整式，然后合并同类项得到得到最后结果最后结果.知知2 2练练3n64xy m2知知3 3讲讲知识点知识点去括号去括号31.去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积的积相加相加.特别地，当括号前没有数字时，看作是特别地，当括号前没有数字时，看作是“1”或或“1”与与括号相乘括号相乘.知知3 3讲讲2.去括号的注意事项去
10、括号的注意事项(1)括号括号内的每一项都包含前面的符号，特别是括号外的内的每一项都包含前面的符号，特别是括号外的数是数是负数时，注意符号；负数时，注意符号；(2)不要不要漏乘括号内的项，特别是常数项漏乘括号内的项，特别是常数项.知知3 3讲讲特别解读特别解读1.去括号的根据是去括号的根据是乘法分配律乘法分配律.2.括号内多项式本来括号内多项式本来是和是和的形式，所以乘的形式，所以乘括括号外号外的数所得的结果的数所得的结果要相加要相加.知知3 3练练例 5解题秘方：解题秘方：直接运用去括号的方法进行化简直接运用去括号的方法进行化简.解解：(1)2(0.5 2x)=20.522 x=14 x；知知
11、3 3练练5-1.下列去括号正确下列去括号正确的是的是()A.a2(2a 1)=a22a1B.a2(2a3)=a22a3C.3a5b(2c1)=3a5b2c1D.(ab)(cd)=abcdC知知3 3练练例 6解题秘方：解题秘方：先利用去括号法则去括号，然后再合并同先利用去括号法则去括号，然后再合并同类项类项.知知3 3练练知知3 3练练解解：3(2s5)6s6s156s15；知知3 3练练3(2x2xy)4(x2xy6)6x23xy4x24xy242x27xy24.期末期末天津河北区天津河北区已知已知2a23b5 0，则则9b6a23 的值的值为为()A18 B15 C12 D16例 7解题
12、秘方：解题秘方：逆用去括号，变化出已知条件，整体代入逆用去括号，变化出已知条件，整体代入求值求值.知知3 3练练解：解：由由2a2 3b5 0，得，得2a2 3b 5.9b 6a233(2a2 3b)33(5)3 18.A知知3 3练练添括号添括号法则法则(拓展拓展)类比去括号法则类比去括号法则,可以得到添括号法则，所添括号可以得到添括号法则，所添括号前前面是面是“”,括到括号里的各项都不改变符号；所添括括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是号前面是“”，括，括到括号里的各项都要改变符号到括号里的各项都要改变符号.简简记为记为“加不变加不变,减全变减全变”.例例abc=a(bc)；abc
13、=a(bc).知知3 3练练7-1.新新考法考法 整体代入整体代入法法若若x3y=4，则则(x3y)22x6y10 的的值为值为_ 14知知3 3练练为落实为落实“双减双减”政策，某校利用课后服务开展了主政策，某校利用课后服务开展了主题题为为“书香满校园书香满校园”的读书活动现需购买甲、乙的读书活动现需购买甲、乙两种读本共两种读本共100 本本供学生供学生阅读，其中甲种读本的价阅读，其中甲种读本的价格为格为10 元元/本，乙种读本的价格本，乙种读本的价格为为8 元元/本，若购买本，若购买甲种读本甲种读本m 本本.例 8解题秘方：解题秘方：先求出购买乙种读本的数量，再求出甲、先求出购买乙种读本的
14、数量，再求出甲、乙乙两种读本两种读本分别花费的钱数，便可解决问题分别花费的钱数，便可解决问题.知知3 3练练(1)购买购买甲、乙两种读本的总费用是多少甲、乙两种读本的总费用是多少？解：由解：由10m8(100m)=10m8008m=8002m，可可知知购买甲、乙两种读本的总费用购买甲、乙两种读本的总费用为为(800 2m)元元.知知3 3练练(2)甲种甲种读本比乙种读本多花多少钱？读本比乙种读本多花多少钱？解：由解：由10m8(100m)=10m8008m=18m800，可知可知甲种读本比乙种读本多花的费用甲种读本比乙种读本多花的费用为为(18m800)元元.知知3 3练练8-1.期期中中鄂州
15、梁鄂州梁子湖子湖区区 某商店有一种某商店有一种商品商品，每件成本，每件成本为为a 元，元，原先原先按成本增加按成本增加b 元元定价出售定价出售，售出，售出30 件件后，后，由于由于库存积压减价，按库存积压减价，按售价售价的的90%出售，又出售，又销售销售70 件件知知3 3练练(1)该该商店销售商店销售100 件这种件这种商品的总销售额商品的总销售额为多少为多少元？元？(2)销售销售100 件件这种商品这种商品共盈利了多少元？共盈利了多少元？解：解：30(ab)70(ab)90%93a93b，即销售即销售100件这种商品的总销售额件这种商品的总销售额为为(93a93b)元元93a93b100a
16、7a93b，即销售即销售100件这种商品共盈利件这种商品共盈利了了(7a93b)元元知知4 4讲讲知识点知识点整式的加减整式的加减41.整式整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有有括号括号就先去括号，然后再合并同类项就先去括号，然后再合并同类项.2.整式的化简求值的步骤整式的化简求值的步骤一化：利用整式加减的运算法则将整式化简一化：利用整式加减的运算法则将整式化简.二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子.三计算：依据有理数的运算法则进行计算三计算：依据有理数的运算法则进行计算.知知4
17、4讲讲特别提醒特别提醒整式加减的结果要最简：整式加减的结果要最简：1.不能有同类项；不能有同类项；2.含字母项的系数含字母项的系数不能出现不能出现带分数，带分数带分数，带分数要化要化成假分数；成假分数；3.一般不含括号一般不含括号.知知4 4练练母母题题 教材教材P101例例8先先化简，化简，再求值：再求值：5(3x2y2xy2)2(3x2y5xy2)，其中其中x=1，y=3例 9解：原式解：原式=15x2y10 xy2 6x2y 10 xy2=9x2y.当当x=1，y=3 时，原式时，原式=9(1)23=27知知4 4练练知知4 4练练例 10解题秘方解题秘方：将将已知已知的多项式的多项式代
18、入要求的式子中，然后代入要求的式子中，然后去括号去括号、合并、合并同类项同类项.知知4 4练练提醒：提醒：要带要带上括号上括号知知4 4练练知知4 4练练(2)若若3yx=2，求，求A2B 的值的值.知知4 4练练有一道题：有一道题：“先化简，再求值：先化简，再求值：17 x2(8x25x)(3x2x3)(5x26x1)3，其中，其中x=2024.”小明做题时把小明做题时把“x=2 024”错抄成了错抄成了“x=2024”，但，但他计算的结果却是正确的，他计算的结果却是正确的，请你请你说明这是什么原因说明这是什么原因.例 11解题秘方解题秘方：将将多项式进行化简后，再根据化简结果多项式进行化简
19、后，再根据化简结果说明原因说明原因.知知4 4练练解：解：17x2(8x25x)(3x2x3)(5x26x1)3=17x2 8x2 5 x3x2 x35 x26x13=x2 1.因为当因为当x=2024 和和x=2024 时，时，x21 的值相等，所以的值相等，所以小明小明将将x=2024 错抄成错抄成x=2024，计算的结果却是正确的，计算的结果却是正确的.知知4 4练练11-1.有这样一道题有这样一道题：“当当x=2 023，y=2 024时时，求多项，求多项式式7x36x3y3(x2y x3 2x3y)(3x2y10 x3)的的值值”.有一有一名同学看到名同学看到x，y 的值就怕了，你能
20、帮他的值就怕了，你能帮他解解决这决这道题吗？道题吗？知知4 4练练解：原式解：原式7x36x3y3x2y3x36x3y3x2y10 x3(7x33x310 x3)(6x3y6x3y)(3x2y3x2y)0.因为所得结果与因为所得结果与x，y的值无关，的值无关，所以无论所以无论x，y取何值，多项式的值都是取何值，多项式的值都是0.知知4 4练练某小区有一块长为某小区有一块长为40 m、宽为、宽为30 m 的长方形空地，的长方形空地，现要现要美化这块空地，在上面修建如图美化这块空地，在上面修建如图4.21 的的“十十”字形花圃，字形花圃，在花圃在花圃内种花，其余部分种草内种花，其余部分种草.例 1
21、2解题秘方解题秘方：解本题的关键是用解本题的关键是用整式表示出花圃的面积整式表示出花圃的面积.知知4 4练练(1)求求花圃的面积花圃的面积；解解：依题意，得依题意，得40 x30 xx2=70 xx2，即花圃的，即花圃的面积面积为为(70 xx2)m2.知知4 4练练(2)若若建造花圃及种花的费用为每建造花圃及种花的费用为每平方米平方米100 元，种草的费元，种草的费用为每平方米用为每平方米50 元，元，则美化则美化这块空地共需多少元？这块空地共需多少元？解解：依依题意，得题意，得100(70 xx2)503040(70 xx2)=7000 x100 x2 60000 3500 x50 x2=
22、50 x23500 x60000，即美化这块空地共，即美化这块空地共需需(50 x23500 x60000)元元.知知4 4练练12-1.如图，边长为如图，边长为a的的正方形纸片，剪去正方形纸片，剪去两个两个一样的小一样的小直直角三角形和角三角形和一个长方形得到一一个长方形得到一个个“囧囧”字字图案图案(阴影阴影部分部分)，设，设剪去的两个小剪去的两个小直角三角形的直角三角形的两两直角边长直角边长分别为分别为x，y，剪去的小，剪去的小长长方形方形的长和宽也分别的长和宽也分别为为x，y.知知4 4练练(1)求求“囧囧”字图案字图案的面积的面积S(用用含含a，x，y 的式子表示的式子表示)；知知4
23、 4练练(2)当当a=20，x=5，y=4 时，求时，求S 的值的值.解：解：当当a20，x5，y4时，时，S20225440040360.整式的加法与减法整式的加法与减法整式的整式的加减加减计算计算法则法则合并同类项合并同类项同类项同类项去括号去括号顺序顺序新新考法考法 逆向思维逆向思维法法老师老师在黑板上写了一个正确的演在黑板上写了一个正确的演算过程算过程，随后，随后用手掌捂住了多项式形式如下：用手掌捂住了多项式形式如下：2(a24ab4b2)3a22b2求所捂的多项式求所捂的多项式.题型题型整式的加减运算整式的加减运算1例 13解题秘方解题秘方：根据根据“加式加式=和另和另一个加式一个加
24、式”求解求解.解：根据题意，解：根据题意，得得(3a22b2)2(a24ab4b2)=3a22b22a28ab8b2=a28ab6b2.故所捂的多项式为故所捂的多项式为a28ab6b2.特别解读特别解读解决问题的过程中解决问题的过程中，要，要把每一个多项式把每一个多项式看成一看成一个整体来寻找关系个整体来寻找关系.书写书写时，通常把多时，通常把多项式放项式放在括号在括号里里.已知已知(a2)2b3=0，求，求3a2b2a2b(3aba2b4a2)2ab 的值的值.题型题型整式的化简求值整式的化简求值2例 14思路引导：思路引导：解：解：因为因为(a2)2b3=0，且且(a2)2 0，b3 0，
25、所以，所以a2=0 且且b3=0，解得解得a=2，b=3.原式原式=3a2b2a2b3aba2b4a22ab=(3a2b2a2ba2b)(3ab2ab)4a2=4a2ab=4(2)2(2)(3)=446=10.思路点拨思路点拨本题没有直接给本题没有直接给出出a与与b的的值，需根据值，需根据已知已知条件先求出条件先求出a与与b的值的值.一个数的绝对值一个数的绝对值与平方与平方都是非负数，都是非负数，已知两已知两个个非负数的和为非负数的和为0，则这则这两个非负数必须两个非负数必须同时为同时为0，这样可这样可求出求出a 与与b的的值值.亮亮在计算多项式亮亮在计算多项式A 减多项式减多项式2b23b5
26、 时，因时，因一时一时疏忽疏忽忘了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是忘了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是b23b1例 15题型题型整式加减的纠错问题整式加减的纠错问题3解题秘方解题秘方：先利用错误的解法求出先利用错误的解法求出A，再正确列式计，再正确列式计算算并求并求值值.(1)求求这个多项式这个多项式A；解解：A=(b23b1)(2b23b5)=b23b12b23b5=3b26b4.(2)求求这两个多项式相减的正确结果，并求这两个多项式相减的正确结果，并求b 1 时时正确正确结果结果的值的值解：解：(3b26b4)(2b23b5)=3b26b42b23b5=b29b9当当b=1 时
27、，原式时，原式=(1)29(1)9=199=1解题通解题通法法对于这种纠错问题，可以对于这种纠错问题，可以先先“将错就将错就错错”，通过通过错误的结果求得错误的结果求得未知的未知的多项式，多项式，然后再然后再列出正确列出正确的算式进行计算的算式进行计算.已知有理数已知有理数a，b 对应的点在数轴上的位置如图对应的点在数轴上的位置如图4.22，化简化简|23b|2|2b|a2|3b2a|.题型题型去绝对值符号问题去绝对值符号问题4例 16思路引导：思路引导：解：观察数轴可知，解：观察数轴可知，1a2，b0，2b0，a20，3b2a|a|b|，且，且a0bc，所以所以|ac|ca，|b|b，|ba
28、|ba，|ba|ab.所以原式所以原式cab(ba)(ab)cabbaabc3ba.12.期期中中武汉江汉区武汉江汉区 A，B 两市盛产柑橘两市盛产柑橘，国庆，国庆期间，期间，A 市有柑橘市有柑橘240 t，B 市市有柑橘有柑橘260 t，现将这些柑橘全部运，现将这些柑橘全部运到到C，D 两个市场两个市场C 市场需市场需200 t，D 市场市场需需300 t从从A 市运往市运往C，D 两个两个市场市场的费用分别为的费用分别为20 元元/t 和和30 元元/t，从从B 市运往市运往C，D 两个市场的费用两个市场的费用分别分别为为24 元元/t 和和32元元/t设从设从A 市运往市运往C 市场的柑橘重量为市场的柑橘重量为x t(1)请请用含用含x 的式子表示：的式子表示：从从A 市运往市运往D 市场的柑橘市场的柑橘重量为重量为_t；从从B 市运往市运往D 市场的柑橘市场的柑橘重量为重量为_ t.(240 x)(60 x)(2)求求整个运输所需的总整个运输所需的总费用费用(用用含含x 的式子表示的式子表示)解：解：根据题意，得根据题意，得20 x30(240 x)24(200 x)32(60 x)139202x，即整个运输所需的总费用，即整个运输所需的总费用为为(139202x)元元
