1、第六章平面向量、复数第4讲余弦定理、正弦定理 1.余弦定理、正弦定理 在 ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为 ABC 的外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理内容a2b2c22bc cos A；b2 ；c2 .c2a22ca cos Ba2b22ab cos C2R定理余弦定理正弦定理变形2R sin B2R sin C sin A sin B sin C2.在 ABC 中，若已知角 A，B 所对的边 a，b 和角 A，则解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形 关系式ab sinAab sinAb sin Aabababab解的个数无解 一解无解一解两解一解内切圆
2、1.以下说法正确的是(A)A.在ABC中，AB是 sin A sin B的充要条件B.在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形C.在ABC中，若 sin 2A sin 2B，则ABC为等腰三角形D.三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比A12345A.1D.3解析由余弦定理得 AC 2 AB 2 BC 22 AB BC cos B，得 BC 22 BC 150，解得 BC 3或 BC 5(舍去).故选D.D123453.多选记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则符合下列条件的 ABC 有且只有一个的是(AC)B.a1，b2，c3C.bc1，B45D.a1，b2，
3、A100AC123454.已知2 a 1，a，2 a 1是钝角三角形的三边，则实数 a 的取值范围是 .(2，8)1234512345 C例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4A.6B.5C.4D.3A例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4B例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形A例例1训练
4、训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4等边三角形例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4方法技巧判断三角形形状的方法(1)化为边：通过正、余弦定理将角化边，利用因式分解、配方等得出边之间的关系进行判断.判断技巧：a2b2c2 cos C0C为钝角三角形为钝角三角形a2b2c2 cos C0C为直角三角形为直角三角形a2b2c2 cos C0C为锐角无法判断(只有C为最大角时才可得出三角形为锐角三角形)例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4(2
5、)化为角：通过正、余弦定理将边化角，通过三角恒等变换公式、三角形的内角和定理得出角的大小或角之间的关系.注意(1)不能随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种形状的可能.(2)注意挖掘隐含条件，在变形过程中注意角的范围对三角函数值的影响.例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4训练2 2021新高考卷在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，b a 1，c a 2.(1)若2 sin C 3 sin A，求 ABC 的面积.例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4(2)是否存在正整数 a，使得 ABC 为
6、钝角三角形？若存在，求 a；若不存在，说明理由.例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4命题点3与面积、周长有关的问题角度1面积问题例3 2023全国卷乙在 ABC 中，已知 BAC 120，AB 2，AC 1.(1)求 sin ABC；例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4(2)若 D 为 BC 上一点，且 BAD 90，求 ADC 的面积.例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练
7、3例例5训练训练4角度2周长问题例4 2022全国卷乙记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin C sin(A B)sin B sin(C A).(1)证明：2 a 2 b 2 c 2；例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4解法二因为 A B C，所以 sin C sin(A B)sin(A B)sin(A B)sin 2 A cos 2 B cos 2 A sin 2 B sin 2 A(1 sin 2 B)(1 sin 2 A)sin 2 B sin 2 A sin 2 B.同理有 sin B sin(C A)sin(C A)s
8、in(C A)sin 2 C sin 2 A，所以 sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin 2 A，由正弦定理可得2 a 2 b 2 c 2.例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4(2)由(1)及 a 2 b 2 c 22 bc cos A 得，a 22 bc cos A，所以2 bc 31.因为 b 2 c 22 a 250，所以(b c)2 b 2 c 22 bc 81，得 b c 9，所以 ABC 的周长为 a b c 14.例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4方法技巧与周长有关问题的解题思路(1)若边长易
9、求，直接求出边长，进而求出周长；(2)若边长不易求，可利用整体思想，构造以两边长的和为未知数的方程求解，进而求出周长.例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4 C.12D.16B例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4方法技巧射影定理：在 ABC 中，a，b，
10、c 分别为内角 A，B，C 的对边，则 a b cos C c cos B，b a cos C c cos A，c a cos B b cos A.例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4例例1训练训练1例例2训练训练2例例3例例4训练训练3例例5训练训练4 B1234512345123453.命题点1/2024杭州市质检已知四边形 ABCD 是一个圆的内接四边形，如图，若 AB 1，BC 3，CD DA 2.(1)求线段 BD 的长；123451234512345123451234512345
11、1234512345 A.1B.2C.3D.4解析由余弦定理得 b 2 a 2 c 22 ac cos B 9 c 23 c 13，即 c 23 c 40，解得 c 1(舍去)或 c 4，c 4.故选D.D12345678910111213141516A12345678910111213141516A.6B.8C.4D.2A123456789101112131415164.在 ABC 中，D 为边 BC 上一点，AD 6，BD 3，ABC 45，则 sin ADC 的值为(C)C123456789101112131415165.设问创新/多选黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位
12、同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 2，解得 B 60.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件？(ABD)B.A30，c4ABD12345678910111213141516123456789101112131415166.多选在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，下列条件能判断 ABC 是钝角三角形的有(BC)A.a6，b5，c4D.b2 sin 2Cc2 sin 2B2bc cos B cos CBC1234567891011121314151612345678910
13、111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516钝角三角形12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定C1234567891011121314151612345678910111213141516解法二延长 AD 到 E 使 AD DE，连接 BE，CE，则四边形 ABEC 是平行四边形，
14、AE 2 AD，所以 AE 2 BC 22(AB 2 AC 2)，所以 BC 214 AB 2 AC 2，则 ABC 为钝角三角形.故选C.1234567891011121314151612.2024湖北部分学校联考在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b 3，BD 为 AC 边上的中线，BD 2，且 a cos C 2 b cos ABC c cos A 0，则 ABC 的面积为(C)A.2C123456789101112131415161234567891011121314151613.多选在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知(b c)(c
15、 a)(a b)456，则下列结论正确的是(ABD)A.sin A sin B sin C753C.若c6，则ABC的面积是15ABD1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求 ABC 的面积；12345678910111213141516(2)若 DC DA，求 ADC 的周长.1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求角 B 的大小；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)已知 c b 1，且角 A 有两解，求 b 的取值范围.1234567891011121314151612345678910111213141516 16.情境创新剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国最古老的民间艺术之一.如图，纸片为一圆形，直径 AB 20 cm，需要剪去四边形 CEC 1 D，可以经过对折、沿 DC 和 EC 裁剪、展开得到.已知点 C 在圆上且 AC 10 cm，ECD 30.要使得镂空的四边形 CEC 1 D 面积最小，AD 的长应为 cm.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516
