1、2025高考数学考二轮 专题过关检测五统计与概率一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2023新高考,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有()A.C40045C20015种B.C40015C20045种C.C40030C20030种D.C40040C20020种2.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表:亩产量90
2、0,950)950,1 000)1 000,1 050)1 050,1 100)1 100,1 150)1 150,1 200)生产数61218302410据表中数据,结论中正确的是()A.100块稻田亩产量中位数小于1 050 kgB.100块稻田中的亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间3.某服装品牌市场部门为了研究销售情况,统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x(单位:元)和销售额y(单位:元)的数据,整理得到下面的散点图.已知销售额y=单价x销量
3、z,根据散点图,下面四个经验回归方程类型中最适宜作为服装销量z与单价x的经验回归方程类型的是()A.z=a+bxB.z=a+bxC.z=a+bx2D.z=a+bex4.已知在盒中有大小、质地相同的红色、黄色、白色的球各4个,分别编号为1,2,3,4,现从中任意摸出4个球,则摸出白球个数的均值是()A.13B.23C.43D.535.某学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩,将学生的成绩按照50,75),75,100),100,125),125,150分成4组,制成的频率分布直方图如图所示.现用比例分配的分层随机抽样的方法从75,100),125,150这两组学生中选取5人,再从这5人中任选2
4、人,则这2人的数学成绩不在同一组的概率为()A.15B.25C.12D.356.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种,其中“净”和“丑”需要画脸谱,“生”“旦”只略施脂粉,俗称“素面”.现有男生甲、乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动,其中女生丙想扮旦角,男生甲想体验画脸谱的角色,若三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个,则甲、丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为()A.38B.916C.34D.13167.盒中有2个红球,3个黑球,2个白球,从中随机地取出一个球,观察其颜色后放回,并加入同色球1个,再从盒中抽取一球,则第二次抽出的是红球的概
5、率是()A.27B.728C.37D.19568.如图,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落,将随机地向两边等概率的下落,当有大量的小球都滚下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球.若一个小球从正上方落下,落到3号位置的概率是()A.116B.14C.38D.18二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,yn,其
6、中yi=xi+c(i=1,2,n),c为非零常数,则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.为了解某种植区推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值X=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(X,s2),则()(若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(Z2)0.2B.P(X2)2)0.5D.P(Y2)0,均有P(|X-E(X)|)D(X)2.药厂宣称该血液试剂
7、对检测某种疾病的有效率为80%,现随机选择了100份血液样本,使用该血液试剂进行检测,每份血液样本检测结果相互独立,显示有效的份数不超过60份,请结合切比雪夫不等式,通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信.18.(17分)某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计,结果如下表.年份20192020202120222023年份代码x12345使用扫码支付的人次y/万人512161921(1)观察数据发现,使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式:y=c+dln x,通过散点图(图略)可以发现y与x之间具有相关性.设=ln x,利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的经验回
8、归方程,并估计2024年该商场使用扫码支付的人次;(2)为提升销售业绩,该商场近期推出两种付款方案.方案一,使用现金支付,每满200元可参加1次抽奖活动,抽奖方法如下:在抽奖箱里有8个形状、大小完全相同的小球(其中红球有3个,黑球有5个),顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球,若摸出3个红球,则打7折;若摸出2个红球,则打8折,其他情况不打折.方案二,使用扫码支付,此时系统自动对购物的顾客随机优惠,据统计可知,采用扫码支付时有18的概率享受8折优惠,有38的概率享受9折优惠,有12的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与均
9、值;试比较小张选择方案一与方案二付款,哪个方案更划算?附:对于一组具有线性相关关系的数据(t1,y1),(t2,y2),(t3,y3),(tn,yn),其经验回归方程为y=bt+a,b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2=i=1ntiyi-ntyi=1nti2-nt2,a=ybt.相关数据:0.96,i=15i26.2,i=15iyi86,ln 61.8(其中=ln x).19.(17分)(2023新高考,21)甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为
10、0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,n,则E(i=1nXi)=i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).专题过关检测五统计与概率 答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.D解析 由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照比例分配的分层随机抽样的原理,应从初中部抽取400
11、60060=40(人),从高中部抽取20060060=20(人).第一步,从初中部抽取40人,有C40040种方法,第二步,从高中部抽取20人,有C20020种方法,根据分步乘法计数原理,一共有C40040C20020种抽样结果.故选D.2.C解析 由6+12+18=3650,得中位数在1 050,1 100)范围内,故A错误;亩产量低于1 100 kg的稻田生产数为6+12+18+30=66,66100=66%80%,故B错误;亩产量最大值在1 150,1 200)范围内,最小值在900,950)范围内,故极差在(1 150-950,1 200-900)范围内,即200 kg至300 kg之
12、间,故C正确;9006100+95012100+1 00018100+1 05030100+1 10024100+1 15010100=1 042,大于1 000 kg,故D错误.故选C.3.B解析 由题中散点图可知,y与x成线性相关,设经验回归方程为y=m+kx,由题意z=yx,所以z=mx+k,对应B最适合.4.C解析 设摸出的白球的个数为X,则X=0,1,2,3,4,所以P(X=0)=C84C124=1499,P(X=1)=C41C83C124=224495,P(X=2)=C42C82C124=56165,P(X=3)=C43C81C124=32495,P(X=4)=C44C80C124
13、=1495.所以摸出白球个数的均值是E(X)=01499+1224495+256165+332495+41495=43.5.D解析 由题意可知,数学成绩在75,100)的学生的频率为0.01225=0.3,数学成绩在125,150的学生的频率为0.00825=0.2.用比例分配的分层随机抽样的方法从75,100),125,150这两组学生中选取5人,则其中有3人的成绩在75,100),有2人的成绩在125,150,从这5人中任选2人,这2人成绩不在同一组的概率P=C21C31C52=610=35.6.B解析 三人选角的不同结果共43种,若甲如愿,则已满足题意,故乙、丙可随机选择,此时共242=
14、32种;若甲未如愿,则丙必选旦角,则甲选生角或旦角,乙只能选净角或丑角,共212=4种.所求概率为32+443=916.7.A解析 从盒中任取1球,是红球记为A1,是黑球记为A2,是白球记为A3,则A1,A2,A3彼此互斥,设第二次抽出的是红球记为事件B,则P(A1)=27,P(A2)=37,P(A3)=27,P(B|A1)=38,P(B|A2)=14,P(B|A3)=14,P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=2738+3714+2714=27.8.C解析 记一个小球从正上方落下,落到3号位置的事件为M,一个小球从正上方落下,落到3号位置,需
15、要4次碰撞中有2次向左、2次向右,则一个小球从正上方落下落到3号位置的概率为P(M)=C42122122=38.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.CD解析 x=1ni=1nxi,y=1ni=1nxi+nc=x+c,故A错误;两组样本数据的样本中位数相差c,故B错误;sx2=1ni=1n(xi-x)2,sy2=1ni=1n(xi+c)-(x+c)2=sx2,故C正确;x极差=xmax-xmin,y极差=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin,故D正确.10.BC解析
16、由题意知,XN(1.8,0.12),YN(2.1,0.12).P(X1.8+0.1)1-0.841 3=0.158 7.P(X2)=P(X1.8+20.1)1.8+0.1)0.158 7,A错误.P(X2)1.8)=0.5,B正确.P(Y2)=P(Y2.1-0.1)=P(Y6.635=x0.010.依据小概率值=0.010的独立性检验,推断H0不成立,即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.16.解 (1)由题图可知,10(3a+0.01+0.015+0.032)=1,解得a=0.005,该村村民成绩的平均数约为(35+45+95)0.05+(55+65)0.3+750.15+850.
17、1=64.5.(2)从成绩在30,40),80,90)内的村民中用分层抽样的方法选取6人,其中成绩在30,40)的村民有60.050.05+0.1=2人,成绩在80,90)的村民有4人,从中任选3人,X的取值可能为1,2,3,P(X=1)=C22C41C63=15,P(X=2)=C21C42C63=35,P(X=3)=C20C43C63=15,则X的分布列为X123P15 35 15 故E(X)=115+235+315=2.17.解 (1)设批次1的血液试剂智能自动检测合格为事件A,人工抽检合格为事件B,由已知得P(A)=98100,P(AB)=1-120=1920,则工人在流水线进行人工抽检
18、时,P(B|A)=P(AB)P(A)=192010098=9598.(2)设100份血液样本中检测有效的份数为X.假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内容是客观真实的,那么在此假设下XB(100,0.8),E(X)=1000.8=80,D(X)=1000.8(1-0.8)=16.由切比雪夫不等式可知P(X60)P(|X-80|20)D(X)202=0.04.即在假设下,100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04,此概率很小,据此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信.18.解 (1)计算知y=5+12+16+19+215=735=14.6,所以d=i=15iyi-5 yi=1
19、5i2-5286-50.9614.66.2-50.962=10,c=yd 14.6-100.96=5,所以所求的经验回归方程为y=10ln x+5,当x=6时,y=10ln 6+523(万人),估计2024年该商场使用扫码支付的有23万人次.(2)选择方案一,由题意知付款金额为X元,则可能的取值为140,160,200,P(X=140)=C33C83=156,P(X=160)=C32C51C83=1556,P(X=200)=1-1561556=57,故X的分布列为X140160200P156 1556 57 所以E(X)=140156+1601556+20057=2 63514=188314(
20、元).选择方案二,记需支付的金额为Y元,则Y的可能取值为160,180,190,则其对应的概率分别为18,38,12,所以E(Y)=16018+18038+19012=18212,E(X)E(Y),故从概率角度看,小张选择方案二付款优惠力度更大.19.解 (1)设事件A:“第2次投篮的人是乙”, 则P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.50.4+0.50.8=0.6.(2)设第i次是甲投的概率为pi,则第i次是乙投的概率为1-pi,由题意可知p1=12,pi+1=pi0.6+(1-pi)0.2=0.2+0.4pi.则pi+1-13=25pi+1513=25(pi-13),故数列pi-13为公比为25的等比数列.故pi-13=(p1-13)25i-1=1625i-1,得到pi=13+1625i-1,iN*.(3)由(2)知,设随机变量Xi可取0,1,i=1,2,n,P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,则Xi服从两点分布.由题可知,当n1时,E(Y)=i=1npi=16i=1n25i-1+n3=5181-25n+n3,nN*.综上所述,可知E(Y)=i=1npi=5181-25n+n3,nN
