1、第 3 章圆周运动 习题课:圆周运动的临界问题 课后篇巩固提升 基础巩固 1.(2019 湖南邵阳二中高一期末)长度为 L=0.4 m的轻质细杆 OA,A端连有一质量为 m=2 kg 的小球, 如图所示,小球以 O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小球的速率是 1 m/s(g 取 10 m/s2),则此时细杆对小球的作用力为( ) A.15 N,方向向上 B.15 N,方向向下 C.5 N,方向向上 D.5 N,方向向下 解析在最高点,假设细杆对小球的作用力方向向上,根据牛顿第二定律得,mg-F= ,解得 F=mg- =15 N,可知细杆对小球的作用力大小为 15 N,方向向上。故
2、 A 正确,B、C、D错误。 答案 A 2.如图所示,长度均为 L的两根轻绳,一端共同系住质量为 m的小球,另一端分别固定在等高的 A、B 两点,A、B两点间的距离也为 L。重力加速度大小为 g。今使小球在竖直面内以 AB 为轴做圆周运动, 若小球在最高点的速率为 v 时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为 2v 时,每根绳的 拉力大小为( ) A. mg B. mg C.3mg D.2 mg 解析当小球在最高点的速率为 v 时,有 mg=m ,其中 R= L;当小球在最高点的速率为 2v时,有 F+mg=m ,解得两绳拉力的合力 F=3mg,由几何知识得 T= mg,选项 A正确
3、。 答案 A 3.如图所示,一水平放置的木板上放有砝码,砝码与木板间的动摩擦因数为 ,让木板在竖直平面内做 半径为 R 的匀速圆周运动。假如运动中木板始终保持水平,砝码始终没有离开木板,最大静摩擦力等 于滑动摩擦力,那么下列说法正确的是( ) A.在通过轨道最高点时砝码处于超重状态 B.在经过轨道最低点时砝码所需静摩擦力最大 C.匀速圆周运动的速度小于 D.在通过轨道最低点和最高点时,砝码对木板的压力之差为砝码重力的 6 倍 解析在通过轨道最高点时,向心加速度竖直向下,砝码处于失重状态,选项 A错误;木板和砝码在竖直 平面内做匀速圆周运动,砝码受到重力 mg,木板支持力 N 和静摩擦力 f,所
4、受合外力提供向心力,由于 重力 mg 和支持力 N 在竖直方向上,因此只有当砝码所需向心力在水平方向上时静摩擦力有最大值, 最大静摩擦力必须大于或等于砝码所需的向心力,即 Nm ,此时在竖直方向上 N=mg,故 v , 选项 B 错误,C 正确;在最低点,N1-mg=m ,在最高点,mg-N2=m ,则 N1-N2=2m 2mg,选项 D 错误。 答案 C 4.质量为 m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动,若经最高点不脱离轨道的临界速度为 v,则当 小球以 2v速度经过最高点时,小球对轨道的压力大小为( ) A.0 B.mg C.3mg D.5mg 解析当小球以速度 v 经内轨道最高点时,小
5、球仅受重力,重力充当向心力,有 mg=m ,当小球以速度 2v 经内轨道最高点时,小球受重力 mg 和向下的支持力 N,如图所示,合力充当向心力,有 mg+N=m ;又 由牛顿第三定律得到,小球对轨道的压力与轨道对小球的支持力相等,N=N;由以上三式得到,N=3mg。 故 C 正确。 答案 C 5.(多选)如图所示,一质量为 m1的人站在台秤上,一根长为 R的悬线一端系一个质量为 m2的小球,人 手拿悬线另一端,小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动,且小球恰好能通过圆轨道最高点,则 下列说法正确的是 ( ) A.小球运动到最高点时,小球的速度为零 B.当小球运动到最高点时,台秤的示数最小,
6、且为 m1g C.小球在 a、b、c三个位置时,台秤的示数相同 D.小球通过圆轨道最低点时,台秤的示数大于 m1g 解析小球恰好能通过圆轨道最高点,由 m2g=m2 ,得 v= ,A项错误;当小球恰通过圆轨道最高点 b 时,悬线拉力为 0,此时对人受力分析,得出台秤对人的支持力 F=m1g,在 a、c两处时小球受重力和水 平指向圆心的拉力,台秤对人的支持力也为 F=m1g,即台秤的示数也为 m1g,故 C项正确;小球在 a、c 连线以上(不包括 b点)时,人受到悬线斜向上的拉力,人对台秤的压力小于 m1g,B项错误;小球在圆轨 道最低点时,人受到悬线向下的拉力,人对台秤的压力大于 m1g,即台
7、秤的示数大于 m1g,D 项正确。 答案 CD 6.如图所示,转动轴垂直于光滑水平面,交点 O 的上方 h 高处(A点)固定细绳的一端,细绳的另一端连 接一质量为 m 的小球 B,绳长 lh,重力加速度为 g,转动轴带动小球在光滑水平面内做圆周运动。当 转动的角速度 逐渐增大时,下列说法正确的是( ) A.小球始终受三个力的作用 B.细绳上的拉力始终保持不变 C.要使小球不离开水平面,角速度的最大值为 D.若小球离开了水平面,则角速度为 解析当转动的角速度 逐渐增大时,小球可能只受重力和细绳的拉力,选项 A 错误;小球在水平面内 做匀速圆周运动时,细绳的拉力在竖直方向的分力与水平面对小球的支持
8、力的合力大小等于小球的 重力大小,细绳的拉力在水平方向的分力提供小球运动的向心力,当转动的角速度 逐渐增大时,所需 向心力逐渐增大,细绳的拉力逐渐增大,而当小球离开水平面后,角速度增大时,绳子与竖直方向的夹 角变大,拉力变大,选项 B 错误;要使小球刚好不离开水平面,则有 mgtan =m2r,其中 tan = - ,r= - ,联立解得 = ,选项 C 正确;若小球离开了水平面,则角速度大于 ,选项 D 错误。 答案 C 7.在一水平放置的圆盘上面放有一劲度系数为 k的弹簧,如图所示,弹簧的一端固定于轴 O上,另一端 挂一质量为 m 的物体 A,物体与盘面间的动摩擦因数为 。开始时弹簧未发生
9、形变,长度为 R,设最大 静摩擦等于滑动摩擦,求: (1)盘的转速 n0多大时,物体 A 开始滑动? (2)当转速达到 2n0时,弹簧的伸长量 x是多少?(本题中各物理量单位都用国际单位制表示) 解析(1)若圆盘转速较小,则静摩擦力提供向心力,当圆盘转速较大时,弹力与摩擦力的合力提供向心 力。 物体 A开始滑动时,A 所受最大静摩擦力提供向心力,则有 mg=m(2n0)2R 得:n0= 。 (2)当转速达到 2n0时,由牛顿第二定律 得:mg+kx=m(2 2n0)2(R+x) 得:x= - 。 答案(1) (2) - 8.如图所示,长为 L的轻杆,两端各连接一个质量都是 m 的小球,使它们以
10、轻杆中点为轴在竖直平面内 做匀速圆周运动,周期 T=2 ,求它们通过竖直位置时杆分别对上、下两球的作用力大小,并说明是 拉力还是支持力。 解析对小球受力分析,得 在最低点处 F1-mg=m 2 , 所以 F1= mg,方向向上,为拉力。 在最高点处,设球受杆拉力为 F2, F2+mg=m 2 。 所以 F2=- mg,故知 F2方向向上,为支持力。 答案上球: mg,支持力 下球: mg,拉力 能力提升 1.(2019 浙江宁波期末)如图甲所示,用一轻质绳拴着一质量为 m 的小球,在竖直平面内做圆周运动(不 计一切阻力),小球运动到最高点时绳对小球的拉力为 T,小球在最高点的速度大小为 v,其
11、 T-v2关系如 图乙所示,则 ( ) A.轻质绳长为 B.当地的重力加速度为 C.当 v2=c 时,轻质绳的拉力大小为 +a D.v2b 时,小球能在竖直平面内做完整的圆周运动 解析在最高点时,绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力,则得 mg+T=m ,解得 T= v 2-mg,由图 像知,T=0时,v2=b。图像的斜率 k= ,则 ,得绳长 L= ,选项 A 错误。当 v2=0 时,T=-a,由得-a=- mg,得 g= ,选项 B正确。当 v 2=c 时,代入得 T= c-mg= c-a,选项 C错误。只要 v 2b,在最高点绳 子的拉力 T0,小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动,选项
12、 D错误。 答案 B 2.如图所示是半径为 r 的竖直光滑圆形轨道,将一玩具小车放到与轨道圆心 O 处于同一水平面的 A 点,并给小车一竖直向下的初速度,使小车沿轨道内侧做圆周运动。要使小车不脱离轨道,则在 A处使 小车获得竖直向下的最小初速度应为( ) A. B. C. D. 解析小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足 mg=m 。小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中, 只有重力做功,机械能守恒。设小车在 A 处获得的最小初速度为 vA,由机械能守恒定律得 =mgr+ mv 2,解得 v A= ,选项 C正确。 答案 C 3.某兴趣小组设计了一个滚筒式炒栗子机器,滚筒内表面粗糙,内径为 D。工作
13、时滚筒绕固定的水平 中心轴转动。为使栗子受热均匀,要使栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离,则(重力加速度为 g)( ) A.滚筒的角速度 应满足 C.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关 D.若栗子到达最高点附近时脱离滚筒,栗子将自由下落 解析栗子在最高点恰好不脱离时,有 mg= ,解得 = ,要使栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离, 则 ,故 A 正确,B 错误。栗子脱离滚筒的位置与其质量无关,故 C 错误。若栗子到达最高点附 近时脱离滚筒,由于栗子此时的速度不为零,因此栗子的运动不是自由落体运动,故 D 错误。 答案 A 4.如图所示,可视为质点的木块 A、B叠放在一起,放在水平转台上随转台一起绕固定转
14、轴 OO匀速转 动,木块 A、B 与转轴 OO的距离为 1 m,A的质量为 5 kg,B 的质量为 10 kg。已知 A 与 B间的动摩擦 因数为 0.2,B与转台间的动摩擦因数为 0.3,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取 10 m/s2。若木块 A、 B 与转台始终保持相对静止,则转台角速度 的最大值为( ) A.1 rad/s B. rad/s C. rad/s D.3 rad/s 解析由于 A和 A、B 整体受到的静摩擦力均提供向心力,故对 A,有 1mAgmA2r,对 A、B 整体,有 (mA+mB)2r2(mA+mB)g,解得 rad/s,故选项 B 正确。 答案 B 5.(2019
15、 济南高一检测)如图所示为某游乐场的过山车的轨道,竖直圆形轨道的半径为 R。现有一节车 厢(可视为质点)从高处由静止滑下,不计摩擦和空气阻力。设车厢的质量为 m,重力加速度为 g。 (1)要使车厢能通过圆形轨道的最高点,车厢开始下滑时的高度至少应多高? (2)若车厢恰好能通过圆形轨道的最高点,则车厢在轨道最低处时对轨道的压力大小是多少? 解析(1)设车厢开始下滑时的高度为 h,运动到圆形轨道最高点时的最小速度为 v。要使车厢通过圆形 轨道的最高点,应有 mg=m 。 车厢在下滑过程中,只有重力做功,故机械能守恒。选取轨道最低点所在平面为参考平面,由机械 能守恒定律得 mv 2+mg 2R=mg
16、h,联立以上两式得 h= R。 (2)设车厢到达轨道最低点时的速度为 v,受到的支持力大小为 F,则由机械能守恒定律得 mv 2=mgh, 再由牛顿第二定律得 F-mg= , 联立以上两式得 F=6mg, 由牛顿第三定律知,在轨道最低处车厢对轨道的压力 F=F=6mg。 答案(1) R (2)6mg 6.如图所示,两绳系着一个质量为 m=0.1 kg的小球 C,上面绳长 l=2 m,两绳都拉直时与轴夹角分别为 30与 45。问球的角速度 满足什么条件时,两绳始终张紧?(g 取 10 m/s2) 解析对小球受力分析,如图所示。 当 BC绳恰好拉直,但没有拉力存在时, 有 T1cos 30=mg T1sin 30=mlsin 30 解得 1=2.4 rad/s; 当 AC绳恰好拉直,但没有拉力存在时, 有 T2cos 45=mg T2sin 45=mlsin 30 解得 2=3.16 rad/s 所以要使两绳始终张紧,必须满足的条件是 2.4 rad/s3.16 rad/s。 答案 2.4 rad/s3.16 rad/s
