1、专项培优考点一函数的概念与表示1定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了2通过对函数的概念与表示的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养例1(1)函数f(x)2x21x(2x1)0的定义域为()A(，12) B12，1C12，12 D，1212，1(2)已知a，b为常数，且a0，f(x)ax2bx，f(2)0，方程f(x)x有两个相等的实数根求函数f(x)的解析式；当x1，2时，求f(x)的值域跟踪训练1(1)函数y7+6xx2的定义域是_(2)函数f(x)在R上为奇函数，当x0时，f(x)x1，则f(x)的解析式为_考
2、点二分段函数1分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题2通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养例2已知函数f(x)12x，0x1，34x4，1x2，5412x，2x52.(1) 求f(x)的定义域、值域；(2)求f(f(1)；(3)解不等式f(x1)14.跟踪训练2设f(x)x，0x1，2x1，x1，若f(a)f(a1)，则f1a()A2 B4C6 D8考点三函数的图象及应用1函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出
3、函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题2通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理素养例3(1)函数f(x)ax+bx+c2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0(2)向如图所示的容器甲中注水，下面图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是()跟踪训练3(1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()(2)已知定义在R上的奇函数f(x)在x0时的图象如图所示，则f(x)0的解为_考点四函数的性质及应
4、用1函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点2通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养例4已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)1，若a，b1，1，ab0时，有fa+fba+b0成立(1)判断f(x)在1，1上的单调性，并证明(2)解不等式：fx+12f1x1.(3)若f(x)m22am1对所有的a1，1恒成立，求实数m的取值范围跟踪训练4已知函数f(x)ax22(1a)xb(a，bR)(1)若a0，且函数f(x)在区间(，3上单调递增，求实数a的取值范围(2)令f(x)x
5、g(x)(x0)，且f(x)为偶函数，试判断g(x)的单调性，并加以证明参考答案与解析考点聚集分类突破例1解析：(1)由题意知1x02x10解得x1且x12，所以f(x)的定义域是，1212，1.故选D.(2)由f(2)4a2b0，得2ab0，(*)f(x)x，即ax2bxx，即ax2(b1)x0(a0)有两个相等的实数根b10，b1.将其代入(*)得a12，f(x)12x2x.由知f(x)12(x1)212，显然f(x)在1，2上是减函数当x1时，f(x)max12，当x2时，f(x)min0，故当x1，2时，函数的值域是0，12.答案：(1)D(2)见解析跟踪训练1解析：(1)要使函数有意
6、义，需76xx20，即x26x70，解得1x7，故所求函数的定义域是1，7.(2)当x0，f(x)x1，f(x)在R上为奇函数，f(x)f(x)x1，又f(0)0，f(x)的解析式为f(x)x+1，x00，x=0x1，x00，x=0x1，x0例2解析：(1)f(x)的定义域为(0，1)1，22，520，52.易知f(x)在(0，1)上为增函数，0f(x)12，f(x)在1，52上为减函数，014等价于0x+114或1x+114或2x+114.解得12x0，解得0x14的解集为12，00，112，1.跟踪训练2解析：方法一：当0a1，f(a)a，f(a1)2(a11)2a.f(a)f(a1)，a
7、2a，解得a14.f1af(4)2(41)6；当a1时，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a.由f(a)f(a1)，得2(a1)2a，无解当a1时，a12，f(1)0，f(2)2，不符合题意综上，f1a6.方法二：由当x1时，f(x)2(x1)是增函数，可知若a1，则f(a)f(a1)，0a0，c0，b0.令f(x)0，得xba，结合图象知ba0，a0.(2)由容器甲的形状可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始时陡峭，后来趋于平缓，观察图象可知只有B符合，故选B.答案：(1)C(2)B跟踪训练3解析：(1)A项，由图象开口向下知a0，由对称轴位置知
8、b2a0，所以b0，所以c0.而由题图知f(0)c0，A错；B项，由题图知a0，故b0.又因为abc0，所以c0，B错；选项C，D中，开口向上，故a0，f(0)c0知b0，故C错，D正确故选D.(2)由于f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作出函数在(，0)上的图象如图所示由图可知f(x)0的解集为(，4)2，02，4答案：(1)D(2)(，4)2，02，4例4解析：(1)f(x)在1，1上单调递增证明如下：任取x1，x21，1，且x10，又x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1，1上单调递增(2)f(x)在1，1上单调递增，x+121x1，1x+1
9、21，11x11.解得32x1.故原不等式的解集为x|(3)/(2)x1.(3)f(1)1，f(x)在1，1上单调递增，在1，1上，f(x)1.问题转化为m22am11，即m22am0对a1，1恒成立设g(a)2mam20.若m0，则g(a)00，自然对a1，1恒成立若m0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)0，对a1，1恒成立，必须g(1)0，且g(1)0，即2m+m20，2m+m20，解得m2或m2.故m的取值范围是m|m0或m2或m2跟踪训练4解析：(1)a0，且函数f(x)在(，3上单调递增，a0，a1a3，解得12a0，实数a的取值范围是12a0.(2)当b0时，g(x)的单调递增
10、区间为(，0)和(0，)；当b0时，g(x)的单调递增区间为(，b)和(b，)，单调递减区间为(b，0)和(0，b)证明：f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即ax22(1a)xbax22(1a)xb对任意x0都成立，a1，则g(x)xbx(x0)设x1，x2为区间A上的任意两个数，且x1x2，则g(x1)g(x2)x1bx1x2bx2(x1x2)1bx1x2，当b0时，g(x)的单调递增区间为(，0)和(0，)当b0时，A(，0)或(0，)，g(x1)g(x2)0时，A(，b)或(b，)，g(x1)g(x2)0，g(x)在区间(，b)和(b，)上单调递增；同理g(x)在区间(b，0)和(0，b)上单调递减综上可知，当b0时，g(x)的单调递增区间为(，0)和(0，)；当b0时，g(x)的单调递增区间为(，b)和(b，)，单调递减区间为(b，0)和(0，b)
