1、人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何章节综合训练（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是()A.-1B.C.1D.-2.若a,b,c是空间任意三个向量,R,下列关系中,不成立的是()A.a+b=b+aB.(a+b)=a+bC.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=a3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则+等于()A.B.C.D.4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4)
2、,则ABC的形状是()A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.已知平面的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面与平面()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不确定6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=a+b+c,则,分别为()A.,-1,-B.,1,C.-,1,-D.,1,-7.(2013吉安高二检测)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且ab,则x+y的值是()A.1或-3B.-1或3C.-3
3、D.18.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),则ABC的面积是()A.B.C.D.9.下列命题正确的是()A.若=+,则P,A,B三点共线B.若a,b,c是空间的一个基底,则a+b,b+c,a+c构成空间的另一个基底C.(ab)c=|a|b|c|D.ABC为直角三角形的充要条件是=010.如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EFBC且AE=2EB,G为BC的中点,K为ADF的外心.沿EF将矩形折成一个120的二面角A-EF-B,则此时KG的长是()A.1B.3C.D.11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1
4、,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=(01),则点G到平面D1EF的距离为()A.B.C.D.12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值分别是、.14.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面内的三点,设平面的法向量为n=(x,y,z),则xyz=.15.平面,两两相互垂直,且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分
5、别是1cm,2 cm,3cm,则PO的长为cm.16.如图,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),(1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S.(2)若向量a分别与向量,垂直,且|a|=,求向量a的坐标.18.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱AA1=
6、2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端点重合)使得点A1到平面AED的距离为?19.(12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.20.(12分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是DD,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为CG的中点.(1)求证:EFBC.(2)求EF,CG所成角的余弦值.(3)求FH的长.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,ABBC,AB=BC=
7、PA.点O,D分别是AC,PC的中点,OP底面ABC.(1)求证:OD平面PAB.(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,CDA=BAD=90,AB=2,CD=1,AD=,M,N分别是PD,PB的中点.(1)求证:MQ平面PCB.(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小.(3)求点A到平面MCN的距离.答案解析1.【解析】选D.ab=2-+2k=0,k=-.2.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确,对于D,当a=0,b0时,不成立.3.【解析】选C.+=+=.4
8、.【解析】选A.=(3,4,2),=(5,1,3),=(2,-3,1).由0,得A为锐角;由0,得C为锐角;由0,得B为锐角,且|,所以ABC为不等边锐角三角形.5.【解析】选A.n2=-2n1,n2n1,故.6.【解析】选A.由d=a+b+c=(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3)=(+)e1+(+-)e2+(-+)e3=e1+2e2+3e3.解得=,=-1,=-.7.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1或-3.8.【解析】选C.易知=(1,4,-3),=(-2,1,-2),|=,|=3,cos=,si
9、n=,SABC=|sin=.9.【解析】选B.P,A,B三点共面不一定共线,故A错误;由数量积公式知C错误;ABC为直角三角形时可能=0,也可能=0,或=0,故D错误.10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点,取EF的中点H,连接KH,GH易证明KHG即为二面角A-EF-B的平面角,在KHG中,由KH=HG=1,KHG=120,可解得KG=.11.【解题指南】可以根据几何的有关性质转化为点A1到直线D1E的距离,利用三角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求.【解析】选D.方法一:A1B1EF,G在A1B1上,G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离,也就是A1到
10、D1E的距离.D1E=,由三角形面积可得h=.方法二:以的方向作为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则E(0,0,),F(1,0,),D1(0,1,1),G(,0,1),=(1,0,0),=(0,1,),=(-,1,0),设平面EFD1的一个法向量是n=(x,y,z),则解得取y=1,则n=(0,1,-2).点G到平面EFD1的距离是:h=.12.【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),=(0,0,1),=(2,2,0),=(-2,0,1).设平面BB1D1D的一个法向量n=(x,y,z),由可得可取n=(1,-1,0).co
11、s= =,BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.13.【解析】ab,存在实数k,使得a=kb,即(+1,0,2)=k(6,2-1,2),解得k=,=.答案: 14.【解析】=(1,-3,-),=(-2,-1,-),xyz=yy(-y)=23(-4).答案:23(-4)15.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设O(0,0,0),P(1,2,3),|OP|=(cm).答案:16.【解析】=-,=-+=-+,= (-)(-+)=4-2=2.|2=(-+)2=6,|=,|=2,cos= =,即异面直线EF与BD所成角的余弦值为.答案:【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,E(0
12、,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),=(1,2,-1),=(-2,2,0),cos=,异面直线EF与BD所成角的余弦值为.17.【解析】(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),cosBAC=,BAC=60,S=|sin 60=7.(2)设a=(x,y,z),则a-2x-y+3z=0,ax-3y+2z=0,|a|=x2+y2+z2=3,解得x=y=z=1或x=y=z=-1,a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),
13、D(0,0,1),B(0,2,0),设=,(0,1),则E(2,2(1-),2).又=(-2,0,1),=(2(-1),2(1-),2),设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,则即取x=1,则y=,z=2,即n=(1,2).由于d=,=,又(0,1),解得=,当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为.【拓展提升】探索性问题的解法在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立,或某一结论成立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题,解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把
14、点、线、面的位置数量化,通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可以使许多几何问题进行类化,公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路可寻.19.【解析】以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1),(1)=(0,1,1),=(-,1,-1),=-0+11+(-1)1=0,B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP平面B1AE,此时=(0,-1,z0),又设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z).n平面B1AE,=(a,0,1),=(
15、,1,0),n,n,得取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-,-a),要使DP平面B1AE,只需n,有-az0=0,解得:z0=.AP=,在棱AA1上存在点P,使得DP平面B1AE,且P为AA1的中点.20.【解题指南】要证明EFBC,只需要证明=0;要求EF,CG所成角的余弦值,只要求出,所成角的余弦值;要求FH的长,只要求出|即可.【解析】(1)设=a,=b,=c,则cb=ba=ca=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.=+=-c+(a-b)=(a-b-c),=-=b-c,=(a-b-c)(b-c)=(c2-b2)=(1-1)=0.EFBC.(2)=(
16、a-b-c),=+=-c-a,=(a-b-c)(-c-a)=(-a2+c2)=,|2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=,|2=(-c-a)2=c2+a2=,|=,|=,cos=,EF,CG所成角的余弦值为.(3)=+=(a-b)+b+c+=(a-b)+b+c+(-c-a)=a+b+c,|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2=,FH的长为.21.【解析】方法一:(1)O,D分别为AC,PC的中点,ODPA.又PA平面PAB,OD平面PAB,OD平面PAB.(2)设PA=2a,ABBC,OA=OC,OA=OB=OC=a.又OP平面ABC,PA=PB=PC=2a.取BC中点E,连接PE,则
17、BC平面POE.作OFPE于F,连接DF,则OF平面PBC.ODF是OD与平面PBC所成的角.PA=2a,OA=a,OP=a.又OE=,OF=a.在RtODF中,sinODF=,OD与平面PBC所成角的正弦值为.方法二:OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).(1)D为PC的中点,=(-a,0,h).又=(a,0,-h),=-.,又PA平面PAB,OD平面PAB,OD平面PAB.(2)PA=2a,h=a,=(-a,0
18、,a).可求得平面PBC的一个法向量n=(-1,1,),cos=.设OD与平面PBC所成的角为,则sin=|cos|=.OD与平面PBC所成角的正弦值为.22.【解析】方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,由AB=2,CD=1,AD=,PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点,可得A(0,0,0),B(0,2,0),C(,1,0),D(,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(,0,2),N(0,1,2).(1)=(,-1,0),=(0,2,-4),=(-,0,1).设平面PBC的法向量为n0=(x,y,z),则有:n0
19、(x,y,z)(,-1,0)=0x-y=0,n0(x,y,z)(0,2,-4)=02y-4z=0,令z=1,则x=,y=2n0=(,2,1).n0=(-,0,1)(,2,1)=0,又MQ平面PCB,MQ平面PCB.(2)设平面的MCN的法向量为n=(x,y,z),又=(-,-1,2),=(-,0,2),则有:n(x,y,z)(-,-1,2)=0-x-y+2z=0,n(x,y,z)(-,0,2)=0-x+2z=0,令z=1,则x=,y=1n=(,1,1).又=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量.cos= =,又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角,截面MCN与底面ABCD所成二面角
20、的大小为.(3)=(-,-1,0),所求的距离d=.方法二:(1)取AP的中点E,连接ED,则EDCN,依题有Q为EP的中点,所以MQED,所以MQCN,又MQ平面PCB,CN平面PCB,MQ平面PCB.(2)易证:平面MEN底面ABCD,所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的角,因为PA平面ABCD,所以PA平面MEN,过E作EFMN,垂足为F,连接QF,则由三垂线定理可知QFMN,由(1)可知M,C,N,Q四点共面,所以QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角.在RtMEN中,ME=,NE=1,MN=,故EF=,所以:tanQFE=,QFE=.即所求二面角大小为.(3)因为EP的中点为Q,且平面MCN与PA交于点Q,所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍,由(2)知:MN平面QEF,则平面MCNQ平面QEF且交线为QF,作EHQF,垂足为H,则EH平面MCNQ,故EH即为点E到平面MCN的距离.在RtEQF中,EF=,QFE=,故EH=,即原点A到平面MCN的距离是.
