1、 201911 高二数学试题 第 1 页 /共 7 页 宝应县 20192020 学年度第一学期期中测试试题 高二数学 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，计分，计 48 分分.每小题给出的四个选项中，只有一个选每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置将该选项项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置将该选项代号代号涂黑）涂黑） 1. 在等差数列 n a中， 24 3,6aa，则 6 a的值为 A. 9 B. 4 C. 0 D. -3 2. 命题“x R, 2 10 x ”
2、的否定是 A不存在xR, 2 10 x Bx R, 2 10 x Cx R, 2 10 x Dx R, 2 10 x 3. 中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点(5,0)和(0, 2)的椭圆的方程为 A. 22 1 52 xy B. 22 1 52 xy C. 22 1 254 xy D. 22 1 425 xy 4. 已知, , ,a b c dR，则下列结论中必然成立的是 A.若,ab cb，则ac. B. 若,ab cd，则 ab cd . C.若 22 ab，则.ab D.若,ab 则cacb. 5. “ 2 1 x ”是“2x ”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
3、 C. 充要条件 D.既不充分与不必要条件 6. 在等比数列 n a中， 1 1 8 a ，2q ，则 4 a与 10 a的等比中项为 A. 2 2 B. 2 2 C. 8 D. 8 7. 不等式 2 4| | 0 xx的解集为 A. |04xx B. | 4004xxx 或 C. | 40 xx D. | 44xx 8. 抛物线 2 1 4 yx的准线方程是 A. 1 16 y B. 1y C. 1 16 x D. 1x 9. 已知( 2,0)F 是双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 的一个焦点，则它的渐近线方程为 A. 3yx B. 1 3 yx C. 3yx D. 3 3 yx
4、10. 已知, a b为正实数，且24ab，则 22 loglogab 201911 高二数学试题 第 2 页 /共 7 页 A. 当2,1ab时，取得最大值 1 B. 当 4 3 ab时，取得最大值 2 4 2log 3 C. 当2,1ab时，取得最小值 1 D. 当 4 3 ab时，取得最小值 2 4 2log 3 11. 各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S，若 26 4aa， 3 1a ，则 2 2 5 () 4 n n a S 的最 大值为 A 1 32 B 1 16 C 1 8 D 1 4 12. 已知点,4P n为椭圆 22 22 10 xy ab ab 上一点，
5、12 ,F F是椭圆的两个焦点，如果 12 PFF的内切圆的直径为 3，则此椭圆的离心率为 A 3 5 B 4 5 C 2 3 D. 5 7 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 20 分。将答案直接填写在答题卡的相应位置的横线分。将答案直接填写在答题卡的相应位置的横线 上）上） 13. 已知数列 n a的前n项和 2 n Snn，则 9 a= . 14. 函数 2 ( )23lgf xxxx的定义域是 . 15. 设 n S为等比数列 n a的前n项和，已知 34 32Sa， 23 32Sa，则公比q= . 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知F是抛
6、物线 2 8xy的焦点，过点F作两条互相垂直的直 线 12 ,ll， 12 ,ll分别与抛物线交于,A B和,C D，记AB的中点为M，CD的中点为N， 则OM ON的最小值为 . 三、解答题（共三、解答题（共 6 道题，计道题，计 82 分，解答应写出必要的推理计算的过程）分，解答应写出必要的推理计算的过程） 17.（本题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为 22 1 204 xy ，双曲线E与椭圆C有相同 的焦点，且双曲线E的一个顶点是( 2,0) （1） 求双曲线E的方程； （2） 记M是椭圆C与双曲线E的交点，且位于第一象限，求点M的坐标. 18. （本题满分
7、 14 分） 201911 高二数学试题 第 3 页 /共 7 页 已知函数 22 ( )(45)2(1)3f xkkxk x（kR，且0k ） （1） 当0k 时，求不等式( )0f x 的解集； （2） 若函数 2 lg(2) ( ) x y f x 的图象都在x轴的上方，求k的取值范围. 19. （本题满分 14 分） 有一隧道设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示. 为保证安全，要 求行驶的车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部（即隧道内壁）在竖直方向上高度之差至少要有 0.5m . 若行车道总宽度 AB 为 6m，请计算车辆通过此隧道时的限制高度（精确到 0.1m）. 20
8、（本题满分 14 分） 已知一个递增的等比数列 n a的前三项之积为 27， 将这三项分别加上 33 1, 22 后又成等差 数列. （1） 求等比数列 n a的通项公式； （2） 记23 n nn ban ，求数列 n b的前n项和 n T； （3） 说明（2）中的 n T必存在最小值，并求出这个最小值. 21. （本题满分 14 分） 201911 高二数学试题 第 4 页 /共 7 页 已知 12 ,F F分别是椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，过 2 F且不与x轴垂直的动 直线l与椭圆交于,M N两点，点P是椭圆 C 的右准线上一点，连结,PM PN，当
9、点P为右 准线与x轴的交点时，有 212 2PFFF. （1） 求椭圆C的离心率； （2） 当点 P 的坐标为(2,1)时，求直线PM与直线PN的斜率之和. 22.（本题满分 14 分） 已知数列 n a满足 11 21 2, n n n a aa a (*)nN (1) 求证：数列 1 1 n a 是等差数列，并求数列 n a的通项公式； (2) 记 1 n n b na ， n T为数列 2121nn bb 的前n项和，若 8 n n T b 对任意的正整数n都成 立，求实数的取值范围. 20192020 学年度第一学期期中测试试题 高二数学参考答案及评分标准高二数学参考答案及评分标准 2
10、01911 高二数学试题 第 5 页 /共 7 页 一、选择题（每小题 4 分，计 48 分） ACCDB DBBCA DA 二、填空题（每小题 5 分，计 20 分） 13.16 14.3,) 15.-2 16.20 三、解答题（共 6 道题，计 82 分） 17.（本题满分 12 分） 解： （1）设双曲线E的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，因为双曲线E的一个顶点是( 2,0)， 所以 2 4a . 2 分 又，双曲线E与椭圆C ： 22 1 204 xy 有相同的焦点， 所以 22 20416ab，则 2 12b 5 分 所以双曲线E的方程为 22 1 412 xy
11、 . 6 分 （2）将椭圆方程 22 1 204 xy 与双曲线方程 22 1 412 xy 联立， 解得 2 5x ， 2 3y 10 分 又交点 M 位于第一象限，所以点 M 的坐标是( 5, 3) 12 分 18.（本题满分 14 分） 解： （1）当0k 时，不等式( )0f x 就是 2 5230 xx ，即 2 5230 xx 而方程 2 5230 xx 的两个根是 12 3, 1 5 xx 3 分 所以不等式( )0f x 的解集是 3 |1 5 x xx 或 6 分 （2）由于函数 2 lg(2) ( ) x y f x 的图象都在x轴的上方，所以0y 又因为 2 lg(2)0
12、 x 恒成立， 所以 22 ( )(45)2(1)30f xkkxk x 恒成立 9 分 而 222 4(1)12(45)8(78)kkkkk 则 2 450 0 kk ，即 (5)(1)0 (8)(1)0 kk kk 12 分 又0k ，所以 50 80 k k ，所以k的取值范围是85k . 14 分 19.（本题满分 14 分） 解：如图，以截面抛物线的顶点为原点，水平方向为 x 轴， 建立如图所示的直角坐标系，则抛物线的方程可设为 2 2(0)xpy p 3 分 由题设知，点(4, 6)在此抛物线上，所以 8 2 3 p ， 则 2 8 3 xy 6 分 记矩形 ABCD（C、D 为车
13、辆顶部触及隧道内壁的点）的顶点 C、D 在抛物线上. 201911 高二数学试题 第 6 页 /共 7 页 设 00 (,)C xy，由条件知， 0 3x ，代入 2 8 3 xy得 0 27 8 y 9 分 所以 0 21 | 6 | 8 BCy =2.625 2.625+20.5=4.1254.1 13 分 答：车辆通过此隧道时的限制高度为 4.1m. 14 分 20.（本题满分 14 分） 解： （1）设等比数列 n a的公比为q，则它的前三项分别为： 2 22 , a a a q q ， 由题设知， 3 2 27,a所以 2 3a . 2 分 所以， 333 1,3,3 22 q q
14、成等差数列，则 33 91 3 2 q q 解得 32 23 qq或（因为 n a递增，故舍去） ，则 2 2 a q 4 分 所以等比数列 n a的通项公式为 1 3 2 ( ) 2 n n a 5 分 (2)因为23 n nn ban ，所以 1 4 33 n n bn 7 分 则数列 n b的前n项和 2 1 (1 3 )(1)5 432 32 1 3222 n n n n nnn Tn 10 分 （3）当 3n 时， 2 5 2 3 22 n n nn T 递增，所以 n T必存在最小值12 分 且 min123 |min( ,) n TT T T 又 1 2T , 2 13T , 3
15、 34T ,所以 n T的最小值为 1 2T . 14 分 21.（本题满分 14 分） 解： （1）由已知，当点P为右准线与x轴的交点时，有 212 2PFFF， 所以 2 2()2 a cc c ，则 22 2ca，所以 2 1 2 e 3 分 又(0,1)e，所以 2 2 e . 5 分 (2) 因为(2,1)P，所以 2 2 a c ，则 2 2ac，解得 22 2,1ac 所以 2 1b 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 2 x y 8 分 焦点 2(1,0) F，可设直线l的方程为(1)yk x 记直线l于椭圆的两个交点 11 ( ,)M x y， 22 (,)N x y 联立
16、22 (1) 22 yk x xy ，得 2222 (1 2)4220kxk xk 10 分 201911 高二数学试题 第 7 页 /共 7 页 则 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k x x k 所以 1212 121212 11114 2(1)()2(1) 2222(2) (2) PMPN yyxx kkkkkk xxxxxx 12 分 将 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k x x k 代入上式， 得2(1) ( 2)2 PMPN kkkk 14 分 22.（本题满分 14 分） 解： （1）证明：， ，即， 3
17、分 又， 数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列； 6 分 （2）由（1）知， 8 分 数列 的通项公式为；， 2121 111 11 () 2(22)4 (1)41 nn bb nnn nnn 10 分 由 8 n n T b 对任意的正整数都成立， 得 8 2 4(1)(9)4(109) nn nn T b nnnn 对任 意的正整数都成立， 而 2 111 9 4(109)644(2 910) 4(10) n nn n n 13 分 所以实数的取值范围是 1 64 14 分 1 21( *) n n n a anN a 1 2a 1 n a 1 1 1 n n n a a a 1 11 1 111 n nnn a aaa 1 11 1 11 nn aa 1 2a 1 1 1 1a 1 1 n a 1 1 n n a 1 n n a n n a 1 n n a n 11 1 n n b nan 11111111 (1)()()(1) 4223141 n T nnn n n
