1、 课程标准要求课程标准要求 1.1.借助函数图象借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.2.会用导数求函数的极大值、极小值会用导数求函数的极大值、极小值.3.3.会求闭区间上函数的最大会求闭区间上函数的最大值、最小值值、最小值.积累积累必备知识必备知识01回顾教材回顾教材,夯实四基夯实四基1.1.函数的极值函数的极值(1)(1)函数的极小值函数的极小值函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=ax=a处的函数值处的函数值f(a)f(a)比它在点比它在点x=ax=a附近其他点处的附近其他点处的函数值都小函数值都小,f,f(a)=0;(a)
2、=0;而且在点而且在点x=ax=a附近的左侧附近的左侧 ,右侧右侧 ,则则a a叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极小值点的极小值点,f(a),f(a)叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极小值的极小值.f f(x)0(x)0f(x)0(2)(2)函数的极大值函数的极大值函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=bx=b处的函数值处的函数值f(b)f(b)比它在点比它在点x=bx=b附近其他点处的附近其他点处的函数值都大函数值都大,f,f(b)=0;(b)=0;而且在点而且在点x=bx=b附近的左侧附近的左侧 ,右侧右侧 ,则则b b叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极
3、大值点的极大值点,f(b),f(b)叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极大值的极大值.(3)(3)极小值点、极大值点统称为极小值点、极大值点统称为 ,极小值和极大值统称极小值和极大值统称为为 .f f(x)0(x)0f(x)0f(x)0,(x)0,(k(kZ Z)内单调递增内单调递增;令令f f(x)0,(x)0,20,02提升提升关键能力关键能力类分考点类分考点,落实四翼落实四翼考点一利用导数解决函数的极值问题考点一利用导数解决函数的极值问题角度一根据函数图象判断函数极值角度一根据函数图象判断函数极值 例例1 1(多选题多选题)(2024)(2024重庆检测重庆检测)函数函数y=f(
4、x)y=f(x)的导函数的导函数y=fy=f(x)(x)的图象如图所示的图象如图所示,则则()A.-3A.-3是函数是函数y=f(x)y=f(x)的极值点的极值点B.-1B.-1是函数是函数y=f(x)y=f(x)的极小值点的极小值点C.yC.y=f(x)=f(x)在区间在区间(-3,1)(-3,1)上单调递增上单调递增D.-2D.-2是函数是函数y=f(x)y=f(x)的极大值点的极大值点解析解析:根据导函数的图象可知根据导函数的图象可知,当当x x(-(-,-3),-3)时时,f,f(x)0,(x)0-a0对对x xR R恒成立恒成立,f(x)f(x)在在(-(-,+,+)上为增函数上为增
5、函数,无极值无极值;当当a0a0时时,令令f f(x)=0,(x)=0,所以所以e ex x=a,xa,x=lnln a,a,x x(-(-,lnln a)a)ln aln a(lnln a a,+,+)f f(x)(x)-0 0+f(x)f(x)极小值极小值f(x)f(x)在在x=x=lnln a a处取得极小值处取得极小值f(f(lnln a)=a-a)=a-alnaln a-1,a-1,无极大值无极大值.运用导数求函数运用导数求函数f(x)f(x)极值的一般步骤极值的一般步骤(1)(1)确定函数确定函数f(x)f(x)的定义域的定义域.(2)(2)求导数求导数f f(x).(x).(3)
6、(3)解方程解方程f f(x)=0,(x)=0,求出函数定义域内的所有根求出函数定义域内的所有根.(4)(4)列表检验列表检验f f(x)(x)在在f f(x)=0(x)=0的根的根x x0 0左右两侧值的符号左右两侧值的符号.(5)(5)求出极值求出极值.角度三由函数极值角度三由函数极值(极值个数极值个数)求参数值求参数值(范围范围)例例3 3(1)(1)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=1x=1处有极小值处有极小值10,10,则则a+ba+b等于等于()A.-7A.-7B.0B.0C.-7C.-7或或0 0D.-15D.-15
7、或或6 6解析解析:(1)(1)由函数由函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2,得得f f(x)=3x(x)=3x2 2+2ax+b.+2ax+b.又函数又函数f(x)f(x)在在x=1x=1处有极小值处有极小值10,10,f f(x)=3x(x)=3x2 2+8x-11=(x-1)(3x+11).+8x-11=(x-1)(3x+11).令令f f(x)0,(x)0,得得x1x1或或x-,x-,所以函数所以函数f(x)f(x)在在(-(-,-),-)上单调递增上单调递增,在在(-,1)(-,1)上单调递减上单调递减,在在(1,+(1,+)上单调递增上单调
8、递增.显然满足函数显然满足函数f(x)f(x)在在x=1x=1处有极小值处有极小值10.10.令令f f(x)0,(x)0,得得-x1,-x0),-2x+ln x(x0),若函数若函数f(x)=axf(x)=ax2 2-2x+ln x-2x+ln x有两个不同的极值点有两个不同的极值点x x1 1,x,x2 2,则方程则方程2ax2ax2 2-2x+1=0-2x+1=0有两个不相等的正实根有两个不相等的正实根,故选故选C.C.(1)(1)已知函数极值已知函数极值,确定函数解析式中的参数时确定函数解析式中的参数时,要注意根据极值点要注意根据极值点的导数为的导数为0 0和极值这两个条件列方程组和极
9、值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解利用待定系数法求解.(2)(2)导数值为导数值为0 0不是此点为极值点的充要条件不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求所以用待定系数法求解后必须检验解后必须检验.针对训练针对训练 (1)(1)(角度一角度一)已知函数已知函数f(x)f(x)的导函数的图象如图所示的导函数的图象如图所示,则则f(x)f(x)的极的极值点的个数为值点的个数为()A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3(1)(1)解析解析:因为在因为在x=0 x=0左、右两边的导数值均为负数左、右两边的导数值均为负数,所以所以0 0不是极不是极值点值点,故由题图可知故由题图可知
10、f(x)f(x)只有只有2 2个极值点个极值点.故选故选C.C.(2)(2)(角度三角度三)已知函数已知函数f(x)=+f(x)=+mlnmln x-2x x-2x存在极值点存在极值点,则实数则实数m m的取的取值范围为值范围为 .(2)(2)解析解析:由题意知由题意知x0,x0,且且f f(x)=(x)=,m,m,若只有一个极值点若只有一个极值点,则则g(x)=xg(x)=x2 2-2x+m-2x+m在区间在区间(0,+(0,+)内有唯一的内有唯一的变号零点变号零点,g(0),g(0)0 0即可即可,解得解得m m0;0;若有两个极值点若有两个极值点,则则g(x)=0g(x)=0在区在区间间
11、(0,+(0,+)上有两个不同的根上有两个不同的根,设设g(x)=xg(x)=x2 2-2x+-2x+解得解得0m1.0m1.综上所述综上所述,实数实数m m的取值范围是的取值范围是(-(-,1).,1).(-(-,1),1)(3)(3)(角度二角度二)已知函数已知函数f(x)=,f(x)=,其中其中a aR R.若函数若函数f(x)f(x)的的图象在点图象在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与直线处的切线与直线2x+y-1=02x+y-1=0平行平行.求求a a的值的值;(3)(3)解解:由已知由已知,可得可得f f(x)=x(x)=x2 2+ax-2.+ax-2.因为函数因为函数f(x
12、)f(x)的图象在点的图象在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与直线处的切线与直线2x+y-1=02x+y-1=0平行平行,所以所以f f(1)=a-1=-2,(1)=a-1=-2,解得解得a=-1.a=-1.经验证经验证,a=-1,a=-1符合题意符合题意.求函数求函数f(x)f(x)的极值的极值.解解:由得由得f(x)=,f(x)=,f f(x)=x(x)=x2 2-x-2=(x+1)(x-2).-x-2=(x+1)(x-2).令令f f(x)=0,(x)=0,得得x=-1x=-1或或x=2.x=2.当当x x变化时变化时,f,f(x)(x)与与f(x)f(x)的变化情况如表所示的变化
13、情况如表所示,x x(-(-,-,-1)1)-1-1(-(-1,21,2)2 2(2(2,+,+)f f(x)(x)+0 0-0 0+f(x)f(x)单调递增单调递增极大值极大值单调递减单调递减极小值极小值单调递增单调递增所以当所以当x=-1x=-1时时,f(x),f(x)取得极大值取得极大值,且且f(-1)=2;f(-1)=2;当当x=2x=2时时,f(x),f(x)取得极小值取得极小值,且且f(2)=-.f(2)=-.考点二利用导数解决函数的最值问题考点二利用导数解决函数的最值问题 例例4 4(2024(2024江苏苏州模拟江苏苏州模拟)已知函数已知函数f(x)=f(x)=xlnxln x
14、-a(x-1),x-a(x-1),求函求函数数f(x)f(x)在区间在区间1,e1,e上的最小值上的最小值.解解:f(x)=f(x)=xlnxln x-a(x-1),x-a(x-1),则则f f(x)=(x)=lnln x+1-a,x+1-a,当当e ea-1a-11,1,即即a a1 1时时,x,x1,e,1,e,则则f f(x)(x)0,f(x)0,f(x)在在1,e1,e上单调递增上单调递增,所以所以f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(1)=0.f(1)=0.当当1e1ea-1a-1e,e,即即1a21a2时时,由由f f(x)=0,(x)=0,得得x=ex=ea-1a-1,在在1,
15、e1,ea-1a-1 上上,f,f(x)(x)0,0,f(x)f(x)单调递减单调递减,在在eea-1a-1,e,e上上,f,f(x)(x)0,f(x)0,f(x)单调递增单调递增,所以所以f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(ef(ea-1a-1)=a-e)=a-ea-1a-1.当当e ea-1a-1e,e,即即a a2 2时时,在在1,e1,e上上,f,f(x)(x)0,f(x)0,f(x)单调递减单调递减,所以所以f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(e)=f(e)=a+e-aea+e-ae.综上综上,当当a a1 1时时,f(x),f(x)的最小值为的最小值为0;0;当当1a21a
16、0,(x)0,解得解得0 x2,0 x2,令令f f(x)0,(x)0,解得解得x0 x2.x2.所以所以f(x)f(x)在在-3,0)-3,0)上单调递减上单调递减,在在0,20,2上单调递增上单调递增,在在(2,3(2,3上单上单调递减调递减.故故f(x)f(x)在区间在区间-3,3-3,3上的最大值为上的最大值为f(-3)=27ef(-3)=27e3 3,最小值为最小值为f(0)=0.f(0)=0.考点三导数在实际问题中的应用考点三导数在实际问题中的应用 例例5 5 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层外
17、墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用某幢建筑物要建造可使用2020年的隔热层年的隔热层,每每厘米厚的隔热层建造成本为厘米厚的隔热层建造成本为6 6万元万元.该建筑物每年的能源消耗费用该建筑物每年的能源消耗费用C(C(单位单位:万元万元)与隔热层厚度与隔热层厚度x(x(单位单位:cm):cm)满足关系满足关系:C(x)=(0:C(x)=(0 x x10),10),若不建隔热层若不建隔热层,每年能源消耗费用为每年能源消耗费用为8 8万元万元,设设f(x)f(x)为隔热为隔热层建造费用与层建造费用与2020年的能源消耗费用之和年的能源消耗费用之和.(1)(1)求求k k的值及的值及f(x)f(x
18、)的表达式的表达式;解解:(1)(1)由由C(0)=8,C(0)=8,得得k=40,k=40,因此因此C(x)=.C(x)=.而建造费用为而建造费用为C C1 1(x)=6x.(x)=6x.所以隔热层建造费用与所以隔热层建造费用与2020年的能源消耗费用之和为年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+Cf(x)=20C(x)+C1 1(x)=20(x)=20+6x(0+6x(0 x x10).10).(2)(2)隔热层修建多厚时隔热层修建多厚时,总费用总费用f(x)f(x)达到最小达到最小?并求出最小值并求出最小值.令令f f(x)=0,(x)=0,当当0 0 x5x5时时,f,f(x)0
19、,(x)0,当当5x50,(x)0,所以所以f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(5)=6f(5)=65+=70.5+=70.所以当隔热层修建所以当隔热层修建5 cm5 cm厚时厚时,总费用达到最小值总费用达到最小值7070万元万元.解得解得x=5x=5或或x=-(x=-(舍去舍去).).利用导数解决实际问题的四个步骤利用导数解决实际问题的四个步骤(1)(1)分析实际问题中各量之间的关系分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型建立实际问题的数学模型,写写出实际问题中变量之间的函数关系式出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).y=f(x).(2)(2)求函数的导数求函数的导数
20、f f(x),(x),解方程解方程f f(x)=0.(x)=0.(3)(3)比较函数在区间端点和比较函数在区间端点和f f(x)=0(x)=0的点处的函数值的大小的点处的函数值的大小,最大最大(小小)者为最大者为最大(小小)值值.(4)(4)回归实际问题回归实际问题,结合实际问题作答结合实际问题作答.针对训练针对训练 (2024(2024山东德州模拟山东德州模拟)高铁的快速发展给群众出行带高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利来巨大便利,促进了区域经济和社会发展促进了区域经济和社会发展.已知某条高铁线路通车已知某条高铁线路通车后后,发车时间间隔发车时间间隔t(t(单位单位:分钟分钟)满足满足2
21、2t t20,t20,tN N*.经测算经测算,高铁高铁的载客量与发车时间间隔的载客量与发车时间间隔t t相关相关:当当1010t t2020时时,高铁为满载状态高铁为满载状态,载客量为载客量为1 2001 200人人;当当2 2t10t10时时,载客量会在满载基础上减少载客量会在满载基础上减少,减少减少的人数与的人数与(10-t)(10-t)2 2成正比成正比,且发车时间间隔为且发车时间间隔为5 5分钟时的载客量为分钟时的载客量为950950人人.设发车时间间隔为设发车时间间隔为t t分钟时分钟时,高铁载客量为高铁载客量为P(t).P(t).解解:(1)(1)当当2 2t10t10时时,减少
22、的人数与减少的人数与(10-t)(10-t)2 2成正比成正比,设比例系数为设比例系数为k,k,所以所以P(t)=1 200-k(10-t)P(t)=1 200-k(10-t)2 2,2,2t10,t10,当当t=5t=5时时,P(5)=950,P(5)=950,即即1 200-k(10-5)1 200-k(10-5)2 2=950,=950,解得解得k=10,k=10,(1)(1)求求P(t)P(t)的表达式的表达式;所以所以P(t)=P(t)=解解:(2)(2)由题意可得由题意可得(2)(2)若该线路发车时间间隔为若该线路发车时间间隔为t t分钟时的净收益分钟时的净收益Q(t)=P(t)-
23、40tQ(t)=P(t)-40t2 2+660 t-2 048(660 t-2 048(单位单位:元元),),当发车时间间隔为多少时当发车时间间隔为多少时,单位时间的净单位时间的净收益收益 最大最大?最大为多少最大为多少?令令H H(t)=0,(t)=0,得得t=8.t=8.当当2 2t8t0,(t)0,当当8t108t10时时,H,H(t)0,(t)0,所以所以H(t)H(t)的最大值为的最大值为H(8)=316;H(8)=316;当当2 2t10t10时时,当当1010t t2020时时,所以所以H(t)H(t)的最大值为的最大值为H(10)=295.2,H(10)=295.2,因为因为2
24、95.2316,295.20a0a0a000 0000 0单调性单调性(-(-,x,x1 1),),(x(x2 2,+,+)上上单调递增单调递增;(x(x1 1,x,x2 2)上上单调递减单调递减R R上上单调递增单调递增(-(-,x,x1 1),),(x(x2 2,+,+)上单调递减上单调递减;(x(x1 1,x,x2 2)上单调递增上单调递增R R上上单调递减单调递减极值点极值点两个两个极值点极值点x x1 1,x,x2 2无极值点无极值点两个两个极值点极值点x x1 1,x,x2 2无极值点无极值点对称性对称性三三次函数的图象是中心对称曲线次函数的图象是中心对称曲线,对称中心为对称中心为
25、点点 设设f(m-x)+f(f(m-x)+f(m+xm+x)=2n,)=2n,得得a(m-x)a(m-x)3 3+b(m-x)+b(m-x)2 2+c(m-x)+d+a(+c(m-x)+d+a(m+xm+x)3 3+b(b(m+xm+x)2 2+c(+c(m+xm+x)+d=2n,)+d=2n,整理得整理得(6ma+2b)x(6ma+2b)x2 2+(2am+(2am3 3+2bm+2bm2 2+2cm+2d)=+2cm+2d)=2n.2n.据多项式恒等则其对应系数相等据多项式恒等则其对应系数相等,可得可得m=-,m=-,且且n=amn=am3 3+bm+bm2 2+cm+cm+d,d,从而三
26、次函数从而三次函数f(x)f(x)的图象是中心对称曲线的图象是中心对称曲线,且由且由n=f(m)n=f(m)知其对称知其对称中心中心(m,fm,f(m)(m)仍然在曲线上仍然在曲线上.2.2.三次方程三次方程f(x)=0f(x)=0的实根个数的实根个数(1)(1)当当0,0,即即b b2 2-3ac-3ac0 0时时,方程方程f(x)=0f(x)=0有且只有一个实数根有且只有一个实数根.(2)(2)当当0,0,即即b b2 2-3ac0-3ac0时时,设设f f(x)=0(x)=0的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2,若若f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)0,)0,则方程则方程f(
27、x)=0f(x)=0有且只有一个实数根有且只有一个实数根;若若f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)=0,)=0,则则方程方程f(x)=0f(x)=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根;若若f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)0,)0)-(a0)与函与函数数g(x)=xg(x)=x2 2-cxcx的图象恰有三个不同交点的图象恰有三个不同交点,且交点的横坐标构成等且交点的横坐标构成等差数列差数列,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是.必有两个不同的实数根必有两个不同的实数根,又又a0,a0,则则=4-8ac0,=4-8ac0,所以所以ac .ac0m0时时,令令f f(x)
28、0,(x)0,令令f(x)0,f(x)0m0时时,f(x),f(x)的极小值为的极小值为f(3m)=2-18mf(3m)=2-18m3 3,当当2-18m2-18m3 30,0,0,f(x)f(x)有一个零点有一个零点,如图中曲线如图中曲线;当当m=0m=0时时,f(x)=x,f(x)=x3 3+2,+2,易知易知f(x)f(x)有一个零点有一个零点.综上综上,f(x)f(x)有一个零点有一个零点;f(x)f(x)有两个零点有两个零点;f(x)f(x)有三个零点有三个零点.拓展演练拓展演练 设函数设函数f(x)=xf(x)=x3 3-a-a2 2x+b,x+b,其中其中a,ba,b为常数为常数
29、.(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性;解解:(1)f(1)f(x)=x(x)=x2 2-a-a2 2=(x-a)(=(x-a)(x+ax+a).).当当a0a0,(x)0,得得x-ax-a或或xa,xa,由由f f(x)0,(x)0,得得ax-a;ax0a0时时,由由f f(x)0,(x)0,得得xaxa或或x-a,x-a,由由f f(x)0,(x)0,得得-axa;-axa;当当a=0a=0时时,f,f(x)(x)0.0.综上综上,当当a0a0a0时时,f(x),f(x)在在(-(-,-a),(a,+,-a),(a,+)上单调递增上单调递增,在在(-(-a,aa,a)上单调
30、递减上单调递减;当当a=0a=0时时,f(x),f(x)在在(-(-,+,+)上单调递增上单调递增.(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)有且仅有有且仅有3 3个零点个零点,求求 的取值范围的取值范围.解解:(2)(2)由由(1)(1)可知可知,若若f(x)f(x)有有3 3个零点个零点,则则a a0,0,且且f(x)f(x)极大值极大值f(x)f(x)极小值极小值0,0,所以所以f(-a)f(a)=(b+af(-a)f(a)=(b+a3 3)(b-a)(b-a3 3)0,)0,类型三利用导数研究三次函数的切线问题类型三利用导数研究三次函数的切线问题 典例典例3 3(多选题多选题)(2024
31、)(2024广东广州模拟广东广州模拟)函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-ax-ax2 2-x+1,-x+1,则则下列结论正确的是下列结论正确的是()A.A.若函数若函数f(x)f(x)在在 上单调递减上单调递减,则则-1-1a aB.B.若函数若函数f(x)f(x)的对称中心为的对称中心为(1,-2),(1,-2),则则a=a=C.C.当当a=1a=1时时,若若f(x)=mf(x)=m有三个根有三个根x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,则则0m0mD.D.当当a=1a=1时时,若过点若过点(-1,n)(-1,n)可作曲线可作曲线y=f(x)y=f(x)的三条切线的三条切线,则则0n
32、0n0,f(x)(x)0,f(x)单调递增单调递增;当当x x(-,1)(-,1)时时,f,f(x)0,f(x)(x)0,f(x)(x)0,f(x)单调递增单调递增,f(1)=0,f(-1)=0,f(1)=0,f(-1)=0,正确正确;设设g(x)=-2xg(x)=-2x3 3-2x-2x2 2+2x+2,+2x+2,则则g g(x)=-6x(x)=-6x2 2-4x+2=-2(x+1)(3x-1),-4x+2=-2(x+1)(3x-1),当当x x(-(-,-1),-1)时时,g,g(x)0,g(x)(x)0,g(x)(x)0,g(x)单调递增单调递增;当当x x(,+(,+)时时,g,g(
33、x)0,g(x)(x)0,g(x)单调递减单调递减,极小值极小值g(-1)=0,g(-1)=0,极大值极大值 ,故故n n(0,),(0,),正确正确.利用导数求解三次函数切线问题的两种方法利用导数求解三次函数切线问题的两种方法(1)(1)通法通法:求解过点求解过点P P的三次函数的三次函数f(x)f(x)的切线条数问题的切线条数问题,一般是先设出切一般是先设出切点点Q(Q(t,ft,f(t),(t),写出曲线写出曲线f(x)f(x)在在x=tx=t处的切线方程处的切线方程,把点把点P P坐标代入坐标代入,整理整理出一个关于出一个关于t t的三次方程的三次方程,该方程实根个数就是切线条数该方程
34、实根个数就是切线条数.(2)(2)优解优解:利用导数求出三次函数利用导数求出三次函数f(x)f(x)的图象的对称中心的图象的对称中心,再求出曲线再求出曲线f(x)f(x)在其对称中心的切线方程在其对称中心的切线方程,然后将所给点的横坐标分别代入切线方然后将所给点的横坐标分别代入切线方程和函数解析式中程和函数解析式中,就可得就可得“外三外三”所对应的纵坐标的取值范围所对应的纵坐标的取值范围(此法此法一般在选择、填空题中使用一般在选择、填空题中使用,而在解答题中使用通法而在解答题中使用通法).).拓展演练拓展演练 已知函数已知函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-3x,-3x,若过点若过点M(1
35、,m-1)M(1,m-1)存在三条直线与曲存在三条直线与曲线线y=f(x)y=f(x)相切相切,则则m m的取值范围为的取值范围为 .(-2,0)(-2,0)解析解析:f f(x)=6x(x)=6x2 2-3,-3,设过点设过点M(1,m-1)M(1,m-1)的直线与曲线的直线与曲线y=f(x)y=f(x)相切于点相切于点(x,2x(x,2x3 3-3x)(x-3x)(x1),1),则则 =6x=6x2 2-3,-3,化简得化简得4x4x3 3-6x-6x2 2=-m-2.=-m-2.令令g(x)=4xg(x)=4x3 3-6x-6x2 2,则过点则过点M(1,m-1)M(1,m-1)存在三条
36、直线与曲线存在三条直线与曲线y=f(x)y=f(x)相切等价于相切等价于y=g(x)y=g(x)与与y=-m-2y=-m-2的图象有三个交点的图象有三个交点.因为因为g g(x)=12x(x-1),(x)=12x(x-1),所以在所以在(-(-,0),(1,+,0),(1,+)上上,g(x),g(x)单调递增单调递增;在在(0,1)(0,1)上上,g(x),g(x)单调递减单调递减,又又g(0)=0,g(1)=-2,g(0)=0,g(1)=-2,所以所以g(x)g(x)的大致图象的大致图象如图所示如图所示,所以所以-2-m-20,-2-m-20,即即m m(-2,0).(-2,0).谢谢观看谢谢观看
