1、2020 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三期中联考数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1.若集合 2, 1,0,1,2A = ，集合 2 |log (1)Bx yx=，则AB =I（ ） A. 2 B. 1,2 C. 2, 1,0 D. 2, 1,0,1 2.在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60，塔基的俯角为 45，那么这座塔吊的高是( ) A20 + 3 3 1 m B20(13
2、)m C10(62)m D20(62)m 3设3log 2 1 =a， 3 ) 2 1 (=b， 2 1 3=c，则( ) A.cba B.abc C.bac D.cab 4已知命题 p，x R， 1 2 x x e e +，则 p 为（ ） Ax R， 1 2 x x e e + Bx R， 1 2 x x e e +， 39 0aa+，则 n a的前n项和 n S的最小值为（ ） A. 4 S B. 5 S C. 6 S D. 7 S 8. 设函数( )e3 x fxxa=+.若曲线 sinyx=上存在点() 00 ,xy，使得()() 00 ffyy=，则实数 a的 取值范围是（ ） A
3、. 1,e2+ B. 1 e3,1 C. 1,e1+ D. 1 e3,e 1 + 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9.下列选项中正确的是（ ） A.不等式2abab+恒成立 B.存在实数 a，使得不等式 1 2a a +成立 C.若 a、b 为正实数，则2 ba ab + D.若正实数 x，y 满足21xy+=，则 21
4、8 xy + 10. 已知等比数列 n a的公比为q，前 4项的和为 1 14a +，且 2 a， 3 1a +， 4 a成等差数列，则q的值可 能为（ ） A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知函数( )cos(2 )f xx=+( | 2 = + ，若方程 2 1 ( )( )0 1 6 f xaf x+=有六个不等的实数根，则实数 a 可 取的值可能是（ ） A 1 2 B 2 3 C1 D2 三、三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知 2, 0 ( ) 22,0 x xx f x x = 则( (
5、2)f f =_ 14. 已知 x R，条件 p：x2x，条件 q： x 1 a（a0），若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范 围是 15. 若函数( )() 2 1 20 20 x f xxx=的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 1 2 ，A为 椭圆上一动点（异于左右顶点）， 12 AFF面积的最大值为 3 （1）求椭圆C的方程； （2）设过点 1 F的直线l(l的斜率存在且不为 0）与椭圆C相交于BA,两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P，试判断 1 PF AB 是否为定值? 若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21.（本题满分 12 分）某款游戏的规
6、则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么 不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得 1 分，若出现两次音乐获得 2 分，若出现三次音 乐获得 5 分，若没有出现音乐则扣 15 分(即获得15 分)设每次击鼓出现音乐的概率为 1 2，且各次击鼓 出现音乐相互独立 （1）设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列 （2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了请你分析 得分减少的原因 22.（本题满分 12 分）已知函数( ) 3 4 2 3 2 23 +=xxxf，( )()R
7、xaxexg x = （1）若( )xf在区间1, 5aa上的最大值为 3 4 ，求实数a的取值范围； （2）设( )( )1 2 3 +=xxfxh，( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = xgxhxg xgxhxh xF , , ，记 n xxxL, 21 为( )xF从小到大的零点，当 3 ea 时，讨论( )xF的零点个数及大小. 2020 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高三期中联考数学试题参考答案 一、单项选择题、单项选择题： 14CBAB58ACCA 二、多项选择题二、多项选择题： 9.BCD10.AC11. BC12. BC 三、填空题填空题: 1314
8、14 （0，115316 2 1 1.【解析】集合 2 |log (1)Bx yx，则其中定义域 |10 |1Bxxx x,又有集合 2, 1,0,1,2A ，则 2, 1,0AB 故选：C. 2.【解析】如图，由条件知四边形 ABCD 为正方形， ABCD20 m，BCAD20 m. 在DCE 中，EDC60，DCE90，CD20 m， ECCDtan 60203m，BEBCCE(20203)m.故选 B. 3.【解析】01log3log 2 1 2 1 a；1) 2 1 (0 3 b； 2 1 3c1故选 A. 4.【解析】原命题xR ， 1 2 x x e e ，命题x R， 1 2 x
9、 x e e 的否定是:x R， 1 2 x x e e 故选:B 5.【解析】因为 ,0ln ,0 lnx xxx f x lnxxx 是奇函数排除,B C，且当1x 时， 0f x . 故答案为 A. 6 【解析】)(xfy 关于y轴对称，)(xfy 为偶函数，又xysin为奇函数， yln)41( 2 xmx为奇函数，则2m故选 C 7.【解析】等差数列 n a中， 39 0aa， 396 20aaa，即 6 0a .又 7 0a ， n a 的前n项和 n S的最小值为 6 S.故答案选 C. 8.【解析】由 fx为增函数可得 00 fyy，又可知 0 0,1y ，则问题等价于方程 f
10、 xx， 0,1x有解，即 2 3 x xexa 在0,1x有解，分 离参数可得 2 3 x aexx ，令 2 3 x g xexx， 320,0,1 x gxexx ，所以函数 g x在0,1上单调递增， 所以 1012gg xge ,所以1e2a. 故选：A. 9.【解析】不等式2abab恒成立的条件是0a ，0b ，故 A 不正确； 当 a 为负数时，不等式 1 2a a 成立.故 B 正确；由基本不等式可知 C 正确； 对于 212144 24428 yxy x xy xyxyxyxy ， 当且仅当 4yx xy ，即 1 2 x ， 1 4 y 时取等号，故 D 正确.故选；BCD
11、. 10.【解析】因为 2 a， 3 1a ， 4 a成等差数列，所以 243 2(1)aaa， 因此， 1234131 3214aaaaaaa，故 3 4a 又 n a是公比为q的等比数列， 所以由 243 2(1)aaa，得 33 1 ()2(1)a qa q ，即 15 2 q q ，解得2q =或 1 2 故选：AC 11.【解析】因为( )cos(2)f xx，所以( )2sin(2)fxx ， 所以 3 ( )( )( )cos(2)3 sin(2)2 cos 2 23 F xfxfxxxx 因为( )F x为奇函数，则(0)0F，即 cos0 3 ，所以 32 k ，kZ，因为
12、| 2 ，所以 6 ， 对于 A， 3 tantan 63 ，故 A 错误； 对于 B， 令 ( )cos 20 6 f xx ， 得 26 k x ，k Z， 若( )f x在, a a上存在零点， 则0a 且 a的最小值为 6 ，故 B 正确； 对于 C，( ) 2cos 22sin2 63 F xxx ， 当 3 , 44 x 时，2 , 2 3 2 x ， 则( )F x在 3 , 44 上 单调递增，故 C 正确. 对于 D，因为 ( )2sin 2 6 fxx ，当 5 0, 12 x 时， ( )0fx ，当 5 , 12 2 x 时，( )0fx， ( )f x在 0, 2 上
13、存在一个极小值点，没有极大值点，故 D 错误. 故选：BC. 12.【解析】当0 x 时， 1 x f xex，则( )(1)(2) xxx fxexeex 由 0fx 得20 x，即2x ，此时 fx为减函数， 由 0fx得20 x，即20 x ，此时 fx为增函数， 即当2x 时， fx取得极小值 2 1 ( 2)f e ， 作出 fx的图象如图： 由图象可知当 01f x时，有三个不同的 x 与 fx对应 设 tf x，方程 2 1 ( )( )0 1 6 f xaf x有六个不等的实数根 所以 2 1 0 16 tat在0,1t内有两个不等的实根 设 2 1 ( ) 16 g ttat
14、，即 2 1 0 16 (0)0 1 (1)010 117 16 0 1216 40 16 01 2 01 2 g ga a a a a ，则实数 a 可取的值可能是 2 3 ，1 故选：BC 13.【解析】因为 2, 0 ( ) 22,0 x xx f x x 所以 2 ( 2)( 2)4f ， 则 4 ( ( 2)(4)2216214fff故答案为：14 14.【解析】因为 xR，条件 p：x2x，所以 p 对应的集合为 A（0，1） ； 因为条件 q：a（a0） ，所以 q 对应的集合为 B（0，； 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 AB，所以，所以 0a1，故答案为： （0，1
15、 15.【解析】因为函数 ( )f x在(,0) 单调递增，因为 12 1 2( 1)0( 1) 20 f ， 2 2 111 2220 2045 f ， 2 3 119 3230 20820 f ， 所以 0 3, 2x ， 所以 3a . 16.【解析】)( 1 742 22 321 421 Ntt qqdqdqd ddd bbb aaa t ttt qq ttqtq 2 283 0 07 2 2 t ttt qq ttqtq 2 283 0 07 2 2 且92 , 1, 3 28 00283 2 tNtttt 又q为有理数0283 2 tt是一个完全平方数 列举可得9741tttt或或
16、或 ，则 舍）（舍）或或舍）或( 3 1 0 2 1 (2qqqq 2 1 q 四、解答题 17.【解析】若选，则由正弦定理3cossincossincossinsinCABBACC， 3cossinsinsinCABCC，3tanC， 3 C 4 分 若选，则由正弦定理知： sinsinsinsin 2 C ACA ，cossin2sincos 222 CCC C， 1 sin 22 C ， 3 C 4 分 若选，则有正弦定理知 2 2 bacbc， 222 bacbc ，由余弦定理知： 1 cos 2 C ， 3 C ，4 分 2 3 AB ， 2 sinsinsinsin 3 ABAA
17、31 sincossin 22 AAA 2 3131 sincossinsin21cos2 2244 AAAAA 11 sin 2 264 A 8 分 2 0, 3 A ， 7 2, 666 A ， 所以当 3 A 时，sinsinAB的最大值是 3 4 . .10 分 18.【解析】 （1）由题意知2, nn a S成等差数列，所以22 nn aS , 可得 11 222() nn aSn 2 分 -得 1 2(2) nn aan ，又 11 22aa， 1 2a ，4 分 所以数列 n a是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，2n n a.6 分 （2）由（1）可得2n n bn，用错位
18、相减法得： 234 22 23 24 22n n Tn 2 n T 231 22 2(1) 22 nn nn -可得 1 (1) 22 n n Tn .12 分 19.【解析】 （1）证明：因为平面，面,所以. 因为是正方形，所以 又，面，面 ,故 平面.5 分 （2）法 1： 【向量法】 因为，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示. 因为平面，且与平面所成角为 60，即， 所以.由已知，可得，. 则， 所以，. 设平面的法向量为，则，即. 令，则.9 分 因为平面，所以为平面的法向量，. 所以. 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.12 分 法 2： 【几何法】 如图，G、P 分别为线段
19、、的三等分点， M、N 分别为线段、的中点， ，连结， ，且，所以，且 所以面， 过 F 作垂足为 Q，连结 由三垂线定理知，为二面角的平面角. 8 分 由已知可得，所以 因为平面，且与平面所成角为，即， 为直角三角形，所以， 由勾股定理得，得，10 分 所以. 所以二面角的余弦值为.12 分 20.【解析】 （1） 12 AFF面积的最大值为 3，则：3bc 又 1 2 c e a ， 222 abc ，解得： 2 4a ， 2 3b 椭圆C的方程为： 22 1 43 xy 4 分 （2） AB PF1 为定值 4 1 ，设直线 AB:1xmy（0m） 设 11 ,A x y， 22 ,B
20、xy，线段AB的中点为 00 ,N xy 由 22 3 1 1 4 y xmy x ，消去x可得： 22 34690mymy 0 恒成立 2 2 1 6 34 m yy m 12 2 9 34 y y m 6 分 2 2 12 2 12(1) 1 34 m ABmyy m 0 2 4 34 x m , 2 0 3 3 4 m y m ，) 43 3 , 43 4 ( 22 m m m N8 分 直线 PN： 22 34 3434 m ym x mm 令0y ，则 43 1 2 m xp10 分 2 1 2 2 1 1 1 34 4121 34 PF m ABm m ，故 AB PF1 为定值
21、4 1 12 分 21.【解析】(1)X 可能的取值为 1，2，5，15. 根据题意，有 P(X1)C13 1 2 1 11 2 2 3 8， P(X2)C23 1 2 2 11 2 1 3 8， P(X5)C33 1 2 3 11 2 0 1 8， P(X15)C03 1 2 0 11 2 3 1 8. 所以 X 的分布列为： X12515 P 3 8 3 8 1 8 1 8 5 分 (2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1，2，3)，则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X15)1 8. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)1 1 8 3 1
22、1 512 511 512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511 512.9 分 (3)由(1)知，随机变量 X 的数学期望为 EX13 82 3 85 1 815 1 8 1 8. 这表明，获得分数 X 的均值为负 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大12 分 22.【解析】 （1） 2242 2 xxxxxf xf在0 ,和, 2上单调递增， 在2 , 0上单减， xf的极大值为 3 4 0 f， xf的极小值为 3 4 2f， 又 3 4 3 f，若 xf的最大值是 3 4 ，则 310 05 a a ，41 a4 分 （2） 31133 23 xxxxxxxh，当0 x
23、时， 0axexg x ， 此时 xhxF xF在0 ,(有一个零点，1 1 x6 分 当0 x时， aexg x xg在aln, 0上单调递减，在,lna上单调递 增。 又 3 ea 3lna 由于 01, 010aegg xF在1 , 0上有一个零点 2 x8 分 又0ln1lnaaag，令 0 1 ,ln 3 x x xkexxxxk xk在, 3 e上单增， 03ln 33 eekxxxk， 2 ,lnaeagaa a ， 再令 02,2,2 2 xxx exxexxxex x 在, 2上单调递增，从而 042 2 ex x在, 2上单调递增， 042 2 ex从而 0ag xF在aa,ln上有一个零点 3 x， 综上所述：当 3 ea 时， xF有三个零点：axaxx 321 ln, 10 , 112 分 （注： 2 x, 3 x的范围只要表示合理，酌情给分）
