1、4.3 4.3 线段线段的长短的长短第四章第四章 几何图形几何图形初步初步知知1 1讲讲知识点知识点线段的长短比较线段的长短比较11.叠合法叠合法 把把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们使它们有一有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较比较.2.度量法度量法 利用利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据根据测量结果进行比较测量结果进行比较.例如：比较线段例如：比较线段 AB，CD 的长短，的长短，可以可以把它们移到同一条直线上，使一个端点把它们移到同一条直线上
2、，使一个端点 A 和和 C 重合，重合，另一另一个端点个端点 B 和和 D 落在点落在点 A 的同一侧，如图的同一侧，如图 4.3-1.知知1 1讲讲拓展：拓展：在比较几条线段的长短时，如果各条线段的长短在比较几条线段的长短时，如果各条线段的长短差别较明显，而又不需要知道相差多少时，用目测的方法也差别较明显，而又不需要知道相差多少时，用目测的方法也可以比较出线段的长短可以比较出线段的长短.知知1 1讲讲知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.当两条线段的长短当两条线段的长短差别差别不大，而又不便放不大，而又不便放在一在一起起比较时，运用比较时，运用度量法度量法；当两条线段能够；当两条线段能够放在放在
3、一起而又不需要一起而又不需要知道相差知道相差的具体数值时，的具体数值时，可用可用叠合法叠合法.2.度量法和叠合法度量法和叠合法分别分别是从是从“数数”和和“形形”两两个个方面出发的，方面出发的，从从“数数”的方面比较的方面比较，一般，一般用度用度量法；量法；从从“形形”的方面比较，的方面比较，一般一般用叠合法用叠合法.知知1 1练练如图如图 4.3-2 是一张三角形纸片，你能比较线段是一张三角形纸片，你能比较线段 AB 与与线段线段 BC 的长短吗？的长短吗？例1解题秘方解题秘方：可以利用度量法，分别量出每可以利用度量法，分别量出每条线段的长度条线段的长度，然后，然后进行比较，进行比较，或者利
4、用叠合法进行比较或者利用叠合法进行比较.知知1 1练练解解：方法一：方法一(度量法度量法)用刻度尺量得用刻度尺量得 AB=2 cm，BC=1.5 cm，所以所以 ABBC.方法二方法二(叠合法叠合法)如图如图 4.3-2，将圆规的一端放在点，将圆规的一端放在点 B，另一端放在点，另一端放在点 C，将圆规绕点将圆规绕点 B 旋转，圆弧与线段旋转，圆弧与线段 AB 交于点交于点 D，说明点，说明点 C 落落在线段在线段 AB 上，所以上，所以 ABBC.知知1 1练练1-1.借助圆规，可得借助圆规，可得图中图中最长的线段是最长的线段是()A.AB B.ACC.AD D.AEC知知2 2讲讲知识点知
5、识点作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段21.尺规作图尺规作图 只用只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规尺规作图作图.知知2 2讲讲2.画一条线段等于已知线段画一条线段等于已知线段 a(如如图图 4.3-3)(1)方法一：方法一：利用刻度尺先量出已知线段利用刻度尺先量出已知线段 a 的长度，再画一的长度，再画一条条等于等于这个长度的线段这个长度的线段.(2)方法方法二：二：如图如图4.3-3，用直尺画射线，用直尺画射线AC，以，以A为圆心为圆心，以，以线段线段 a 的长为半径画弧，的长为半径画弧，交射线交射线 AC 于点于点 B，线段线段 AB就
6、就是是所求作的线段所求作的线段.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.用圆规量取已知用圆规量取已知线段的线段的长度后，要保持长度后，要保持圆规圆规的两脚间的距离的两脚间的距离不变不变，也就是使量得，也就是使量得线段线段的的长度保持不变长度保持不变.2.尺规作图时，注意尺规作图时，注意保留保留清晰的作图痕迹清晰的作图痕迹.知知2 2练练母母题题 教材教材 P149 例例 2 已知：如图已知：如图 4.3-4，线段，线段 a，b.求作：求作：线段线段 AB=2a+b(不不写作法，保留作图写作法，保留作图痕迹痕迹).例2 知知2 2练练解题秘方解题秘方：掌握作一条线段等于已知线段的步骤，掌握作一条线段等
7、于已知线段的步骤，并并注意线段注意线段之间的和差关系之间的和差关系解解：如图：如图 4.3-5 所示，所示，AB=AC+CD+DB=2a+b.知知2 2练练2-1.已知线段已知线段 a，b(如图如图)，请画出一条请画出一条线段线段OA，使它使它等于等于 3ab；解解：如：如图，线段图，线段OA即为所求即为所求知知3 3讲讲知识点知识点线段的和差线段的和差3名称名称 文字叙述文字叙述 图示图示线段线段的和的和如图所示，点如图所示，点 C 在线段在线段 AB 的的延长线上，如果线段延长线上，如果线段 AB=a，线，线段段 BC=b，那么线段，那么线段AC 就是就是 a 与与 b 的和，记作的和，记
8、作 AC=a+b.线段线段的差的差如图所示，点如图所示，点 D 在线段在线段 AB 上，上，如果线段如果线段AB=a，线段线段 DB=b，那么线段那么线段 AD 就是就是 a与与 b 的差，的差，记作记作 AD=ab.知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.从从“数数”的角度看的角度看：线段线段的和与差的和与差反映的反映的是是线段的数量关系，线段的数量关系，即线段即线段的长度之间的关系的长度之间的关系.2.从从“形形”的角度看的角度看：线段线段的和与差的和与差仍然是仍然是一一条线段条线段.知知3 3练练如图如图 4.3-6，直线上有四点，直线上有四点 A，B，C，D，看图填空：，看图填空：(1)AC
9、=_+BC；(2)CD=BD _；(3)AC+BDBC=_.例3ABBCAD知知3 3练练解题秘方解题秘方：紧扣四个点的位置关系，关键是紧扣四个点的位置关系，关键是“形形”到到“数数”的的转化转化.知知3 3练练3-1.如图如图，A，B，C，D 四点在一条直线上四点在一条直线上，根据，根据图图形填空形填空：(1)图中共有图中共有线段线段_条；条；(2)AD=_+_+_；(3)AB+BD _=CD.6AB BC CD AC知知3 3练练例4 知知3 3练练解题秘方：解题秘方：把线段把线段 CD 用其他线段的和差表示，用其他线段的和差表示，再把再把线段的线段的长度代入计算即可长度代入计算即可答案：
10、答案：C知知3 3练练4-1.已知线段已知线段 AB=3 cm，点，点 C 在直线在直线 AB上上，BC=2 cm，那么线段那么线段 AC 的长的长为为()A.5 cmB.1 cmC.5 cm 或或 1 cmD.无法无法判断判断C知知4 4讲讲知识点知识点线段的中点线段的中点4知知4 4讲讲知知4 4讲讲特别特别提醒提醒线段的中点只有一个线段的中点只有一个，且一定在线段上，且一定在线段上，类似类似地，线段的三等地，线段的三等分点有分点有两个、线段的四等两个、线段的四等分点有分点有三个，且这些点都在三个，且这些点都在线段线段上上.知知4 4练练母母题题 教材教材 P151 例例 3 如图如图 4
11、.3-10，已知点已知点 C 为为 线线 段段 AB 上上 一点一点，AC=12 cm，CB=8 cm，D，E 分分别是别是 AC，AB 的中点的中点.求：求：(1)线段线段 AD 的长；的长；(2)线段线段 DE 的长的长.例5知知4 4练练解题秘方解题秘方：紧扣中点的定义及要求的线段与已知紧扣中点的定义及要求的线段与已知线段线段之间之间的数量关系，求线段长的数量关系，求线段长.知知4 4练练(1)线段线段 AD 的长的长；(2)线段线段 DE 的长的长.知知4 4练练5-1.期末期末阜阳阜阳 如图如图，已已 知知 点点 C 在在 线线 段段AB 上，上，AB=30 cm，AC=12 cm，
12、点，点 M，N 分别分别是是AB，BC 的中点的中点(1)求求 CN 的长的长；知知4 4练练(2)求求 MN 的长的长；知知4 4练练(3)若点若点 P 在直线在直线 AB上上，且，且 PA=2cm，点，点Q为为BP的中的中点点，求，求 QN 的长的长.知知4 4练练知知5 5讲讲知识点知识点线段的基本事实和两点之间的距离线段的基本事实和两点之间的距离51.线段的基本事实线段的基本事实 两两点之间的所有连线中，线段最短点之间的所有连线中，线段最短.2.两点之间的距离两点之间的距离 两两点之间线段的长度，叫作这两点之间的点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离距离.如图如图 4.3-11，在，在
13、 A，B 两点之间的所有线中，两点之间的所有线中，线段线段 AB 是最短的，线段是最短的，线段 AB 的长度就是点的长度就是点A 与点与点 B 之间的距离之间的距离.知知5 5讲讲警示误区警示误区两点之间的距离两点之间的距离是一个具体是一个具体的数量，而的数量，而线线段段本身是图形本身是图形.因此因此不能不能把把 A，B两点之间的两点之间的距距离离说成是线段说成是线段AB.另外另外，连接，连接两点是指画出以两点是指画出以这这两两点为端点的线段点为端点的线段.知知5 5练练下列现象下列现象：用用 两两 个个 钉钉 子子 就就 可可 以以 把把 木木 条条 固固 定定 在在墙上墙上.从从 A 地地
14、 到到 B 地地 架架 设设 电电 线，总线，总 是是 尽尽 可可 能能 沿沿 着着 线线 段段 架架 设设.植树时，只要确定两棵树的位置，植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在就能确定同一行树所在的直线的直线.把弯曲的公路改直，把弯曲的公路改直，就能缩短路程就能缩短路程.其中能用其中能用“两点两点之间之间，线段最短，线段最短”来来解释的现象解释的现象有有()A.B.C.D.例6 知知5 5练练解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“线段的基本事实线段的基本事实”解题解题.解解：用用 两两 个个 钉钉 子子 就就 可可 以以 把把 木木 条条 固固 定定 在在 墙墙 上，根上，根 据据 是是
15、两点两点确定一条直线，不符合题意；确定一条直线，不符合题意；从从 A 地到地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，架设，根据根据是两点之间线段最短，符合题意；是两点之间线段最短，符合题意；植植 树树 时，只时，只 要要 确确 定定 两两 棵棵 树树 的的 位位 置，就置，就 能能 确确 定定 同同 一一 行行 树所在树所在的直线，根据是两点确定一的直线，根据是两点确定一条直线，不符合题意条直线，不符合题意；把把 弯弯 曲曲 的的 公公 路路 改改 直，直，就就 能能 缩缩 短短 路路 程，根程，根 据据 是是 两两 点点 之之 间线段间线段最短，最短，符合题
16、意符合题意答案：答案：C知知5 5练练6-1.期中期中石家庄石家庄如图如图，琳琳将三角形，琳琳将三角形 ABC沿沿虚线剪虚线剪去一个角去一个角得到四边形得到四边形 BCDE，设，设三角形三角形 ABC 与四与四边形边形 BCDE的的 周周 长长 分分 别别 为为 m 和和 n，则，则 m 与与 n 的的大小关系大小关系是是_，理论依据理论依据是是_mn两点之间，线段最短两点之间，线段最短知知5 5练练如图如图 4.3-12，已知，已知 A，B，C，D 为为 4 个个居民居民小区，小区，现要建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图现要建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图确定确定购物中心购物中
17、心 O 的位置，使它到的位置，使它到 4 个居民小区的距个居民小区的距离之和最小离之和最小.例7知知5 5练练解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“线段的基本事实线段的基本事实”解题解题.解解：如图：如图 4.3-12，连接，连接 AC，BD 交于点交于点 O.点点 O 就是购物中心的位置，该点到就是购物中心的位置，该点到 4 个居民小区个居民小区的的距离之距离之和最小和最小.知知5 5练练7-1.直线直线 m 表示一表示一条公路条公路，公路两旁分别，公路两旁分别有两有两 个个 村村 庄庄 A 和和 B，要，要在公在公 路路 上上 建建 一一 个个 临临 时时 车站车站 P，使它，使它到两个到两个村庄距离村庄距离之和最小，车站之和最小，车站 P应应 建建 在在 什什 么么 位位 置？置？在图在图中画出车站的位置中画出车站的位置，并，并说明理由说明理由知知5 5练练解：连接解：连接AB，则，则AB与直线与直线m的交点就是车站的交点就是车站P的位置，如图的位置，如图理由理由：两点之间线段最短：两点之间线段最短线段的长短线段的长短线段的中点线段的中点两点之间的距离两点之间的距离线段线段线段的长短比较线段的长短比较基本事实基本事实两点之间，线段最短两点之间，线段最短度量法度量法叠合法叠合法
