1、湘教版高中数学必修第一册-4.4.1方程的根与函数的零点-学案讲义教材要点要点一方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零要点二函数零点的判定函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)f(b)0，则存在点x0(a，b)，使得f(x0)0.如果知道yf(x)在区间a，b上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)0在(a，b)内恰有一个根状元随笔定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画
2、“”)(1)所有的函数都有零点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.()(4)函数y2x1的零点是12.()2函数f(x)ln (x1)2x的零点所在的一个区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，3) D(3，4)3函数f(x)x3x的零点个数是()A0 B1C2 D34若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_题型1求函数的零点例1(1)函数f(x)2x2，x12+log2x，x1的零点是()A14 B1 C1
3、4和1D0和1(2)如果函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0，2B0，12 C0，12D2，12方法归纳函数零点的求法求函数yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪训练1(1)函数f(x)x1x的零点是_(2)函数f(x)2xx1的零点为_题型2函数零点的个数问题角度1判断函数零点的个数例2函数f(x)ln x1x1的零点个数是()A0B1 C2D3方法归纳判断函数零点的个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可
4、以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数(2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系中作出y1g(x)和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数角度2由函数零点求参数的取值范围例3已知函数f(x) ln1+x,x 1(x+2)2,x1,若方程f(x)m0有4个不相同的解，则实数m取值范围为()A(0，1B0，1) C(0，1)D0，1方法归纳已知函数零点个数求参数范围的常用方法跟踪训练2(1)函数f(x)12xx32在区间(1，0)内的零点个数是()A0 B1C2 D3(2)若函数f(x)24ax24x1在区间(1，1)内恰有一个
5、零点，则实数a的取值范围是()A18，524 B18，52416C18，00，524 D16题型3函数零点所在的区间问题角度1确定零点所在区间例4函数f(x)ln x2x3的零点所在的一个区间是()A(0，12) B(12，1)C(1，32) D(32，2)方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点角度2由函数零点所在区间求参数范围例5若函数f(x)3x25xa的一个零点在区间(2，0)内，另
6、一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是_.方法归纳根据零点存在性定理及函数性质列出不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围跟踪训练3(1)在下列区间中，函数f(x)6xlog2x的零点所在区间为()A12，1 B(1，2)C(3，4) D(4，5)(2)已知函数f(x)ln xm的零点位于区间(1，e)内，则实数m的取值范围是_易错辨析忽视零点存在性定理的条件致误例6(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)0，f(1)0，f(2)0，则下列说法错误的有()Af(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点Bf(x)在区间(0，1)上一定没有零点
7、，在区间(1，2)上一定有零点Cf(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点Df(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：由题知f(0)f(1)0，所以根据函数零点存在性定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)f(2)0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点故选ABD.答案：ABD易错警示易错原因纠错心得易忽略零点存在性定理的条件：函数在闭区间上是连续不断的一条曲线端点函数值异号，只是一个条件，还要注意零点存在性定理成立的另一个条件，即函数在闭区间上是连续不断的一条曲线课堂十分钟1函数f(x)2x23x1的零点是()
8、A12，1 B12，1C12，1 D12，12函数f(x)x33x2的零点所在区间为()A0，14 B14，12C12，34 D34，13(多选)已知函数x24x+2,x0(13)x+1, x0，f(0)(0)3210.故函数f(x)在区间(1，0)内的零点个数是1.(2)f(x)24ax24x1，f(0)10，x0不是函数的零点当x0时，由f(x)24ax24x10.得a.令t，则t(，1)(1，)，令g(t)(t2)2，则g(1)，g(1)，g(2).函数f(x)24ax24x1在区间(1，1)内恰有一个零点函数ya的图象与函数yg(t)，t(，1)(1，)的图象有且只有一个交点，由图可知
9、，a.答案：(1)B(2)B例4解析：函数f(x)的定义域为(0，)，其图象在定义域上为一条不间断的曲线，且f(1)10，fln 0，由零点存在性定理可知，函数f(x)在上存在零点答案：C例5解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图由图可知即解得12a0，f(4)20，根据零点存在性定理得到函数f(x)在区间(3，4)上存在零点(2)令f(x)ln xm0，得mln x，因为x(1，e)，所以ln x(0，1)，故m(0，1).答案：(1)C(2)(0，1)课堂十分钟1解析：方程2x23x10的两根分别为x11，x212，所以函数f(x)2x23x1的零点是12，1.故选B.答案
10、：B2解析：函数f(x)x33x2是连续函数且单调递增，f(12)18322380，f (34)276494243640f(12) f (34)0，由零点判定定理可知函数的零点在区间(12,34)上故选C.答案：C3解析：g(x)恰好有3个零点，等价于f(x)m有三个不等实根，如图，作出yf(x)的图象，可得当13m2时，f(x)的图象与ym有三个交点故选BC.答案：BC4解析：x0时，令x22x30，解得x3.x0时，f(x)ln x2在(0，)上递增，f(1)20，f(e3)10，f(1)f(e3)0，f(x)在(0，)上有且只有一个零点综上，f(x)在R上有2个零点答案：25解析：由题可知，f(x)x23(m1)xn的两个零点为1和2.则1和2是方程x23(m1)xn0的两根可得解得所以函数ylogn(mx1)的解析式为ylog2(2x1)，要求其零点，令log2(2x1)0，解得x0.所以函数ylog2(2x1)的零点为0.
