1、湘教版高中数学必修第一册-5.1.2弧度制-学案讲义教材要点要点一度量角的两种单位制角度制定义用_作单位来度量角的单位制1度的角周角的1360为1度的角，记作1弧度制定义以_为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于_的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 _状元随笔正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位联系(1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化要点二弧度数的计算(1)正角：正角的弧度数是一个_(2)负角：负角的弧度数是一个_(3)
2、零角：零角的弧度数是_(4)如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|lr.要点三角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360_2 rad_180_ rad_1180 rad0.017 45 rad1 rad180 57.3度数180弧度数弧度数180度数状元随笔对角度制与弧度制换算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同要点四扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：l_(2)扇
3、形面积公式：S12lr12r2.基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)1 rad的角和1的角大小相等()(2)用弧度来表示的角都是正角()(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关()(4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30，则扇形的弧长l|r30 cm.()2(多选)下列各种说法中，正确的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12C根据弧度的定义，180的角一定等于 rad的角D利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关3将864化为弧度为()A365B125C245D48254扇形圆心角为216，弧长为30，则
4、扇形半径为_题型1角度与弧度的互化例1(1)把1 125化为2k(kZ，02)的形式是()A64 B674C84 D874(2)把5化成角度是()A18B18 C36D36方法归纳进行角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180 rad，充分利用1180rad和1 rad180进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad180；nn180.提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度跟踪训练1(多选)下列
5、转化结果正确的是()A30化成弧度是6B103化成度是600C6730化成弧度是27D85化成度是288题型2用弧度制表示角例2已知角2 005.(1)将改写成2k(kZ，02)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在5，0)内找出与终边相同的角方法归纳(1)用弧度数表示与角终边相同的角连同角在内的集合为|2k，kZ(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并跟踪训练2(1)终边在直线yx上的所有角的集合是()A|=2k+34，kZ B|=2k4，kZC|=k+54，kZ D|=k4，kZ(2)用弧度表示
6、终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合题型3弧长公式与扇形面积公式的应用例3(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数(2)已知一扇形的圆心角是72，半径等于20 cm，求扇形的面积(3)已知一扇形的周长为40 cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？方法归纳弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法(1)将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制一般地，在几何图形中研究的角，其范围是0，2)；(2)利用，l，r，S四个量“知二求二”代入公式跟踪训练
7、3(1)一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是()A1 B2C3 D4(2)已知扇形的圆心角为120，半径为3 cm，则此扇形的面积为_ cm2.易错辨析混用角度与弧度致误例4下列与94的终边相同的角的表示正确的是()A2k45(kZ) Bk36094(kZ)Ck360315(kZ) Dk54(kZ)解析：与94的终边相同的角可以写成2k94(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确故选C.答案：C易错警示易错原因纠错心得忽略了角的度量，单位的一致性，易错选B.在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达要规范，即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用课堂十
8、分钟11 920的角化为弧度数为()A163 B323C163 D3232已知2 rad，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3已知半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为()A6 B8C10 D124已知弧长为的弧所对圆心角为60，则这条弧所在圆的半径为_5已知角1 200.(1)将改写成2k(kZ，02)的形式，并指出是第几象限的角(2)在区间4，上找出与终边相同的角参考答案与解析新知初探课前预习要点一度弧度半径长rad要点二(1)正数(2)负数(3)0要点三2 rad360 rad180要点四r基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解
9、析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关故选ABC.答案：ABC3解析：864864180245.故选C.答案：C4解析：216216，lrr30，r25.答案：25题型探究课堂解透例1解析：(1)1 12532428.故选D.(2)36.故选D.答案：(1)D(2)D跟踪训练1解析：30化成弧度是，A正确；化成度是600，B正确；6730是67.567.5，C错误；化成度是288，D正确故选ABD.答案：ABD例2解析：(1)2 0052 005 rad radrad，又，角与终边相同，是第三象限的角(2)与终边相同的角为2k(kZ)，由52k0，kZ知k1，2，3.在
10、5，0)内与终边相同的角是，.跟踪训练2解析：(1)直线yx过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在02范围内终边在直线yx上的角有两个：，.因此终边在直线yx上的角的集合S.故选D.(2)对于题图，225角的终边可以看作是135角的终边，化为弧度，即，60角的终边即的终边，所求集合为.对于题图，同理可得，所求集合为答案：(1)D(2)见解析例3解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为(02 rad，舍去；当r4时，l2，此时(rad). rad.(2)设扇形的圆心角为，弧长为l cm，半径为r cm，面积为S cm2.7272(rad)，lr208(cm).Slr82080(cm2).(
11、3)设扇形的圆心角为，半径为r cm，弧长为l cm，面积为S cm2，则l2r40，l402r，Slr(402r)r(20r)r(r10)2100.当r10时，扇形的面积最大这个最大值为100 cm2，这时2 rad.跟踪训练3解析：(1)设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，由扇形的弧长为6，面积为6.则解得3，即扇形的圆心角为3 rad.故选C.(2)设扇形的圆心角为，弧长为l cm，半径为r cm，面积为S cm2，因为120120 rad(rad)，所以lr(cm).所以Slr(cm2).答案：(1)C(2)课堂十分钟1解析：1180rad，1 9201 920180rad323rad.故选D.答案：D2解析：1 rad(180)，2 rad(360)114.6.故角的终边在第三象限故选C.答案：C3解析：由题可得该弧的弧长l3412.故选D.答案：D4解析：由弧长公式l|r，可得半径rl33.答案：35解析：(1)因为1 2001 20032，又，所以角与的终边相同，所以角是第二象限的角(2)因为与角终边相同的角(含角在内)为2k，kZ，所以由42k，得k.因为kZ，所以k2或k1或k0.故在区间4，上与角终边相同的角是，.
