1、湘教版高中数学必修第一册-2.1.2基本不等式-学案讲义最新课程标准学科核心素养掌握基本不等式aba+b2(a0，b0)1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程(直观想象、逻辑推理)2会用基本不等式解决最值问题(逻辑推理、数学运算)教材要点要点基本不等式定理：对任意a，bR，必有a2b2_，当且仅当ab时，等号成立推论：对任意a，b0，必有_，当且仅当ab时，等号成立其中a+b2称为正数a，b的_，ab称为正数a，b的_状元随笔不等式a+b2ab与不等式a2b22ab的异同a2b22aba+b2ab适用范围a，bRa0，b0文字叙述两数的平方和不小于它们积的2倍两个正数的算术平均值大于等于它们
2、的几何平均值“ ”成立的条件abab基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)当a，b同号时，ba+ab2.()(2)函数yx1x的最小值为2.()(3)6和8的几何平均数为23.()(4)不等式a2b22ab与aba+b2有相同的适用范围()2已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aa2b22ab Bab2abC1a+1b2ab Dba+ab23若a1，则a1a1的最小值是()A2 BaC2aa1 D34已知x，y都是正数(1)如果xy15，则xy的最小值是_(2)如果xy15，则xy的最大值是_题型1利用基本不等式比较大小例1若ab0，试比较a, a2+b22，a+
3、b2，ab，21a+1b，b的大小方法归纳一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2b22ab(a，bR，a0，b0)和基本不等式a+b2ab(a0，b0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号跟踪训练1(1)若0a1，0b1，且ab，则ab，2ab，2ab，a2b2中最大的一个是()Aa2b2 B2abC2ab Dab(2)已知abc，则abbc与ac2的大小关系是_.题型2利用基本不等式证明不等式例2已知a，b，c0，求证：a2b+b2c+c2aabc.方法归纳(1)在利用ab2ab时，一定要注意是否满足条件a0，b0.(2)在利用基
4、本不等式ab2ab或a+b2ab(a0，b0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用跟踪训练2已知实数x，y均为正数，求证：(xy)(4x+9y)25.题型3利用基本不等式求最值例3(1)对于代数式12x4x.当x0时，求其最小值；当x0时，求其最大值(2)设0x2，求x4x2的最小值方法归纳应用基本不等式解题的关键在于“拼”、“凑”、“拆”、“合”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构跟踪训练3(1)若0x1，求y4x28x+5x1的最小值课堂十分钟1关于命题p：a，bR，aba+b22，下列说法正确的是()Ap：a，
5、bR，aba+b22B不能判断p的真假Cp是假命题Dp是真命题2下列命题中正确的是()A当a，bR时，ab+ba2abba2B当a0，b0时，(ab)1a+1b4C当a4时，a9a2a9a6D当a0，b0时，2aba+bab3不等式9x2(x2)6(其中x2)中等号成立的条件是()Ax3 Bx3Cx5 Dx54已知t0，则yt24t+1t的最小值为_5设a0，b0，证明：b2a+a2bab.参考答案与解析新知初探课前预习要点2aba+b2ab算术平均数几何平均数基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：对于A，当ab时，a2b22ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同
6、号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab0，所以ba0，ab0，所以ba+ab2baab(当且仅当ab时取等号)，即ba+ab2成立故选D.答案：D3解析：a1，所以a10，所以a1a1a11a112a11a113.当且仅当a11a1即a2时取等号故选D.答案：D4解析：(1)xy2xy215，即xy的最小值是215；当且仅当xy15时取最小值(2)xyx+y2215222254，即xy的最大值是2254.当且仅当xy152时xy取最大值答案：(1)215(2)2254题型探究课堂解透例1解析：ab0， a2+b22 a2+a22a，a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，a2+
7、b22a+b22.又a0，b0，则 a2+b22 a+b22a+b2.由a0，b0，得a+b2ab，1a+1b2 1a1b，ab21a+1b，21a+1bbbaba+b0，21a+1bb，a a2+b22a+b2ab21a+1bb.跟踪训练1解析：(1)方法一0a1，0b2ab，ab2ab，aa2，bb2，aba2b2，故选D.方法二取a12，b13，则a2b21336，2ab63，2ab13，ab56，显然56最大，故选D.(2)abc，ab0，bc0，ac2ab+bc2abbc，当且仅当abbc，即2bac时等号成立答案：(1)D(2)abbcac2例2证明：a，b，c，a2b，b2c，c
8、2a均大于0，a2bb 2a2bb2a，当且仅当a2bb时等号成立b2cc2b2cc2b，当且仅当b2cc时等号成立c2aa2c2aa2c，当且仅当c2aa时等号成立相加得a2bbb2ccc2aa2a2b2c，a2b+b2c+c2aabc.跟踪训练2证明：(xy)4x+9y494yx+9xy134yx+9xy，又因为x0，y0，所以4yx0，9xy0，由基本不等式得，4yx+9xy24yx9xy12，当且仅当4yx9xy时，取等号，即2y3x时取等号，所以(xy)4x+9y25.例3解析：(1)x0，12x0，4x0.12x4x212x4x83.当且仅当12x4x，即x3时取最小值83，当x0
9、时，原式的最小值为83.x0.则12x+4x12x(4x)212x4x83，当且仅当12x4x时，即x3时取等号12x4x83.当x0时，原式的最大值为83.解析：(2)0x0，4x(32x)22x(32x)22x+32x2292.当且仅当2x32x，即x34时取等号y的最大值为92.(3)x2，x20，x4x2(x2)4x222x24x226.当且仅当x24x2，即x4时，x4x2取最小值6.跟踪训练3解析：(1)0x0，yx(12x)122x(12x)122x+12x2218，当且仅当2x12x，即x14时取等号(也可用二次函数配方法求解)(2)x0，2x12x12x112x1112x+1
10、12x1，12x112x212x112x2(当且仅当x0时，等号成立)2x12x1211.(3)x1，令tx1(t0)，则xt1，所以y4x28x+5x14t+128t+1+5t4t2+1t4t1t24t1t4.当且仅当4t1t，即t12，x32时取等号所以y4x28x+5x1的最小值为4.答案：(1)B(2)1(3)见解析课堂十分钟1解析：命题p：a，bR，aba+b22，p：a，bR，aba+b22，故A错误；当a，b一正一负时，ab0，a+b220，aba+b22；当a，b中至少一个为0时，ab0，a+b220，aba+b22；当a，b均为负数时，ab(ab)2ab，整理得aba+b22
11、，当且仅当ab时取等号；当a，b均为正数时，ab2ab，整理得aba+b22，当且仅当ab时，取等号命题p：a，bR，aba+b22是假命题，故B，D均错误，C正确故选C.答案：C2解析：A项中，可能ba0，1a+1b21ab0，相乘得(ab)1a+1b4，当且仅当ab时等号成立，所以正确；C项中，a9a2a9a6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，2aba+bab(a0，b0)，所以D不正确故选B.答案：B3解析：由基本不等式知等号成立的条件为9x2x2，即x5(x1舍去)答案：C4解析：依题意得yt1t42t1t42，当且仅当t1时等号成立，即函数yt24t+1t(t0)的最小值是2.答案：25证明：a0，b0，b2aa2b，a2bb2a，b2a+a2bab.
