1、 坐标系 第一讲第一讲 教材单元导学教材单元导学 知识结构 图解 分类考试 要求 考点及能力要求 高考 1.平面直角坐标系的建立 即坐标法 d 2.伸缩变换 b 3.极坐标与直角坐标互化 d 4.简单曲线的极坐标方程 d 5.柱坐标系与球坐标系简 介 a 1.1 平面直角坐标系 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 1平面直角坐标系的作用：通过建立直角坐 标系，平面上的点与坐标(有序数对)、曲线 与方程建立了联系，从而实现了数与形的结 合 2坐标法：根据_对象的特征，选择 适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研 究它
2、的性质及与其他几何图形的关系，这就 是研究几何问题的坐标法 课前教材预案课前教材预案 要点一 平面直角坐标系 几何 3坐标法解决几何问题的“三部曲”： 第一步：建立适当的_， 用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素， 将几何问题转化成代数问题； 第二步：通过_运算，解决_问 题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成_ 结论 平面直角坐标系 代数 几何 几何 的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，就 称为平面直角坐标系中的_， 简称_ 要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换 定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 ： xx，0， yy，0 坐标伸缩变换 伸缩变换 课堂深度拓展课
3、堂深度拓展 考点一 求轨迹方程 求轨迹方程的步骤 求轨迹方程需要结合几何图形的结构特点， 先建立适当的平面直角坐标系，然后设出所 求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式， 化简后即可得到所求的轨迹方程 【例题1】 已知RtABC，|AB|2a(a0)， 求直角顶点C的轨迹方程 思维导引：建立适当的直角坐标系，写出A， B两点的坐标，设出点C的坐标，代入直角三 角形满足的条件中化简即得，注意A，B，C 三点不共线 解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐 标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有 A(a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y) 方法一 由ABC是直角三 角形可知|AB|2|AC|2
4、|BC|2， 即(2a)2(xa)2y2(x a)2y2，化简得x2y2a2. 依题意可知，xa. 故所求直角顶点C的轨迹方 程为x2y2a2(xa) 方法二 由ABC 是直角三角形可知 ACBC，所以 kAC kBC1，则 y xa y xa 1(xa)，化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y2a2(xa) 方法三 由ABC是直角三角形可知|OC|OB|， 且点C与点B不重合， 所以 x2y2 a2(xa)，化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y2a2(xa) 【变式1】 已知线段AB与CD互相垂直平分于 点O，|AB|8，|CD|4，动点M满足 |MA|MB|MC|MD|，求动点M的轨
5、迹方 程 解析： 以 O 为原点， 分别以直线 AB， CD 为 x 轴， y 轴建立直角坐标系， 则 A(4,0)， B(4,0)，C(0,2)，D(0，2)设 M(x，y)为轨迹上任一点， 则|MA| x42y2，|MB| x42y2， |MC| x2y22，|MD| x2y22， 由|MA| |MB|MC| |MD|，可得 x42y2x42y2 x2y22x2y22.化简得 y2x260.则点 M 的轨迹方程为 x2y26. 考点二 用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题的技巧 (1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题 转化为解析几何问题，即化形为数，再回到 形中 (2)建立坐标系
6、时，要充分利用图形的几何特 征 【例题2】 有一大型商品，A，B两地都有出 售，且价格相同，某地居民从两地之一购得 商品后回运的运费是：每单位距离A地的运 费是B地运费的3倍，已知A，B两地相距10 km，居民选择A地或B地购买这种商品的标准 是包括运费和价格的总费用较低求A，B两 地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出 曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择 购货地点 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题 解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系 |AB|10，点 A(5,0)，B(5,0)设某地 P 的坐标为(x，
7、y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格A 地运费价格B 地运费， 即 3a x52y2a x52y2， a0，3 x52y2 x52y2， 两边平方得 9(x5)29y2(x5)2y2， 即 x25 4 2y2 15 4 2. 故以点 C 25 4 ，0 为圆心，以15 4 为半径的圆是这两地购货的分界线圆 C 内的居民 从 A 地购货便宜；圆 C 外的居民从 B 地购货便宜；圆 C 上的居民从 A，B 两地购货的 总费用相等，可随意从 A，B 两地之一购货 【变式2】 已知ABC中，ABA
8、C，BD， CE分别为两腰上的高求证：BDCE. 解析：如图，以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标 系 设 B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)则直线 AC 的方程为 yh axh， 即 hxayah0. 直线 AB 的方程为 yh axh， 即 hxayah0.由点到直线的距离公式得 |BD| |2ah| a2h2，|CE| |2ah| a2h2， 则|BD|CE|，即 BDCE. 考点三 平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)利用伸缩变换求解析式，其主旨是相关点 法求解析式，用未知点的坐标表示已知点的 坐标，代入已知轨迹的解析式中 (2)求满足变换图象
9、的伸缩变换，实际上就是 求其变换公式，将新旧坐标分别代入对应的 曲线方程，然后比较系数即可 思维导引：利用伸缩变换公式求解 【例题 3】 (2016 黄冈高三模拟组合)在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图 形经过伸缩变换 x1 2x， y1 3y 后的图形 (1)2x3y40；(2)x2y21； (3)x 2 4 y 2 9 1；(4)y24x. 解析：将 x1 2x， y1 3y 变形为 x2x， y3y， (1)2x3y40 可变换为 4x9y40，即将直线 2x3y40 变换为直线 4x9y40. (2)x2y21 可变换为 4x29y21，即x 2 1 4 y 2 1 9 1，
10、即将圆 x2y21 变换为椭圆x 2 1 4 y 2 1 9 1. (3)x 2 4 y 2 9 1 可变换为 x2y21. (4)y24x 可变换为 9y28x，即 y28 9x. 即将抛物线 y24x 变换为抛物线 y28 9x. 【变式 3】 在同一平面直角坐标中，已知伸缩变换公式 ： x3x， 2yy， 求双曲线 C：x2y 2 4 1 经过 变换后所得曲线 C的焦点坐标 解析：由伸缩变换公式 ： x3x， 2yy， 得 x1 3x， y2y， 代入 x2y 2 4 1 得到变换后 C的方程为x 2 9 y 2 1 1. 则 a29，b21，由 c2a2b2得 c 10. 故曲线 C两
11、焦点为 F1( 10，0)，F2( 10，0) 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统 坐标系 第一讲第一讲 1.2 极坐标系 2.1 曲线的参数方程 2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线 Ox，同时确定一个单位长度和计算角度的正 方向(通常取_为正方向)，这样就 建立了一个
12、极坐标系(其中O称为极点，射 线Ox称为极轴) 课前教材预案课前教材预案 要点一 极坐标系的建立 逆时针方向 对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从Ox到OM 的角度，叫做点 M的_， 叫做点M的_， 有序数对(，)就叫做M的_ 特别强调：由极径的意义可知0；当极角 的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极 点)就与极坐标(，)建立一一对应的关 系我们约定，极点的极坐标是极径0， 极角为任意角 要点二 极坐标系内一点的极坐标 极径 极角 极坐标 1互化前提：极点与直角坐标系的 _；极轴与直角坐标系的x轴的 _； 两种坐标系中取_ 2互化公式：直角坐标系的原点O为极点， x
13、轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同 的长度单位平面内任意一点P的直角坐标 与极坐标分别为(x，y)和(，)，则由三角函 数的定义可以得到如下两组公式： 要点三 极坐标与直角坐标的互化 原点重合 正半轴重合 相同的长度单位 x_ y_ 或 2x2y2， tan y xx0. 说明：(1)上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 (2)通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取 0，02. cos sin 课堂深度拓展课堂深度拓展 考点一 极坐标系中的点的极坐标 求点的极坐标的注意点 与平面直角坐标系一样，极坐标系也是刻画 平面上点的位置的一种方法在极坐标系中， 点的坐标为(，)，在0，00，)
14、 解析：如图所示，作出极坐标系点 A 关于极轴的对称点为 B 4， 6 . 点 A 关于 直线 l 的对称点为 C 4，5 6 . 点 A 关于极点 O 的对称点为 D 4，7 6 . 【变式 1】 (2016 江苏高三月考)与极坐标 2， 6 不表示同一个点的极坐标是( ) A 2，25 6 B 2，7 6 C 2，11 6 D 2，13 6 解析：根据极坐标(，)与(，2k)(kZ)在极坐标系中表示同一个点的规律， 检验可知只有 2，7 6 不是同一个点的极坐标 B 考点二 将点的极坐标化为直角坐标 将点的极坐标化为直角坐标的技巧 (1)点的极坐标与直角坐标互化公式有三个前提条件：极点与直
15、角坐标系的原点 重合；极轴与直角坐标系的 x 轴非负半轴重合；两种坐标系的长度单位相同 (2)由公式 xcos ， ysin 结合点的极坐标(，)，直接求出(x，y) 【例题 2】 写出下列各点的直角坐标 (1) 4，2 3 ；(2) 2，5 6 ；(3) 4， 3 . 思维导引：由公式 xcos ， ysin 结合点的极坐标(，)求解 解析：(1)由 x4cos2 34 1 2 2， y4sin2 34 3 2 2 3， 得 4，2 3 的直角坐标为(2,2 3) (2)由 x2cos5 62 3 2 3， y2sin5 62 1 21， 得 2，5 6 的直角坐标为( 3，1) (3)由
16、x4cos 3 41 22， y4sin 3 4 3 2 2 3， 得 4， 3 的直角坐标为(2，2 3) 【变式 2】 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 (1)将 M 的极坐标 8，2 3 化成直角坐标； (2)将 A 的极坐标 4，5 3 化成直角坐标 解析：(1)由 x8cos2 3 4，y8sin2 3 4 3.得 M 的直角坐标为(4,4 3) (2) x4cos5 3 2， y4sin5 3 2 3 . 即 A 的直角坐标为(2，2 3) 考点三 将点的直角坐标化为极坐标 (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； (2)注意极径和极角的取值范围 【例题 3】 分别
17、将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 0，00,02) 解析： x2y2 22222 2， tan 2 2 1，且点 B 位于第四象限内， 7 4 .点 B 的极坐标为 2 2，7 4 . 又x0，y0，15，点 C 的极坐标为 15，3 2 . 考点四 极坐标系中两点之间的距离 求极坐标系中两点间距离的方法 求 极 坐 标 下 两 点 A(1， 1) ， B(2， 2) 的 距 离 时 可 以 利 用 公 式 |AB| 2 1 2 2212cos12求得；也可以把 A，B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直 角坐标中两点间的距离公式 d x1x22y1y22求得 思维导引：直接利用两点间的距离
18、公式求 解 【例题 4】 (2016 安徽安庆检测)在极坐标系中求下列两点之间的距离 (1)A 3， 3 ，B 1，2 3 ； (2)A 2， 4 ，B 4， 3 ； (3)A 1， 3 ，B 2，2 3 . 解析：(1)A 3， 3 ，B 1，2 3 AOB 2 3 3 ，即 A 与 B 在一条直线 上|AB|314. (2)A 2， 4 ，B 4， 3 ，AOB 3 4， cosAOBcos 3 4 cos 3cos 4sin 3sin 4 1 2 2 2 3 2 2 2 6 2 4 . |AB| 2242224cosAOB 41616 6 2 4 204 64 2. (3)A 1， 3
19、，B 2，2 3 AOB2 3 3 3， |AB| 1222212cosAOB 144cos 3 3. 【变式 4】 在极坐标中，如果等边三角形的两个顶点是 A 2， 4 ，B 2，5 4 ，则求 第三个顶点 C 的坐标 解析：由题设知，A，B 两点关于极点 O 对称，又|AB|4，由正三角形的性质知， |CO|2 3，AOC 2，从而 C 的极坐标为 2 3，3 4 或 2 3， 4 . 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统 坐标
20、系 第一讲第一讲 1.3 简单曲线的极坐标方程 2.1 曲线的参数方程 2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方 程f(x，y)0表示曲线与方程满足如下关系： (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的解； (2)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线 C上 满足以上两点则说曲线与方程建立了一一对 应的关系，方程是曲线的方程，曲线是方程 的曲线 课前教材预案课前教材预案 要点一 曲线与方程的关系 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线
21、C上 的任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(，)0，并且坐标满足方程f(，)0的 点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲 线C的_ 要点二 曲线的极坐标方程 极坐标方程 要点三 常见的曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆 _ 圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 _ 圆心为 r， 2 ，半径为 r 的圆 _ r 2rcos 2rsin 曲线 图形 极坐标方程 过极点，倾斜角为 的直线 _ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 _ 过点 a， 2 ，且与极轴平行 _a(0) 和(0) cos a sin 课堂深度拓展课堂深度拓展 考点一 圆的极坐标方程 求圆的
22、极坐标方程的步骤 (1)设圆上任意一点的极坐标为M(，) (2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余 弦定理或解直角三角形列出方程f(，)0并 化简 (3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(， )的极坐标也适合上述极坐标方程 思维导引：已知圆心，又知圆过极点，也就 知道半径，作出图形，依据题意列出圆上任 意一点(，)满足的方程 【例题1】 求圆心在C 2，3 2 处并且过极点的圆的极坐标方程， 并判断点 2，5 6 是否在这个圆上 解析：由题意可知，圆经过极点 O，OA 为其一条直径，设 M(，)为圆上除去 O， A 以外任意一点，则 OA2r，连接 AM，则 OMMA.在 RtOMA 中，
23、 OM OAcos AOM，即 2rcos 3 2 ，则 4sin .经验证，点 O(0,0)，A 4，3 2 的坐标也 满足方程故所求圆的极坐标方程为 4sin .经判断点 2，5 6 满足圆的极坐标 方程为 4sin ，故点 2，5 6 在圆上 【变式 1】 (2016 江西高三联考)在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为 3， 3 ，半径 为 3，Q 点在圆周上运动 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹 解析：(1)如图，设 Q(，)为圆上任意一点，连接 DQ，OQ，则|OD|6，DOQ 3，或DOQ 3，DQO 2. 在 RtODQ 中，|OQ|OD
24、|cos 3 ，即 6cos 3 . (2)若 P 的极坐标为(，)，则 Q 点的极坐标为(2，) 则 26cos 3 ，即 3cos 3 ，则 P 的轨迹是圆 考点二 直线或射线的极坐标方程 求直线的极坐标方程的步骤 (1)设(，)为直线上任一点的极坐标 (2)写出动点满足的几何条件 (3)把上述条件转化为，的等式 (4)化简整理 【例题 2】 求过点 A(1,0)，且倾斜角为 4的直线的极坐标方程 思维导引：作出图形，找出动点性质，运用正弦定理解三角形建立动点 M 的关系 式，从而建立动点(，)的方程也可先求出直角坐标方程，再转换成极坐标方程 解析：方法一 由题意，设 M(，)为直线上任意
25、一点，则OAM 中，由正弦定 理得 OM sin OAM 1 sin OMA， 即 sin 3 4 1 sin 4 ，化简得 (cos sin )1， 经检验，点 A(1,0)也适合上述方程则直线的极坐标方程为 (cos sin )1. 方法二 先求过点 A 且倾斜角为 4的直线的直角坐标方程为 y0tan 4(x1)， 即 xy10， 化为极坐标方程为 (cos sin )1. 【变式2】 (2016湖北高三模拟)求出下列直 线的极坐标方程 (1)过定点M(0，0)，且与极轴成弧度的角； (2)过定点M(0，0)，且与直线0垂直 解析：(1)设 P(，)为直线上任意一点(如图)，且记OPM1
26、，OMP2， 则1，2(0) 在OMP 中应用正弦定理： sin2 0 sin1，即 0 sin2 sin1 0 sin0 sin . 即直线方程为 sin()0sin(0) (2)设 P(，)为直线上任意一点(如图)，由OMP 为直角三角形，显然有 cos( 0)0.这就是所求直线方程 考点三 极坐标方程与直角坐标方程的 互化 极坐标方程与直角坐标方程互化的技巧 (1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一 的，但这里只约定在0,2)范围内取值 (2)由直角坐标方程化极坐标方程，最后要化 简 (3)由极坐标方程化直角坐标方程时要注意变 形的等价性，通常要两边同乘以，得到直角 坐标方程后，应检验
27、极点是否在曲线上，若 在，是等价变形，否则，不是等价变形 思维导引：先求直角坐标系下的直线方程再 转化极坐标方程 【例题 3】 设点 A 的极坐标为 2， 6 ，直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 3，则直 线 l 的极坐标方程为 cos 6 1 或 3cos sin 20 或 sin 3 1 或 sin 4 3 1. 解析：点 A 的极坐标为 2， 6 ， 点 A 的平面直角坐标为( 3，1)， 又直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 3， 直线 l 的方程为 y1(x 3)tan 3， 即 3xy20， 直线 l 的极坐标方程为 3cos sin 20， 可整理为 cos 6 1 或
28、 sin 3 1 或 sin 4 3 1. 【变式 3】 (2016 广东汕头高二检测)在极坐标系中， 圆 2 上的点到直线 (cos 3sin )6 的距离的最小值是_. 解析：2 的直角坐标方程为 x2y24，(cos 3sin )6 的直角坐标方程为 x 3y60，圆心到直线的距离为 d3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为 3 21. 1 考点四 极坐标方程的应用 求曲线的极坐标方程的步骤 求曲线的极坐标方程与直角坐标方程类 似具体如下： (1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上 的任意一点 (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上 任意一点的极径与极角之间的关系式 (3)将(2
29、)所得方程进行整理与化简，得出曲线 的极坐标方程 (4)对特殊点进行检验，若有缺漏点则需要补 充，若有不满足题意的点则需要去掉 【例题4】 (2016河南郑州高二检测)从极点 O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M， 在OM上任取一点P，使OMOP12. (1)求点P的轨迹方程； (2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小 值 思维导引：设点P坐标(，)，列方程，化简 方程即可 解析：(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极 坐标为(0，)，则012. 0cos 4，3cos 即为所求的极坐标 方程 (2)将 P 点的极坐标方程 3cos 化为直角坐标方程为：x2y23x，即 x3 2
30、2 y2 3 2 2， 则点 P 的轨迹为以 3 2，0 为圆心，以 3 2为半径的圆 直线 l 的直角坐标方程为 x4.则圆心到直线的距离等于 43 2 5 2，所以 RP min 5 2 3 21. 【变式4】 过极点O作圆C：8cos 的弦 ON，求弦ON的中点M的轨迹方程 解析：设点M(，)，N(1，1) 点N在圆8cos 上，18cos 1， 又点M是ON的中点，12，1， 28cos ，4cos .M点的轨迹方 程为4cos . 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs
31、3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统 坐标系 第一讲第一讲 1.4 柱坐标系与球坐标系简介 2.1 曲线的参数方程 2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 建立空间直角坐标系Oxyz，设P(x，y，z)是空 间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(， )(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，点P的位置可用有序数组(，z)表 示把建立上述对应关系的坐标系叫做 _有序数组(，z)叫点P的 _，其中0, 02， zR. 课前教材预案课前教材预案 要点一 柱坐标系
32、柱坐标系 柱坐标 建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意 一点，连接OP，记| OP |r，OP与Oz轴正向 所夹的角为，P在Oxy平面的射影为Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正 角为，点P的位置可以用有序数组(r，) 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫 球坐标系(或空间极坐标系)有序数组(r， )叫做点P的球坐标，其中r0，0， 0b0) x_ y_ ( 为参数) y2 a2 x2 b21(ab0) xbcos yasin ( 为参数) acos bsin 要点二 双曲线的参数方程 普通方程 参数方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) x a cos y_ (
33、为参数) y2 a2 x2 b21(a0，b0) xbtan y a cos ( 为参数) btan 注意：在双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的参数方程中，通常规定参数 的范围为 0,2)，且 2， 3 2 . (1)抛物线y22px(p0)的参数方程为 _(t是参数)，t(，)； (2)抛物线y22px(p0)的参数方程为 _(t是参数)，t(，)； (3)抛物线x22py(p0)的参数方程为 _(t为参数)，t(，)； (4)抛物线x22py(p0)的参数方程为 _(t为参数)，t(，) 要点三 抛物线的参数方程 x2pt2 y2pt x2pt2 y2pt x2pt y2pt
34、2 x2pt y2pt2 课堂深度拓展课堂深度拓展 考点一 椭圆参数方程的应用 【例题 1】 已知 A，B 分别是椭圆 x2 36 y2 9 1 右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆 上运动，求ABC 的重心 G 的轨迹的普通方程 思维导引：由已知求出 A，B 坐标，再设出 C 点坐标(6cos ，3sin )，再用 A， B，C 的坐标表示出 G 点的参数方程，消参后得普通方程 解析：由动点 C 在该椭圆上运动，故据此可设点 C 的坐标为(6cos ,3sin )，点 G 的坐标为(x，y)，则由题意可知点 A(6,0)，B(0,3) 由重心坐标公式可知 x606cos 3 22cos ， y
35、033sin 3 1sin . 由此消去 得到x2 2 4 (y1)21 即为所求 【变式 1】 (2016 江西高三九校联考)曲线 C 的极坐标方程为 3sin 2cos 2， 曲线 C1参数方程为： x13cos y2sin ( 为参数) (1)求曲线 C1的普通方程； (2)若点 M 在曲线 C1上运动，试求出 M 到曲线 C 的距离的取值范围 (2)设 M(13cos ，2sin )，曲线 C 的直角坐标方程为 2x3y20， d|26cos 6sin 2| 13 6 26 13 cos 4 0，6 26 13 . 解析：(1)由 C1的参数方程 x13cos ， y2sin 得 x1
36、 3 cos ， y 2sin ， 平方消去 得曲 线 C1的普通方程为x1 2 9 y 2 4 1. 考点二 双曲线参数方程的应用 双曲线参数方程的应用技巧 先设出双曲线上的点P的参数形式，利用斜 率公式或点到直线的距离公式等转化为三角 函数问题，再用三角知识去处理 思维导引：利用双曲线的参数方程，将动点 用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角 的函数，运用三角知识求解 【例题 2】 直线 AB 过双曲线x 2 a2 y2 b21 的中心 O，与双曲线交于 A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点求证：直线 PA，PB 的斜率的乘积为定值 证明：如图所示， 设 P a cos ，btan ，
37、A a cos ，btan . A，B 过原点 O，A，B 的坐标关于原点对称，于是有 B a cos ，btan ， 从而 kPA kPB btan tan a 1 cos 1 cos btan tan a 1 cos 1 cos b2tan2 tan2 a2 1 cos2 1 cos2 b 2 a2为定值 【变式 2】 在双曲线 x2y21 上求一点 P，使 P 到直线 yx 的距离为 2. 解析：设 P 的坐标为 1 cos ，tan ， 由 P 到直线 xy0 的距离为 2得 1 cos tan 2 2 即 1 cos sin cos 2，|1sin |2|cos | 平方得 12si
38、n sin 24(1sin 2)， 即 5sin 22sin 30. 解得 sin 1 或 sin 3 5. sin 1 时，cos 0(舍去) sin 3 5时，cos 4 5. P 的坐标为 5 4， 3 4 或 5 4， 3 4 . 考点三 抛物线参数方程的应用 【例题3】 连接原点O和抛物线2yx2上的动 点M，延长OM到P点，使|OM|MP|，求P点 的轨迹方程，并说明它是何曲线 思维导引：先求出抛物线的参数方程并表示 出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求 解 解析：设 M(x0，y0)为抛物线上的动点，P(x，y)为在 OM 的延长线上的点抛物线 的参数方程为 x2t， y2t2
39、， 从而 M(x0，y0)满足上述参数方程， 即 x02t， y02t2. 又|OM|MP|， x2x04t， y2y04t2 ， 消去参数 t 得 y1 4x 2， 即 P 点轨迹方程为 y1 4x 2x24y，它表示抛物线 【变式 3】 点 P(1,0)到曲线 xt2， y2t (其中 t 是参数，且 tR)上的点的最小距离 为( ) A0 B1 C 2 D2 解析：因为点 P(1,0)到曲线 xt2， y2t (tR)上的点之间的距离为 d x12y02 t2122t2t211，故选 B B 考点四 利用参数法求轨迹方程 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问 题时，需要引入一个中间变量
40、即参数，然后 消去参数得普通方程这种方法是参数法， 而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的 参数方程表示点的坐标 思维导引：设出曲线C的点A的参数形式，然 后消去参数化为普通方程即可 【例题 4】 (2016 河南八市高三质检)已知曲线 C 的参数方程为 x6cos y4sin ( 为参 数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上的点按坐标变换 x1 3x， y1 4y 得到曲线 C. (1)求曲线 C的普通方程； (2)若点 A 在曲线 C上，点 D(1,1)，当点 A 在曲线 C上运动时，求 AD 中点 P 的轨迹方程 解析：(1)将 x6cos ， y4sin 代入 x1 3x， y1
41、 4y， 得到曲线 C的参数方程为 x2cos ， ysin . 曲线 C的普通方程为x 2 4 y21. (2)设点 P(x，y)，A(2cos ，sin ) 则 12cos 2 x， sin 1 2 y sin 2y1， cos 2x1 2 ， 消去 得：(2x1)24(2y1)24. 【变式4】 设抛物线y22px的准线为l，焦点 为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQl 于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程 解析：设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t0 时，直线 OP 的方程为 y1 t x， QF 的方程为 y2t xp 2 ， 它们的交点 M(x，y)由
42、方程组 y1 t x， y2t xp 2 确定，两式相乘， 消去 t 后，得 y22x xp 2 . M 的轨迹方程为 2x2pxy20(x0) 当 t0 时，M(0,0)满足题意且适合方程 2x2pxy20， 故所求的轨迹方程为 2x2pxy20. 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统 参数方程 第二讲第二讲 2.3 直线的参数方程 2.1 曲线的参数方程 2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程 栏目导 航 课前教材预案课前教
43、材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方 程为_ 课前教材预案课前教材预案 要点一 直线的参数方程 xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数) 要点二 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：参数 t 的绝对值表示参数 t 对应的点 M 到定点 M0(x0， y0)的距离 当M0M 与 e(直线的单位方向向量)同向时， t 取_； 当M 0M 与 e 反向时，t 取_；当点 M 与点 M0重合时，t 为_ 正数 负数 零 课堂深度拓展课堂深度拓展 考点一 直线参数方程的标准形式 对直线参数方程的标准形式的认识 (1)过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 (0)，则 xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数)是直线 参数方程的标准形式 (2)直线参数方程的形式不同，参数 t 的
