1、 随机变量的数字特征（2）高二年级 数学则称为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）11221()nnniiiE Xx px px px p 如果离散型随机变量X的分布列如下表：Xx1x2xixnPp1p2pipn知识回顾：甲的环数X18910P0.2 0.6 0.2乙的环数X28910P0.4 0.2 0.4 因为E(X1)=E(X2)=9，所以仅从平均水平的角度考虑，是无法决定选谁参加的，怎样来衡量他们的发挥稳定性呢？设甲重复射击足够多次（设为n次）则甲所得环数可以估计为 8，8，8，9，9，9，10，10，10.0.2n个0.2n个0.6n个 甲这组数的方差为222(89)0.2
2、(99)0.6(109)0.2222(89)0.2(99)0.6(109)0.2nnnn0.4 类似的，乙这组数的方差为 由于0.40.8，因此可以认为甲的发挥更稳定，应该派甲参加全运会.222(89)0.4(99)0.2(109)0.40.8.如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2xixnPp1p2pipn则叫做这个离散型随机变量X的方差.2221122()()()+()nnD XxE XpxE XpxE Xp 21()niiixE Xp 称为离散型随机变量X的标准差.离散型随机变量X的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于均值的离散程度（或波动大小）.()D X 情境与问题
3、中，甲、乙射击环数的分布列用图直观地表示，也能看出D(X 1)与D(X 2)的相对大小.例题 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求 .解：因为随机变量X的分布列为 而 所以X10Pp1-p()D X()E Xp 22()(1)(0)(1)(1).D Xpppppp二项分布的方差若X服从参数为n，p的二项分布，即 ，则(,)XB n p()(1).D Xnpp 尝试与发现 已知X是一个随机变量，且分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn设a，b都是实数.且a0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b，那么，这两个随机变量的方差之间有什么联系呢？若X与Y都是离散型随机
4、变量，且Y=aX+b，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知21()()()niiiD YaxbaE Xb p 221()niiiaxE Xp 2()a D X 例题 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数.(1)求D(X)；(2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y).解：(1)因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即XB(50，0.02)，所以D(X)=500.02(1-0.02)=0.98.(2)D(Y)=D(10X+300)=102D(X)=1000.
5、98=98.例题 已知某射击选手射击的命中率是0.8，记他三次独立射击时的命中次数为X，求X的分布列、期望和方差.解：X的可能取值为0，1，2，3.3(0)(1 0.8)0.008P X 123(1)0.8(1 0.8)0.096P XC(3,0.8)XB223(2)0.8(1 0.8)0.384P XC3(3)0.80.512P X 所以X的分布列为X0123P0.0080.0960.3840.512()0 0.0081 0.0962 0.3843 0.5122.4E X 222()(0 2.4)0.008(1 2.4)0.096(2 2.4)0.384D X .=0 482(32.4)0.
6、512 方法一：方法二：方法二：因为因为XB(3,0.8)，所以，所以E(X)=30.8=2.4，D(X)=30.80.2=0.48求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根据得到的结论，对于投资者有什么建议？例题 A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X12%8%12%X25%10%0.20.50.3P0.80.2所以 ，解：(1)题目可知，投资项目A和B所获得的利润Y1和Y2的分布列为：Y12812Y25100.20.50.30.80.2222()(5
7、6)0.8(106)0.24D Y2221()(28)0.2(88)0.5(128)0.312D Y2()50.8100.26E Y1()20.280.5120.38E Y，解：(2)由(1)可知 ，说明投资A项目比投资B项目期望收益要高；同时 ，说明投资A项目比投资B项目的实际收益相对于期望收益的平均波动要更大.12()()E YE Y12()()D YD Y因此，对于追求稳定的投资者，投资B项目更合适;而对于更看重利润并且愿意为了高利润承担风险的投资者，投资A项目更合适.求随机变量的期望与方差的一般步骤（方法一）：找到随机变量X的所有可能取值 ；1.计算X取每一个值i的概率 ,得到X的分布列:12,np pp12,nx xxX2inP2in课堂小结1122()+nnE Xx px px p2221122()()()+()nnD XxE XpxE XpxE Xp课堂小结2.计算（方法二）1.判断随机变量是否服从二点分布、二项分布、超几何分布；2.利用公式求期望或方差.课堂小结(,)XB n p()E Xnp()D Xnpq超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布,则()nME XN1qp 二项分布：若 ，则 从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望和方差.课后作业谢谢
