1、湘教版高中数学必修第一册-4.5.2形形色色的函数模型-学案讲义教材要点要点一几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数a0)反比例函数模型f(x)kxb(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)要点二数学建模的步骤(1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息根据实际对象的特征和建模的目的，对问题
2、进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设(2)建立数学模型：在上述基础上，利用恰当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构(3)求得数学问题的解(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和实用性状元随笔建立函数模型解决实际问题的基本思路基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数()(2)解决某一实际问题的函数模型是唯一的()(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型()(4)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好()2某厂日产手套总成本y
3、(元)与手套日产量x(副)的关系式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A200副B400副C600副 D800副3某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606万元 B45.6万元C45.56万元 D45.51万元4某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)，若这种动物第一年有100只，则到第15年会有_只题型1二次函数模型的应用例1科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现
4、健康持续发展的重要基础某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用经调研，该企业生产此设备获得的月利润px(单位：万元)与投入的月研发经费x(15x40，单位：万元)有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，px110x28x90；当投入月研发经费高于36万元时，px0.4x54.对于企业而言，研发利润率ypxx100%，是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小(1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x的取值范围方法归纳二次函数模型解题思路二次函数模型的解析式为g(x)
5、ax2bxc(a0)在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答跟踪训练1有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q115x，Q235x.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？题型2指数函数与对数函数模型例2(1)酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到2079 mg的驾驶员即为酒后驾车，8
6、0 mg及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6 mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点(结果取整数)开车才不构成酒后驾车？()(参考数据：lg 30.477)A6 B7C8 D9(2)有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v(1)/(2)log_3 (x)/(100)lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 20.30，31.23.74，31
7、.44.66)当x02，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?当x05，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？方法归纳指数型函数在实际问题中的应用：解析式可以表示为yN1+px(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式本节中，我们给出指数型函数模型ymaxb(a0，a1，m0)，有关人口增长、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示跟踪训练2(1)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增
8、长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为()Ay3601.041.012x1 By3601.04xCy3601.04x1.012 Dy3601.041.012x(2)某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是_(参考数据：1.0036006，lg 70.845)y0.025x；y1.003x；y1log7x；y
9、14 000x2.题型3建立拟合函数模型解决实际问题例3某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.(1)若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数ylg xkx 5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 20.3，lg 50.7)(2)若采用函数f(x)15xax+8作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值方法归纳函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过
10、观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据跟踪训练3某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长记2018年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)log12xa.找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2018年和2020年的数据求出相应的解析式易错辨析忽略题目中的限制条件致误例4
11、某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(高速公路行车安全要求60x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15xk+4 500x升，其中k为常数，且60k100.(1)若汽车以120千米/时的速度行驶，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围(2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值解析：(1)由题意得当x120时，15xk+4 500x15120k+4 50012011.5，解得k100.由15x100+4 500x9，即x2145x4 5000，解得45x100.又因为60x120，所以60x100，即每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为60，10
12、0.(2)设该汽车行驶100千米油耗为y升，则y100x15xk+4 500x2020kx+90 000x2(60x120)，令t1x，则t1120，160，即有y90 000t220kt2090 000tk9 000220k2900，对称轴为直线tk9 000，由60k100，可得k9 0001150，190，若k9 0001120，即75k100，则当tk9 000，即x9 000k时，ymin20k2900；若k9 0001120，即60k75，则当t1120，即x120时，ymin1054k6.答：当75k100时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20k2900升；当60k75时，
13、该汽车行驶100千米的油耗的最小值为1054k6升易错警示易错原因纠错心得忽视自变量的取值范围，特别是运用换元法求二次函数的最值时易忽视新元范围，直接得出tk9 000时，ymin20k2900，导致漏解解答函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义课堂十分钟1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()Ay0.3x800(0x2 000，xN*)By0.3x1 600(0x2 000，
14、xN*)Cy0.3x800(0x2 000，xN*)Dy0.3x1 600(0x2 000，xN*)2某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是()A10% B15%C18% D20%3如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约是(lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1092.037 4，lg 0.091.045 8)()A2025年 B2021年C2020年 D2018年4已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千
15、米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是_5某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)(1)求函数yfx的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时
16、，才能使一日的净收入最多？参考答案与解析新知初探课前预习基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：利润z10xy10x(5x4 000)0.解得x800.故选D.答案：D3解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15x)辆，总利润SL1L2，则总利润S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)20.1510.2230(0x15且xN)，所以当x10时，Smax45.6(万元).故选B.答案：B4解析：当x1时，y100代入yalog2(x1)可得100alog22aa100y100log2(x1)当x15时，100log216400.答案：400题型
17、探究课堂解透例1解析：(1)由已知，当15x36时，y110x2+8x90x110x90x882110x90x2.当且仅当110x90x，即x30时，取等号；当36x40时，y0.4x+54x0.454x.因为y0.454x在(36,40上单调递减，所以y1.9，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，由(1)可知，此时月研发经费15x36.于是，令y110x90x81.9，整理得x261x9000，解得25x36.因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是x25x36.跟踪训练1解析：设对甲种商品投资x万
18、元，则对乙种商品投资(3x)万元，总利润为y万元所以Q115x，Q2353x.所以y15x353x (0x3)，令t3x (0t3)，则x3t2.所以y15 (3t2)35t15(t32)22120.当t32时，ymax21201.05(万元)，即x340.75(万元)，所以3x2.25(万元).由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元例2解析：(1)设他至少经过t小时才可以驾车，则0.6100(110%)t20，即3200时，y5不满足公司要求；中，函数y1.003x，易知满足()，但当x600时，y5不满足公司要求；中，函
19、数y1log7x，易知满足()，且当x1 000时，y取最大值1log71 00015不满足公司要求答案：(1)D(2)例3解析：(1)对于函数模型ylg xkx5(k为常数)，x100时，y9，代入解得k，所以ylg x5.当x50，500时，ylg x5是增函数，但x50时，ylg 5067.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求(2)对于函数模型f(x)15，a为正整数，函数在50，500上递增；f(x)minf(50)7，解得a344；要使f(x)0.15x对x50，500恒成立，即a0.15x213.8x，即x50，500恒成立，所以a315.综上所述315a3
20、44，所以满足条件的最小的正整数a的值为315.跟踪训练3解析：符合条件的是f(x)axb，理由如下：若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与已知不符合若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与已知数据相差太大，不符合由已知得解得所以f(x)1.5x2.5，xN*.课堂十分钟1解析：由题意知，变速车存车数为(2 000x)辆次，则总收入y0.5x(2 000x)0.80.5x1 6000.8 x0.3x1 600(0x2 000，xN*).故选D.答案：D2解析：设平均每次降价的百分率为x，则2000(1x)
21、21280，所以x20%.故选D.答案：D3解析：设2005年总值为a，经过x年翻两番则a(19%)x4a，所以x2lg2lg1.092lg2lg109lg10016.故选B.答案：B4解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，即x60t,(0t2.5)50,(2.5t3.5)15050t3.5,(3.5t6.5).答案：x60t,(0t2.5)50,(2.5t3.5)15050t3.5,(3.50，解得x2.3，x是整数，3x6，xZ；当x6时，y50-3(x-6)x1153x268x115，令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20，xZ.f(x)50x115, 3x6,xZ3x2+68x115, 6x20,xz；(2)对于y50x115(3x6，xZ)，显然当x6时，ymax185；对于y3x268x1153(x343)28113 (6185，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多
