1、 20202020- -20212021 学年高二数学上学期期中考测试卷学年高二数学上学期期中考测试卷 0202（人教（人教 B B 版版 20192019） 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4 40 0 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求一项是符合题目要求. . 为（ ） A2 B-2 C 1 2 D 1 2 【答案】A 【解析】因为直线 30mxy 与280 xy垂直，所以1 120m ，得2m. 2双曲线 2 2 1 2 x y的离心率为（ ） A 3 2 B 6 2 C
2、 2 2 D 3 2 2 【答案】B 【解析】由双曲线方程得 2 2a ， 2 1b ，则 2a ， 22 3cab ， 则双曲线的离心率 6 2 c e a = ， 3已知点P是直线3 450 xy 上的动点，点Q为圆 22 224xy的动点，则PQ的最小值 为（ ） A19 5 B 9 5 C 5 9 D 29 5 【答案】B 【解析】解：圆 22 224xy的圆心为(2,2)，半径为 2， 则圆心到直线3450 xy的距离为 68519 55 ， 所以PQ的最小值为 199 2 55 4平面的一个法向量为 1 (1,2,1)v ，平面的一个法向量 2 (2,4,2)v ，则平面与平面（
3、） A平行 B垂直 C相交 D不能确定 【答案】A 【解析】解：因为平面的一个法向量为 1 (1,2,1)v ，平面的一个法向量 2 (2,4,2)v ， 所以 21 2vv ，所以 12 vv 所以 5已知抛物线 C： 2 2xpy（ 0p ）的准线为 l，圆 M： 22 129xy与 l 相切，则p （ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】解：抛物线 2 :2(0)C xpy p的准线: 2 p ly 与圆 22 :(1)(2)3Mxy相切， 可得23 2 p ，解得2p 6设, x y R，向量 ,1,1 ,1, ,1 ,2, 4,2 ,axbyc且,/ /ac bc，则a
4、b（ ） A2 2 B10 C3 D4 【答案】C 【解析】/ ,24 1,2,1, 21bcyyb ， ,1210,1aba bxx ， 1,112, 1,2aab ， 2 22 2123ab 7已知 12 ,F F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，若点 2 F关于双曲线渐近线的对称点 A满足 11 F AOAOF（O 为坐标原点） ，则双曲线的离心率e（ ） A 2 B2 C 3 D 3 2 【答案】B 【解析】 2 F关于渐近线 b yx a 的对称点为A,设 2 AF与此渐近线的交点为 M,如图所示： 由对称性可得：M为 2 AF的中点，且 2 AFO
5、M， 又O为 12 FF的中点， 1 OM AF，所以 12 F AAF， 因为 11 F AOAOF，所以 11 AFFOc， 又 2 OAOFc, 1 OAF为等边三角形， 1 60AFO，故 2 60MOF， 故双曲线的离心率 2 c1 2 acosMOF e 8 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD为正方形， 侧棱 1 AA 底面ABCD，3AB ， 1 4AA ， P是侧面 11 BCC B内的动点， 且 1 APBD， 记AP与平面 11 BCC B所成的角为， 则t a n的最大值为 （ ） A 4 3 B 5 3 C2 D 25 9 【答案】B 【解
6、析】 以 1 ,DA DC DD所在直线分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系， 设( ,3, )P xz，则 1 (3,3, ),( 3, 3,4)APxz BD ， 11 ,0APBDAP BD， 3 3(3)3 340, 4 xzzx , 222 25 |(3)69 16 BPxzxx 2 2548819 1625255 x ， |5 tan |3 AB BP ， tan的最大值为 5 3 . 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题
7、目要求合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. . 9 如图， 直线 1 l，2l，3l的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k， 倾斜角分别为 1 ， 2 ， 3 ， 则下列选项正确的是 （ ） A 132 kkk B 321 kkk C 132 D 321 【答案】AD 【解析】解：如图，直线 1 l， 2 l， 3 l的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，倾斜角分别为 1 ， 2 ， 3 ， 则 23 0kk， 1 0k ， 故 23 0 2 ，且 1 为钝角 10已知向量a b b ca
8、 c ，3,0, 1b ，1,5, 3c ， 下列等式中正确的是（ ） Aa b c b c B abcabc C 2 222 abcabc Dabcabc 【答案】BCD 【解析】由题 3 0 30b c ，所以 0a bb ca c 0,0a b cb c 不相等，所以 A选项错误； 0abcabca bb ca ba c ，所以 abcabc ，所以 B选项正确； 2 222222 222abcabca bb ca cabc ，所以 C 选项正确； 2 222222 222abcabca bb ca cabc ， 即 22 abcabc ，abcabc ，所以 D 选项正确. 11双曲线
9、 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点在圆 22 :13O xy上，圆 22 :13O xy与双曲线C的渐近 线在第一、 二象限分别交于点M、N， 点( 0 , )Ea满足 0EOEMEN （其中O为坐标原点） ， 则 （ ） A双曲线C的一条渐近线方程为3 20 xy B双曲线C的离心率为 13 2 C| 1OE DOMN的面积为 6 【答案】ABD 【解析】如图：设双曲线C的焦距为22 13c ，MN与y轴交于点P，由题可知|13OMc，则 (0, )Pb，由 0EOEMEN 得点E为三角形OMN的重心，可得 2 | 3 OEOP，即 2 3 ab， 222 22 9 4
10、 bca aa ，2a，3b， 2 9 1 4 e ，解得 13 2 e . 双曲线C的渐近线方程为320 xy，| 2OE ，M的坐标为(2,3)，6 OMN S ， 故选：ABD. 12如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点E，F，且 1 2 EF ，则下列结 论中正确的是（ ） A线段 11 B D上存在点F，使得ACAF B/EF平面ABCD CAEF的面积与 BEF的面积相等 D三棱锥ABEF的体积为定值 【答案】BD 【解析】解：如图，以C为坐标原点建系CD，CB， 1 CC为x，y，z轴， 1,1,0A，0,0,0C，1, 1,0A
11、C ， 1 BFB 11 D， 即0,1,11, 1,0 xyz x， 1y ，1z ， ,1,1F，1,1AF 11010AC AF AC与AF不垂直，A 错误. E，F都在B，D上，又 11 /BD B D /EF BD，BD 平面ABCD，EF 平面ABCD /EF平面ABCD，B 正确 AB与EF不平行，则 1 AB与EF的距离相等 AEFBEF SS ，C错误 A到BEF的距离就是A到平面 11 BDD B的距离 A到 11 BDD B的距离为 2 22 AC 111 1 224 BEF S 1122 34224 A BEF V 是定值，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共三、
12、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13若直线(1) 10axy 和直线4(2)10 xay 平行，则a_. 【答案】2 【解析】由题可知，1240aa，解得2a或3a 当2a时，两直线方程分别为：10 xy ，4410 xy ，符合题意； 当3a，两直线方程分别为：410 xy ，410 xy ，两直线重合，不符合题意舍去 14已知圆 22 1 2230:Cxyxy与圆 22 2: 240Cxyaxy，若圆 1 C关于一条直线l对称的 圆是圆 2 C，则a_. 【答案】 【解析】由 22 2230 xyxy 得 22 115xy， 所以圆
13、1 C的圆心为1,1，半径为 1 5r ； 由 22 240 xyaxy得 22 2 24xaya， 所以圆 2 C的圆心为,2a，半径为 2 2 4ra； 又圆 1 C关于一条直线l对称的圆是圆 2 C，所以两圆半径相等， 即 2 45a ，解得1a. 15 一个结晶体的形状为平行六面体， 以同一个顶点为端点的三条棱长均为 6， 且它们彼此的夹角均为60， 则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_. 【答案】6 6 【解析】解：设AB a ，AD b ， 1 AAc， 因为 11 ACABADAAabc， 所以 22 222 1 2223636366 6 6 cos60216ACabcabca
14、 ba cb c ， 所以对角线 1 6 6AC 故答案为:6 6 16如图所示，已知以点 ( 1,2)A 为圆心的圆与直线 1: 270lxy相切.过点( 2,0)B 的动直线 l与圆 A 相 交于 M，N 两点，Q是MN的中点，直线 l与 1 l相交于点 P. （1）当2 19MN 时，直线 l的方程为_； （2）BQ BP_. 【解析】 （1）设圆 A的半径为 R.圆 A与直线 1: 270lxy相切， | 1 47| 2 5 5 R ，圆 A的 方程为 22 (1)(2)20 xy， 当直线 l的斜率不存在时，易知直线 l的方程为2x，此时2 19MN ，符合题意； 当直线 l的斜率存
15、在时，设直线 l的方程为 (2)yk x ，即20kxyk， 连接AQ，则AQMN， 2 19MN ，20 191AQ， 2 |2| 1 1 k AQ k ，解得 3 4 k ， 直线 l的方程为3460 xy ， 综上，直线 l的方程为2x或3 460 xy ； （2）AQBP，0AQ BP，()BQ BPBAAQBPBA BPAQ BPBA BP， 当直线 l的斜率不存在时， 得 5 2, 2 P ，则 5 0, 2 BP ， 又(1,2)BA ，5BQ BPBA BP ， 当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 (2)yk x ， 由 (2) 270 yk x xy ，得 475 ,
16、 1 21 2 kk P kk ， 55 , 1 21 2 k BP kk ， 510 5 1212 k BQ BPBA BP kk ， 综上所述，BQ BP为定值，其定值为5. 四、四、解答题：本小题共解答题：本小题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.（本小题 10 分） 已知直线 1 l：210 xy 和 2 l：20 xy的交点为P. （1）若直线l经过点P且与直线 3 l：4350 xy平行，求直线l的方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，
17、求OAB的面积（其 中O为坐标原点）. 【解析】1）由 210 20 xy xy ，求得 3 5 x y ，可得直线 1 l：和 2 l：的交点为3, 5P . 由于直线 3 l的斜率为 4 3 ， 故过点P且与直线 3 l平行的直线l的方程为 4 53 3 yx， 即4330 xy. （2）设直线m的斜率为k，则直线m的方程为53yk x ， 由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点， 且3, 5P 为线段AB的中点， 故 5 3,0A k ，0,35Bk ，且点P的坐标满足直线m的方程， 5 3 3 2 k ，且 35 5 2 k ，求得 55 33 k . 则6,0A 0, 10B 故O
18、AB的面积为 11 61030 22 OA OB . 18已知空间中三点( 2,0,2)A ， ( 1,1,2)B ，( 3,0,4)C ，设a AB ，b AC . （1）求向量a与向量b的夹角的余弦值； （2）若ka b 与 2kab 互相垂直，求实数k的值. 【解析】 （1）1,1,0aAB，1,0,2bAC ， 设a与b的夹角为， 110 cos 1010 | a b a b ； （2）1, ,2kabkk，22, , 4kabkk且2kabkab， 2 (1)(2)80kkk ，即： 5 2 k 或2k . 19（本小题 12 分） 20圆心在直线270 xy上的圆 C与 y轴交于两
19、点0, 4 ,0, 2AB，求圆 C的方程 【解析】设圆的方程为 22 2 xaybr，根据题意可得：270a b ， 2 22 4abr， 2 22 2abr，联立求解可得 235abr ， . 所以圆 C 的方程为 22 235xy 21（本小题 12 分） 在三棱锥SABC中，底面是边长为2 3的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点，侧 棱SA和底面成45角 （1）若D为侧棱SA上一点，当 SD DA 为何值时，BDAC； （2）求二面角SACB的余弦值大小 【解析】由题意可知SO 底面ABC，且OABC， 以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系
20、因为 ABC是边长为2 3的 正三角形，又SO与底面所成角为45，所以45SAO，所以3SOAO 所以0,0,0O，3,0,0C，0,3,0A，0,0,3S，3,0,0B （1）设ADa，则 22 0,3, 22 Daa ，所以 22 3,3, 22 BDaa ， 3, 3,0AC 若BDAC，则 2 33 30 2 BD ACa ， 解得 2 2a ，而 3 2AS ，所以 2SD ， 所以 21 22 2 SD DA （2）因为0, 3,3AS ，3, 3,0AC ，设平面ACS的法向量为 1 , ,nx y z， 则 1 2 , ,3, 3,0330 , ,0, 3,3330 nACx
21、y zxy nASx y zyz ，令1z ，则3x ，1y ，所以 1 3,1,1n . 而平面ABC的法向量为 2 0,0,1n u u r ， 所以 2 2 22 1 30 1 0 1 11 5 113 o, 1 c s n n ，又显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为 5 5 . 21 （本小题 12 分） 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 过点 1 3, 2 p ，离心率是 3 2 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为 1 1 , 2 2 M .求直线l与坐标轴围成的三角形的 面积. 【解析】
22、（1）由已知 3 2 c a ， 22 31 1 4ab 得2a，1b， 3c ， 椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y. （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y代入椭圆方程得 2 2 1 1 1 4 x y， 2 2 2 2 1 4 x y两式相减得 1212 1212 0 4 xxxx yyyy ， 中点坐标公式得 12 1xx +， 12 1yy 1 4 AB k 直线AB方程为 111 242 yx 令0 x， 5 8 y ，令0y ， 5 2 x 15525 28232 S . 22（本小题 12 分） 如图，已知抛物线 2 20ypx p的焦点为F，过点 00 ,0
23、0A xx 作直线l交抛物线于B，C两点， 记 1 ABF， 2 ACF. （1）若 0 xp，求 12 cos的最小值； （2）若对任意的直线l， 1 ， 2 恒为锐角，求 0 x的取值范围. 【解析】 （1）解：设l：x myp ， 11 ,B myp y， 22 ,C myp y. 与抛物线联立得： 22 220ypmyp，由韦达定理： 12 2yypm， 2 12 2y yp . 1 3 2 p BFmy， 2 3 2 p CFmy， 22222 148BCmp mp. 由余弦定理： 22 222 12 12 33 412 22 cos 33 2 22 pp mymypmm BFC p
24、p mymy 2 17 1 9 9 2 2 m . 故 12 7 coscos 9 BFC ，即 12 cos的最小值是 7 9 . （2）解：设 2 2,2Bptpt， 2 1 2,2 2 FBptpt ， 2 0 2,2ABptxpt. 要使 1 ， 2 恒为锐角，只需满足FB AB 恒大于 0 即可， 2 42 0 0 432 2 px FB ABp tpxpt. 若 0 3 2 p x ，则 2 232 0000 3282290pxpp xpxpxp . 即 0 39 22 pxp. 若 0 3 2 p x ，显然成立. 注意到， 12 ,0 ，故 0 2 p x . 故 0 9 0, 222 ppp x .
