1、第4章 根轨迹分析法u 4.1 根轨迹的基本概念u4.2 绘制根轨迹的基本法则u4.3 广义根轨迹u 4.4 控制系统的根轨迹分析u4.5 用MATLAB绘制系统根轨迹图u本章小结u习题闭环控制系统的稳定性可以由闭环传递函数的极点，即闭环系统特征方程的根所决定，系统瞬态响应的基本特征也是由闭环极点起主导作用的。闭环零点则影响系统瞬态响应的形态。因此，对于反馈控制系统的研究，首先是在系统的结构和参数已知时，求解系统的闭环极点和闭环零点；其次，为了使得系统具有希望的控制性能，需要考察系统结构参数的变化对其闭环极点和闭环零点的影响规律。系统的闭环极点是其闭环特征方程的根，对于高阶系统，采用解析法求解
2、其闭环极点是比较困难的。尤其是考察系统的闭环极点随着结构和参数变化的一般规律，更需要进行大量复杂的运算。1948年，伊文斯(W.R.Ewans)根据反馈控制系统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在联系，提出了一种简单实用的求取闭环特征根的图解方法根轨迹法。现在，根轨迹法在控制工程中得到了广泛的应用，并成为经典控制理论的基本分析方法之一。4.1.1 根轨迹的定义根轨迹的定义下面我们通过一个例子来学习根轨迹的定义。【例例4-1】已知一个单位负反馈系统的结构如图4-1所示。试绘制其根轨迹。4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念图4-1 单位反馈系统解解 系统的开环传递函数为其中：K为系统的开环放
3、大倍数；Kg为开环根轨迹增益，简称根轨迹增益，Kg2K。系统具有两个开环极点：p10，p22；没有开环零点。系统的闭环传递函数为)2()2(2)15.0()(kssKssKssKsGgg2g2)(KssKs闭环特征方程为D(s)s22sKg0系统的两个闭环特征根为 两个闭环特征根将随着Kg取值的变化而变化。例如，当Kg0时，s10，s22；当Kg1时，s1s21；当Kg2时，s1，21j；当Kg5时，s1，21j2；当Kg时，s1，21j。g2,111Ks在复平面上用平滑的曲线将计算结果连接起来，就可以得到Kg由0变化时闭环特征根走过的轨迹，即根轨迹，如图4-2所示。根轨迹图全面描述了Kg对闭
4、环特征根s1，2在复平面上的分布及系统性能的影响：当Kg从0连续变化时，根轨迹均在s左半平面，所以系统对所有的K值都稳定。当0Kg1时，特征根为互异负实数，系统处于过阻尼状态，阶跃响应无超调。图4-2 例4-1根轨迹图当Kg1时，特征根为相等的负实数，系统处于临界阻尼状态，阶跃响应也无超调。当Kg1时，特征根为一对共轭复数根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应振荡衰减。因此，所谓根轨迹，是指系统开环传递函数中的某个参数变化时，闭环特征根在复平面上所走过的轨迹。这里所说的某个参数，通常是指根轨迹增益Kg。除Kg外，有时亦可取其他的可变参数。4.1.2 根轨迹方程根轨迹方程绘制根轨迹的实质是寻找闭环特征
5、方程1Gk(s)0的根。对于如图4-3所示的一般控制系统，其开环传递函数为(4-1)式中：zj为系统的开环零点(j1，2，m)；pi为系统的开环极点(i1，2，n)；Kg为系统的根轨迹增益。niimjjpszsKsHsGsG11gk)()()()()(图4-3 反馈控制系统显然，满足Gk(s)1的点，即满足(4-2)的点，都是系统的闭环特征根，必定在根轨迹上。所以称式(4-2)为系统的根轨迹方程。由式(4-2)可以看出，根轨迹法实质上是一种利用控制系统开环传递函数求取系统闭环极点，从而分析闭环系统性能的方法。1)()(11gniimjjpszsK由于Gk(s)是关于复数s的函数，故式(4-2)
6、为一矢量方程。可由矢量的模值运算和相角运算分别得到(4-3)(4-4)式(4-3)称为根轨迹的幅值条件方程；式(4-4)称为根轨迹的相角条件方程。111gniimjjpszsK)12()()(11kpszsniimjj),2,1,0(k式(4-3)也可写为以下形式：(4-5)若s平面上的点是闭环极点，则它与zj，pi所组成的向量必定满足上述两方程，而且幅值条件方程与Kg有关，而相角条件方程与Kg无关。所以满足相角条件方程的s值代入幅值条件方程中，可以求得一个对应的Kg值，即s若满足相角条件方程，必定满足幅值条件方程。因此，相角条件方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件，而幅值条件方程只用来确定根轨
7、迹上各点的Kg值。mjjniigzspsK11【例例4-2】设单位反馈系统的开环传递函数为试检验复平面上一点s11.5j2.5是否在根轨迹上。若在，则确定与它对应的Kg值。解解 系统有3个开环极点p10，p22，p36.6；有1个开环零点z14。将这些零、极点及s11.5j2.5标注在复平面上。绘制从各零、极点到s1的向量，如图4-4所示。)6.6)(2()4()(gkssssKsG图4-4 例4-2开环零、极点位置可以测得：(s1z1)(s1p1)(s1p2)(s1p3)451207926180由相角条件方程式(4-4)可知，点s11.5j2.5在根轨迹上。由幅值条件方程式(4-5)，可得对
8、应的Kg值为 此例说明，通过选点试探法，可以判断复平面上某点是否落在根轨迹上。由那些满足相角条件的点就可以连成根轨迹。这种逐点试探的方法称为绘制根轨迹的试探法。15.126.38.56.29.211312111gzspspspsK根据幅值条件方程和相角条件方程，利用解析法或试探法可以绘制低阶系统的根轨迹，但对于高阶系统，绘制过程是很繁琐的，不便于实际使用。在控制工程中，通常使用以两类条件方程为基础建立起来的一些基本法则来绘制根轨迹。使用这些法则能够迅速地绘制出根轨迹的大致形状和变化趋势。对于满足相角条件方程式(4-4)的根轨迹，称为180根轨迹，也称为常规根轨迹。下面将讨论180根轨迹的绘制法
9、则。4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则【法则法则1】根轨迹的连续性、分支数与对称性。由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知实数，或为根轨迹增益Kg的函数，所以当Kg由0连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，因此根轨迹具有连续性。系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关。对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对称于实轴。因而，根轨迹也必然关于实轴对称。根轨迹是系统开环传递函数中的某个参数变化时，闭环特征根在复平面上变化的轨迹。因此根轨迹的分支数必然与闭环特征根的数目相等。由式(4-1)可推出系统的闭环特征方程为(4-6)
10、所以，根轨迹的分支数等于开环极点数n与开环零点数m中的大者。0)()()(11jmJgniizsKpssD【法则法则2】根轨迹的起点和终点。根轨迹的起点是指Kg0时的根轨迹点，而终点是指Kg时的根轨迹点。若系统具有n个开环极点，m个开环零点(对于实际控制系统，一般均满足nm)，则系统的n条根轨迹分支起始于开环极点，其中有m条终止于开环零点，其余(nm)条终止于无穷远处。当Kg0时，由式(4-6)可得，spi为闭环特征根。所以，开环极点是根轨迹的起点。由式(4-6)可得：(4-7)当Kg时，szj为闭环特征根。所以，有m条根轨迹分支终止于开环零点。对于剩余的(nm)条根轨迹，由式(4-7)可得：
11、nimjjizspsK11g0)()(101lim1lim)()(limg11gKspszsKnmsniimjjs上式说明，当Kg时，s为闭环特征根。所以(nm)条根轨迹将终止于无穷远处。通常，称无穷远处的根轨迹终点为无限开环零点。从这个意义上可以说，根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。【法则法则3】根轨迹的渐近线。若nm，当Kg时，有(nm)条根轨迹将沿着与实轴正方向夹角为ja，交点为a的渐近线趋于无穷远处，其中：渐近线与实轴正方向的夹角为 (4-8)mnk)12(aj,2,1,0k渐近线与实轴正方向的交点为(4-9)设系统的开环传递函数如式(4-1)，可将其展开为如下形式：(4-10)m
12、nzpmjjnii11annnnmmmmasasasbsbsbsKsHsG111111g)()(上式可进一步整理为(4-11)式中(4-12)(4-13)111)()()(mnmngsbasKsHsGmjjzb11niipa11设在根轨迹上无穷远处有一点s，即s，则从复平面上所有有限的开环零、极点指向s的向量都可以认为是相等的。因此，可以将从所有有限的开环零、极点指向s的向量都用从某个固定点a指向s的向量代替，即(4-14)将式(4-14)代入式(4-1)可得)()()(aijspszs(4-15)namaniimjjgssKpszsKsHsG)()()()()()(g111gg)()(mna
13、mnmnasmnsKsK比较式(4-11)和式(4-15)，可得(nm)aa1b1从而有 同理，当s时，由式(4-14)可知 (4-16)a)()(jijpszsmnzpmnbamjjniia1111)(将式(4-16)代入相角条件方程(4-4)，可得从而有)12(aaknmjjmnk)12(aj,2,1,0k【例例4-3】若系统开环传递函数为试确定根轨迹的分支数，根轨迹的起点和终点；若根轨迹的终点在无穷远处，试求渐近线与实轴的交点和夹角。解解 由法则1可知根轨迹有三条分支。由法则2可知三条根轨迹的起点分别在开环极点0，1和5处。因为没有开环零点，所以三条根轨迹的分支沿三条渐近线趋向无穷远处，
14、即根轨迹三条分支的终点均在无穷远处。)5)(1()(gksssKsG由法则3可求得渐近线与实轴正方向的夹角，即渐近线与实轴的交点为根轨迹的渐近线如图4-5所示。1,601,180 0,60 )12(akkkmnkj2030)510(11amnzpnimjji图4-5 例4-3根轨迹的渐近线【法则法则4】实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。上述结论可由根轨迹的相角条件方程(4-4)证明。在s平面的实轴上任取一个实验点s1，其左侧的每个开环实数零点或开环实数极点到s1的向量的相角均为0。对于s平面上共轭复数形式的开环零、极点，每对共轭的开环零点或开环极点到s1的向
15、量的相角之和均为0。实验点s1右侧的每个开环实数零点或开环实数极点到s1的向量的相角均为180。因此，根据根轨迹的相角条件方程，如果实验点s1所在的实轴段是根轨迹，则其右侧的开环零、极点数目之和应为奇数。【法则法则5】根轨迹的分离点(汇合点)。两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分开的点，称为根轨迹的分离点(汇合点)，用sd表示。1.分离点的计算分离点的计算根轨迹的分离点实质上就是闭环特征方程的重根，因此可以用求解方程式重根的方法确定其在s平面上的位置。设系统的开环传递函数为)()()()(gsNsMKsHsG则系统的闭环特征方程为(4-17)若ssd为闭环特征方程的重根(2)，则D(s)
16、对s的一阶导数为0)()(1)()(1)(gsNsMKsHsGsD)()()(2ssssDd )()()()(2d)(d2ddssssssssD)()()(2)(ddssssss必有因此，同时满足条件(4-18)的点ssd，即为根轨迹的分离点。0d)(ddssssD0)(0d)(dsDssD由式(4-17)可以进一步推导出根轨迹的分离点应满足的条件为(4-19)一般来说，若实轴上两相邻开环极点(包括无限开环极点)之间或两相邻开环零点(包括无限开环零点)之间有根轨迹，则此段根轨迹上必有分离点；若实轴上相邻的开环极点(包括无限开环极点)与开环零点(包括无限开环零点)之间有根轨迹，则此段根轨迹上或无
17、分离点，或分离点成对出现。需要指出的是，由于根轨迹的对称性，因此分离点多位于实轴上。虽然可能存在共轭复数形式的分离点，但此种情况较少出现。0)(0)()()()(sDsNsMsNsM另外，方程(4-20)的解sd也是根轨迹的分离点。这一方程同样可按重根条件推导而得，在此不再证明。mjjdniidzsps1111应当指出，如果开环系统无有限零点，则在分离点方程(420)中应取即分离点方程改为(4-21)011dmjjzs011dniips2.分离角的计算分离角的计算在分离点处根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角，称为分离角，用d表示。设有l条根轨迹分支进入分离点又离开，则分离角为(4-22)1,1
18、,0(,)12(dlklk【例例4-4】已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为试确定实轴上的根轨迹区段，并计算根轨迹的分离(汇合)点和分离角，以及分离(汇合)点处的根轨迹增益。解 首先将系统的开环传递函数写为零、极点形式，即式中：为根轨迹增益。)15.0)(1()125.0()(ksssKsG)2)(1()4()(gksssKsG2KKg根据法则4，可知实轴上的根轨迹区段应为(，4和2，1，而且在(，4区段上有汇合点，在2，1区段上有分离点。为求根轨迹的分离(汇合)点，令M(s)s4N(s)(s1)(s2)s23s2由分离点方程M(s)N(s)M(s)N(s)0整理得s28s100解得根据根轨
19、迹在实轴上的分布，可知是实轴上的分离点，是实轴上的汇合点。,55.11ds45.62ds1ds2ds 分离点和汇合点对应的根轨迹增益分别为分离角为1.04211111dddgdsssK9.94212221dddgdsssK23,22)12(dk1,0k【法则法则6】根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴相交时，交点为一对共轭纯虚根j。下面介绍两种求解根轨迹与虚轴交点的方法。方法一：将sj代入闭环特征方程D(s)1G(s)H(s)0上式可整理为如下形式：令解出及对应的根轨迹增益Kgc，共轭纯虚根j即为根轨迹与虚轴的交点。0)j(Im)j(Re)(DDjD0)j(Im0)j(ReDD方法二：写出系统的闭
20、环特征方程，列出其劳斯表。由第3章可知，当劳斯表出现数字元素全零行时，系统存在关于原点对称的特征根。故令劳斯表满足条件的行的所有数字元素为零，解得相应的Kgc。将其代入由数字元素全零行的上一行元素构造的辅助方程中，解出对应的，从而得到根轨迹与虚轴相交的一对共轭纯虚根j。【例例4-5】对于例4-3所示系统的开环传递函数，试求根轨迹与虚轴的交点及对应的临界根轨迹增益Kgc。解解 该系统的根轨迹方程为系统的闭环特征方程为s36s25sKg01)5)(1(gsssK下面用两种方法求根轨迹与虚轴的交点及对应的临界根轨迹增益Kgc。方法一方法一 将s1j代入上述闭环特征方程，并整理得解上述两式得可知根轨迹
21、与虚轴的交点为j5，对应的临界根轨迹增益为Kgc30。050632gK5 ,300 ,03,2211ggKK方法二方法二 列出闭环特征方程的劳斯表如下：令劳斯表的s1行数字元素全为零，有解得Kgc30。列辅助方程为6s2Kgc0，解得由此可见，用上述两种方法得出的结果是一致的。00630651g0g1g23KsKsKss0630g K。5js【法则法则7】根轨迹的出射角与入射角。某些控制系统存在共轭的开环复数零点和(或)极点。在共轭开环复数极点上，根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的出射角。在共轭开环复数零点上，根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的入射角。设系统开环传递
22、函数如式(4-1)所示，在其开环复数极点pk处的出射角为(4-23)()()12(11iknkiijkmjpppzpkk在其开环复数零点zk处的入射角为 (4-24)设系统的开环零、极点分布如图4-6所示。在根轨迹上靠近开环复数极点p2处选择一点s1，它距p2的距离为。当0时，即为出射角，且)()()12(11jkmkjjiknizzzpzkk2)(21pps)()(12iipspp3,2,1i)()(12jjzszp1j图4-6 复数开环极点处的出射角由相角条件方程(4-4)可得上式整理得(4-25)将式(4-25)推广到系统具有n个开环极点，m个开环零点时，就可以得到式(423)。同理可求
23、得式(4-24)。)12()()()()()(2141311112kpspspspszp)()()()()12(413111122pspspszpkp)()()()()12(42321212ppppppzpk【例例4-6】设系统开环传递函数零、极点的分布如图47所示，试确定根轨迹离开共轭复数极点p1和p2的出射角。解解 按式(4-23)，由作图结果得考虑到根轨迹的对称性，根轨迹离开p2点的出射角必为)()()()(180413121111ppppppzpp6.2613590451806.266.2612pp图4-7 系统开环零、极点分布【法则法则8】闭环极点的和与积。设系统的开环传递函数为可知
24、，系统所有开环极点之和为(4-26)系统所有开环极点之积为(4-27)11apniinnniiap)1(1mjjbz11系统所有开环零点之和为(4-28)系统所有开环零点之积为(4-29)系统的闭环特征方程可写为(4-30)mjjbz11mmmjjbz)1(10)()(111111mmmmgnnnnbsbsbsKasasassD设系统的闭环极点为si，则系统的闭环特征方程又可写为(4-31)则系统所有闭环极点之和为(4-32)系统所有闭环极点之积为(4-33)0)()(1111nnnnniiAsAsAssssD11AsniinnniiAs)1(1由此可以得到如下结论：(1)当nm2时，式(4-
25、30)中sn1项的系数与Kg无关。对比式(4-30)和式(4-31)sn1项的系数可知，系统的所有闭环极点之和与所有开环极点之和存在如下关系：(4-34)常数C称为系统闭环极点的重心。上式表明，当Kg变化时，若一部分闭环极点在平面s上向右移，则另一部分闭环极点必向左移。对于任意Kg，闭环极点的重心保持不变。)(11为常数CCspniinii上述结论也称为根轨迹的根之和定理。(2)对比式(4-30)和式(4-31)的常数项可知，系统所有闭环极点之积与所有开环零点之积和所有开环极点之积存在如下关系：(4-35)上述结论也称为根轨迹的根之积定理。mjjmniinniinzKps1g11)1()1()
26、1(特别地，当系统具有零值的开环极点时，式(4-35)又可写为 (4-36)由式(4-35)和式(4-36)可以看出，所有闭环极点之积不为常数，而是与Kg成正比关系。mjjmniinzKs1g1)1()1(进一步，当系统没有开环零点时，有(4-37)利用上述结论，可以计算根轨迹上某点的Kg值。对应于某一Kg，若已求得闭环系统的某些极点，也可以利用上述结论求出其他极点。特别是，当nm2时，可以借助根之和定理确定根轨迹的走向。niinsK1g)1(【例例4-7】已知某控制系统的开环传递函数为试绘制Kg从0连续变化时系统的根轨迹。解解 系统具有4个开环极点p10，p23，p3，41j，无开环零点。实
27、轴上的根轨迹位于3，0。根轨迹有4条渐近线，它们与实轴的交点为)22)(3()()(2gssssKsHsG25.1454j1j13011amnzpmjjnii渐近线与实轴正方向的夹角为若M(s)s1N(s)s(s3)(s22s2)由分离点方程，令M(s)N(s)M(s)N(s)0 13545,135,45)12(amnkj方程可整理为4s315s216s60可求得方程有1个实数根为和2个共轭复根可以验证，不满足系统的特征方程D(s)0，故应舍去。所以，系统只在实轴上存在1个分离点sd2.28。对于开环极点p31j，根轨迹在此处的出射角为由对称性可知，根轨迹在开环极点p41j处的出射角为 28.
28、21ds37.0j73.02,3ds37.0j73.03,2ds6.71)906.26135(1803p6.714p根据劳斯判据，可以求出根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为s45s38s26sKg0列劳斯表如下：g0g1g23g45/345)5/204(5346581KsKsKssKs令s1行的第一个系数为零，可解得系统临界根轨迹增益为Kgc8.16由s2行得到辅助方程为将Kgc代入辅助方程，可求得根轨迹与虚轴的交点为s1，2j1.09 系统的根轨迹如图4-8所示。0534g2 Ks图4-8 例4-7根轨迹图在研究控制系统时，常常会碰到一种情况，就是系统仅具有两个开环极点和一个开环零点。这使
29、得根轨迹有可能是直线，亦有可能是圆弧。可以证明，若根轨迹一旦离开实轴，必然是沿着圆弧移动。设系统开环传递函数为零极点分布如图4-9(a)所示。)()()(21gkpspszsKsG图4-9 圆弧根轨迹(a)零极点分布图；(b)两极点为负实数；(c)两极点为共轭复数取一试探点s，若s点在根轨迹上，则应满足相角条件方程，即(sz)(sp1)(sp2)180用sj代入上式，得(jz)(jp1)(jp2)180若相角改用反正切表示，则180arctanarctanarctan21ppz或者写为对上式两边同时取正切，可得整理得21arctan180arctanarctanppz2111ppzpz2121
30、222zpzpppz上式两边同时加上z2项，得22z2z2p1p2zp1zp2z2进一步整理可得标准圆弧方程为(z)22(p1z)(p2z)可见，圆心正好在开环零点(z，j0)处，半径为开环零点z分别到两个开环极点p1、p2距离的几何平均值，即R(p1z)(p2z)其中，图4-9(b)所示为两个开环极点分布在实轴上的情况，图4-9(c)所示为两个开环极点是共轭复数的情况。表4-1给出了一些常见的开环零、极点分布及其对应的根轨迹。表表4-1 开环零、极点分布及对应的根轨迹开环零、极点分布及对应的根轨迹4.3.1 零度根轨迹零度根轨迹负反馈是自动控制系统的一个重要特点。但对于某些复杂系统，可能会出
31、现局部正反馈结构，如图4-10所示。4.3 广义根轨迹广义根轨迹图4-10 局部正反馈系统这种局部正反馈的结构，可能是控制对象本身的特征，也可能是为满足系统的某种性能要求而在设计系统时附加的。对于如图4-11所示的正反馈系统，设其开环传递函数如式(4-1)所示，系统的闭环传递函数为系统的闭环特征方程为(4-38)()(1)()(sHsGsGs0)()(1sHsG图4-11 正反馈控制系统所以，系统的根轨迹方程为(4-39)相应的根轨迹幅值条件方程和相角条件方程分别为(4-40)1)()(11gniimjjpszsK111gniimjjpszsK(4-41)通过将式(4-3)与式(4-40)、式
32、(4-4)与式(4-41)相互比较，可以看出两系统的幅值条件方程相同，但相角条件方程不同。通常将满足相角条件方程(4-41)的根轨迹称为零度(0)根轨迹。通过以上分析可知，可以再次验证4.1节中得到的一个结论，即相角条件是确定根轨迹的充分必要条件，而幅值条件仅是必要条件。2)()(11kpszsniimjj),2,1,0(k由于0根轨迹和180根轨迹的幅值条件方程完全相同，因此在绘制0根轨迹时只需对180根轨迹绘制法则中与相角条件方程有关的3条法则作出相应的修改，其余7条法则对两类根轨迹是完全相同的。需要修改的法则如下：(1)渐近线与实轴正方向的夹角：(4-42)(2)实轴上的根轨迹。实轴上根
33、轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为偶数或零。mnk2aj1,1,0mnk(3)根轨迹的出射角与入射角。设系统开环传递函数如式(4-1)所示，在其开环复数极点pk处的出射角为(4-43)在其开环复数零点zk处的入射角为(4-44)()(11iknkiijkmjpppzpk)()(11jkmkjjiknizzzpzk图4-12 正反馈控制系统【例例4-8】单位正反馈系统如图4-12所示，试绘制其根轨迹。解解 系统的开环传递函数为因为系统为正反馈结构，所以系统的根轨迹应按照0根轨迹的基本法则进行绘制。系统具有3个开环极点p10，p21，p32，无开环零点。实轴上的根轨迹位于2，1，0，)。根轨
34、迹有三条渐近线，它们与实轴的交点为)2)(1()()(gsssKsHsG渐近线与实轴正方向的夹角为 若1321011amnzpmjjnii120,120,02amnkj1)(sM)2)(1()(ssssN由分离点方程知M(s)N(s)M(s)N(s)0上式可整理为3s26s20可求得方程有两个实数根为 显然，不在根轨迹上，故应舍去。所以，系统在实轴上只存在一个分离点sd1.577。系统的根轨迹如图4-13所示。,423.01ds577.12ds,423.01ds图4-13 例4-8根轨迹图需要特别强调的是，系统的根轨迹究竟是180根轨迹还是0根轨迹，并不取决于系统的结构是负反馈形式还是正反馈形
35、式，而是取决于其标准的根轨迹方程的形式。若系统标准的根轨迹方程为式(4-2)所示的形式，则对应的根轨迹为180根轨迹；若系统标准的根轨迹方程为式(4-39)所示的形式，则对应的根轨迹为0根轨迹。例如，对于某些采用负反馈结构的非最小相位系统，其根轨迹可能是0根轨迹。关于最小相位系统的概念，将在第5章详细介绍。【例例4-9】设单位负反馈系统的开环传递函数为(1)(2)试确定系统根轨迹的类型。解 系统(1)和系统(2)都在s平面右半部分具有一个开环零点z1。所以，系统均属于非最小相位系统。)2)(1()1()()(gssssKsHsG)2)(1()1()()(gssssKsHsG对系统(1)，其闭环
36、特征方程为其根轨迹方程为满足式(4-2)的形式，系统的根轨迹是180根轨迹。0)2)(1()1(1)()(1)(gssssKsHsGsD1)2)(1()1(gssssK对系统(2)，其闭环特征方程为其根轨迹方程为满足式(4-39)的形式，系统的根轨迹是0根轨迹。0)2)(1()1(1)()(1)(gssssKsHsGsD1)2)(1()1(gssssK4.3.2 参量根轨迹参量根轨迹前面介绍的绘制根轨迹的基本法则，都是以根轨迹增益Kg作为参变量而得出的，这种情况在实际系统分析中最为常见。但有时也需要绘制除根轨迹增益Kg以外的其他变量作为参变量的根轨迹。在控制系统中，这种以除根轨迹增益Kg以外的
37、其他变量为参变量的根轨迹，被称做参量根轨迹。系统的开环传递函数为(4-45),()()()(kaKsfsHsGsGg式中：Kg为根轨迹增益；a代表除根轨迹增益Kg以外的其他参变量。当以Kg为参变量时，式(4-45)通常写作如下形式：(4-46)则系统的闭环特征方程为(4-47)sNsMKsHsGg)()(0)()(gsMKsN将式(4-47)左侧含有变量a的各项单独拿出，各项提出公因子a后的和记作Q(s)。式(4-47)左侧所有不含参量a的项的和记作P(s)。式(4-47)可整理为P(s)aQ(s)0(4-48)实质上，式(4-47)和式(4-48)分别为系统闭环特征方程的两种不同形式。式(4
38、-48)等式两端同除以P(s)，可得(4-49)1)()()()(11niimjjpszsasPsaQ式(4-49)称为等效根轨迹方程，参变量a可视作系统的等效根轨迹增益。此时，系统对应的以参变量a为等效根轨迹增益的根轨迹应为180根轨迹。若系统的等效根轨迹方程为(4-50)则系统对应的以参变量a为等效根轨迹增益的根轨迹应为0根轨迹。1)()()()(11niimjjpszsasPsaQ这样，就可以分别用前面介绍的180根轨迹和0根轨迹的绘制法则来绘制当参变量a从0变化时系统的参量根轨迹。根据上面的讨论，可以将一般系统绘制参量根轨迹的步骤归纳如下：(1)列出原系统的闭环特征方程。(2)以特征方
39、程中不含参量的项去除特征方程，得到系统的等效根轨迹方程。该方程中原系统的参变量即为等效系统的根轨迹增益。(3)绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。【例例4-10】已知某单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制参数a从0连续变化时，闭环系统的根轨迹。解 系统的特征方程为0)1()(411)()(1)(2ssassHsGsD)1()(41)()(2ssassHsG即上式可整理为系统等效的根轨迹方程为0414123asss044123sssa1)144(2 sssa故可按180根轨迹的绘制法则，绘制当参数a从0连续变化时闭环系统的根轨迹。等效系统无开环零点，有3个开环极点p10，实轴上的根轨迹
40、为含原点的整个负实轴。根轨迹有三条渐近线，它们与实轴的交点为213,2p31132121011mnzpmjjniia渐近线与实轴正方向的夹角为 若由分离点方程知180,60,60)12(amnkj1)(sM)144()(2ssssN0)1812()()()()(2sssNsMsNsM可求得方程有两个实数根为且均满足系统的特征方程D(s)0。所以，系统在实轴上存在两个分离点根据劳斯判据可以求出根轨迹与虚轴的交点，系统的特征方程为,611s212s,611ds212ds04423asss列劳斯表如下：令s1行的第一个系数为零，可解得系统临界等效根轨迹增益为a1由s2行得到辅助方程4s2a0asas
41、ass0123444414将a1代入辅助方程，可求得根轨迹与虚轴的交点为系统的根轨迹如图4-14所示。21j2,1s图4-14 例4-10根轨迹图4.3.3 多回路系统的根轨迹与根轨迹簇多回路系统的根轨迹与根轨迹簇前面介绍了单回路系统根轨迹的绘制。在实际控制工程中，通常会遇到结构更为复杂的多回路系统，如图4-15所示。绘制多回路系统根轨迹的方法与绘制单回路系统根轨迹的方法类似。通常是从系统的内环入手，由里到外，从局部到整体地多次绘制根轨迹。具体的做法可归纳如下：(1)首先根据局部闭环子系统的开环传递函数绘制其根轨迹，确定局部小闭环系统的极点分布。图4-15 多回路控制系统(2)然后，由局部小闭
42、环系统的零、极点和系统其他部分的零、极点所构成的整个多回路系统的开环零、极点的分布，绘制总系统的根轨迹。由于多回路控制系统研究的变量往往多于一个，例如图4-15系统中就存在两个参变量和K，因此，多回路系统的根轨迹往往是一簇曲线，形成一个根轨迹簇。【例例4-11】已知多回路控制系统的结构如图4-15所示，试绘制当局部闭环参数以及放大器放大倍数K连续变化时多回路系统的根轨迹。解 系统局部闭环的传递函数为则全系统的开环传递函数为)2)(1(1)2)(1/(1)2)(1/(1)(1sssssss)2)(1(1)()(1ksssKssKsG由于上式的分母未写成因式的形式，故不能在复平面上直观地标出系统的
43、开环极点。为求解多回路系统的开环极点，需求解方程上述方程实际上就是系统局部闭环部分的特征方程，可改写为或0)2)(1(ss0)2)(1(1ss1)2)(1(ss上式可视作局部闭环部分的等效根轨迹方程。其中，局部闭环部分的等效开环传递函数为可见，等效开环传递函数无开环零点，有2个开环极点当参数从0变化时，局部闭环系统的根轨迹如图4-16所示。)2)(1()(1ksssG。2,121pp图4-16 局部回路的根轨迹当2.5时，局部闭环系统的两个闭环极点分别为此时，局部闭环系统的特征多项式可以写成将其代回Gk(s)，得可见，此时多回路系统共有3个开环极点，其中2个正好是局部闭环系统的闭环极点，即,5
44、.1 j5.11 s5.1 j5.12 s)5.1 j5.1)(5.1 j5.1()2)(1(ssss)5.1 j5.1)(5.1 j5.1()(ksssKsG当2.5时，随着K从0连续变化，多回路系统的根轨迹如图4-17中的实线部分所示。可见，随着K值的增大，系统的振荡程度将加剧，当K13.5时，系统将变得不稳定。当2.5，而是其他数值时，随着K从0连续变化，又可画出与其相应的另一组根轨迹。最终形成一簇根轨迹，如图4-17虚线部分所示。图4-17 例4-11的根轨迹簇4.4.1 闭环系统零、极点的确定闭环系统零、极点的确定1.闭环零点的确定闭环零点的确定对于如图4-3所示的单回路闭环控制系统
45、，设其前向通道的传递函数为(4-51)1111)()()(nqGqmrGrGpszsKsG4.4 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析反馈通道的传递函数为(4-52)式中：KG为前向通道的根轨迹增益；zGr为前向通道的零点；pGq为前向通道的极点；KH为反馈通道的根轨迹增益；zHk为反馈通道的零点；pHl为反馈通道的极点。2211)()()(nlHlmkHkHpszsKsH系统的开环传递函数为式中：Kg为开环根轨迹增益，KgKGKH；zj为开环零点，开环零点数为mm1m2；pi为开环极点，开环极点数为nn1n2。对于实际控制系统，一般满足nm。niimjjgnqnlHlGqmrmkHkGr
46、HGpszsKpspszszsKKsHsGsG111111k)()()()()()()()()(1212系统的闭环传递函数为(4-53)()(1)()(sHsGsGs2121211H1GHG1H1G1H1)()()()()()(mkkmrrnllnqqnllmrGrGzszsKKpspspszsK当系统满足nm时，由式(4-53)可以得到以下结论：(1)系统闭环根轨迹增益等于前向通道根轨迹增益。特别地，当系统为单位反馈时，其闭环根轨迹增益等于前向通道根轨迹增益，也等于开环根轨迹增益。(2)闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。特别地，当系统为单位反馈时，闭环零点就是开环零点。2.闭环极
47、点的确定闭环极点的确定本章所讨论的控制系统的根轨迹，描述了当系统开环传递函数中的某个参数变化时，闭环极点在复平面上变化的轨迹。因此，绘制根轨迹的过程实质上就是确定系统闭环极点的过程。通过根轨迹对控制系统进行性能分析时，往往最为关注根轨迹上的某些特殊位置点及其对应的Kg值。这些特殊位置点通常包括：1)根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点为一对共轭纯虚数j。由系统稳定的充要条件可知，此时系统处于临界稳定状态。通常称根轨迹与虚轴的交点为根轨迹上的临界稳定点。因此，通过求解根轨迹与虚轴的交点及所对应的Kgc值，可以确定一个条件稳定系统的参数取值范围。【例例4-12】若某闭环控制系统的开环传递函数为试绘
48、制系统根轨迹，并求使系统稳定的Kg的取值范围。解 实轴上的根轨迹位于(，1，0，1。根轨迹有三条渐近线，它们与实轴的交点为)164)(1()1()()(2gsssssKsHsG3214132j232j21011amnzpmjjnii渐近线与实轴正方向的夹角为 若由分离点方程知180,60,60)12(amnkj1)(ssM)164)(1()(2sssssN0162421103)()()()(234sssssNsMsNsM用试探法，可求得方程有两个实数根为s10.46，s22.22，用长除法还可求得方程有两个共轭复根s3，40.79j2.16。但可以验证，s3，40.79j2.16不满足系统的特
49、征方程D(s)0，故应舍去。所以，系统只在实轴上存在两个分离点对于开环极点根轨迹在此处的出射角为由对称性可知，根轨迹在开环极点处的出射角为,46.01ds。22.22ds32j23p5.54905.1301201061803p32j24p5.544p根据劳斯判据，可以求出根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为列劳斯表如下：0)16(123234ggKsKsssg0gg2g1g2g3g45238259352163121KsKKKsKsKsKs令s1行的第一个系数为零，可解得系统临界开环根轨迹增益Kgc为由s2行得到辅助方程将Kgc1，Kgc2分别代入辅助方程，可求得根轨迹与虚轴的交点为 系统的根轨
50、迹如图4-18所示。由根轨迹可知，当23.3Kg35.7时，系统是稳定的；当Kg超出这一范围时，系统不稳定。3.23,3.232gcgc1KK0354g2gKsK56.2j2,1s56.1 j4,3s图4-18 例4-12根轨迹图2)根轨迹在实轴上的分离点根轨迹在实轴上的分离点为闭环特征方程的重实根。在其两侧，系统的闭环极点完成了由互异实数到共轭复数的变化，或者相反。因此，根轨迹在实轴上的分离点可以视作系统的阶跃响应形式有无振荡或有无超调量的分界点。3)根轨迹与指定阻尼线的交点在复平面上，与实轴负方向的夹角为阻尼角的直线称为阻尼线。有时，阻尼线也以指定阻尼比的形式给出，由第3章可知，arcco
