1、湘教版高中数学必修第一册-2.1.1.1等式与不等式(2)-学案讲义教材要点要点不等式的性质性质1(对称性)ab_性质2(传递性)ab，bc_性质3(加法法则)ab_推论1如果abc，那么acb推论2如果ab，cd，那么_性质4(乘法法则)abc0_；abc0_推论3ab0cd0_推论4(乘方法则)ab0_(nN)性质5(开方法则)ab0_(nN)性质6abab0_；abab0_状元随笔(1)注意不等式的单向性和双向性性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的(2)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件要克服“想当然”“显然成立”的思维定势基础自测1.思考辨
2、析(正确的画“”，错误的画“”)(1)a，b，c为实数，在等式中，若ab，则acbc；在不等式中，若ab，则acbc.()(2)abac2bc2.()(3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的()(4)设a，bR，且ab，则a3b3.()2已知xa0，则一定成立的不等式是()Ax2a20 Bx2axa2Cx2ax0 Dx2a2ax3(多选)若ab0，dc0，则下列不等式成立的是()Aacbc BadbcC1d1c Da3b34用不等号填空(1)如果ab 0，那么1a2_1b2；(2)如果abc0，那么ca_cb.题型1利用不等式的性质判断命题的真假例1(1)已知a，b，cR，那么下列命题中正确的
3、是()A若ab，则ac2bc2B若acbc，则abC若a3b3且ab0，则1a1bD若a2b2且ab0，则1a1b(2)(多选)设a，b，cR，且ab，则下列不等式成立的是()Aac2bc2 B1a21b2Cacbc Dac2+1bc2+1方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算跟踪训练1(1)已知实数0a1，则下列正确的是()A1aaa2 Baa21aCa21aa D1aa2a(2)(多选)已知实数a，b，c满足cba，且
4、ac0，则下列不等式一定成立的是()Aabac Bcba0Cacac0 Dcb2ab2题型2证明不等式例2若bcad0，bd0，求证：a+bbc+dd.方法归纳1不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小2证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导跟踪训练2(1)已知ab，ef，c0，求证：facebc.(2)若ab0，求证：baab.题型3利用不等式的性质求范围例3已知2a3，1b2，试求下列代数式的取值范围：(1)|a|；(2)ab；(3)ab；(4)2a3b.方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不
5、等式相加进行解答；(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解跟踪训练3已知实数x，y满足：1x2y3，(1)求xy的取值范围；(2)求x2y的取值范围易错辨析多次使用同向不等式相加致误例4已知1ab5，4ab2，求2a4b的取值范围解析：2a4b3(ab)(ab)，因为1ab5，4ab2，所以5(ab)1，123(ab)6，所以172a4b7.易错警示易错原因纠错心得错解：1ab54ab22ba4再除以2得52a72再除以2得32b92所以232a4b13错误在于“1ab5，4ab2”与“52a72，32b92”并不等价同向(异向)不等式的两边可以相加
6、(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法课堂十分钟1与ab等价的不等式是()A|a|b| Ba2b2Cab1 Da3b32下列结论正确的是()A若ab，cb，则ac B若ab，则a2b2C若ab，cd，则acbd D若ab，cd，则acbd3(多选)如果ab0，那么下列不等式成立的是()Aab B1a21b2Cac2bc2 Dacbc4设x1，1y0，试将x，y，y按从小到大的顺序排列如下：_5已知1ab1，1a2b3.求a3b的取值范围参考答案与解析新知初探课
7、前预习要点bcacbcacbdacbcacbdanbnnanb1a1b基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：因为xaa2；不等号两边同时乘x，则x2ax，故x2axa2.故选B.答案：B3解析：因为ab0，c0，所以acb0，dc0，所以adbc，B正确；因为dc1c，C错误；因为ab0，所以a3b3，D正确故选BD.答案：BD4解析：(1)ab0，a2b20，1a21b2.(2)ab0，01a1b，又c0，cacb.答案：(1)(2)题型探究课堂解透例1解析：(1)A中，若ab，则ac2bc2(错)，若c0，则A不成立；B中，若acbc，则ab(错)，若cb3，且ab1b(对)，若
8、a3b3且ab0，bb2，且ab0，则1a1b(错)，若a0，bbc2不成立，A错误；对B，当a1，b2时，1a2b，两边同时减去c有acbc成立，故C正确；对D，由于1c2+10，又ab，故ac2+1bc2+1，故D正确答案：(1)C(2)CD跟踪训练1解析：(1)0a1，取a12，逐一验证，可知A正确(2)因为实数a，b，c满足cba，且ac0，cc，a0，得abac，故A正确；由ba，c0，故B正确；由ac，ac0，得acacc，b20，得cb2ab2，当b0时，等号成立，故D错误；故选ABC.答案：(1)A(2)ABC例2证明：(法一)bcad0，bcad，bcbdadbd，即b(cd
9、)d(ab)又bd0，两边同除以bd，得a+bbc+dd.(法二)a+bbc+ddad+bdbcbdbdadbcbd0，a+bbc+dd.跟踪训练2证明：(1)因为ab，c0，所以acbc，即acbc.又ef，即fe，所以facebc.(2)由于baabb2a2abb+abaab，ab0，ba0，ba0，ab0，b+abaab0，故baab.例3解析：(1)0|a|3；(2)1ab5；(3)依题意得2a3，2b1，相加得4ab2；(4)由2a3得42a6由1b2得63b3由得，102a3b3.跟踪训练3解析：(1)1x2y3，1x2，2y3，则2xy6，则xy的取值范围是2xy6.(2)由(1)知1x2，2y3，从而62y4，则5x2y2，即x2y的取值范围是5x2yb，但|a|b|，a2b2，ab12b，cb成立，而此时a2，121，12，4(1)b0a2b201a21b2，B正确，当c0时，ac20bc2，C错误故选ABD.答案：ABD4解析：1y0，0y1，y1，yyx.答案：yyx5解析：设a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，则1+2=1，122=3，解得153，223.又5353(ab)53，223(a2b)23，所以113a3b1.
