1、压轴题突破练41(2023青岛模拟)甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得1分假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，.(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及均值E(X)；(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，PnaPn1bPn2cPn3(n4)，求a，b，c；并证明：答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大解(1)由题可知，X的取值为1,0,1，P(X1)；P(X0)；P(X1).故X的分布列如下：X
2、101P(X)则E(X)101.(2)由题可知，P11，P21，P313，P4134.连续答题n轮，没有出现连续三轮每轮得1分时，记第n轮没有得1分的概率为Pn1，则Pn1Pn1；记第n轮得1分，且第n1轮没有得1分的概率为Pn2，则Pn2Pn2；记第n轮得1分，且第n1轮得1分，第n2轮没有得1分的概率为Pn3，则Pn3Pn3；故PnPn1Pn2Pn3Pn1Pn2Pn3(n4)，故a，b，c；因为PnPn1Pn2Pn3，故Pn1PnPn1Pn2，故Pn1PnPnPn1Pn2Pn1Pn2Pn30；故Pn1P3P4，则P1P2P3P4P5，所以答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1
3、分”的概率越大2(2023广州模拟)已知函数f(x)ex1axa(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x0时，f(x1)ln(x1)1，求实数a的取值范围解(1)由题知，f(x)ex1axa，定义域为R，f(x)ex1a.当a0时，f(x)0在R上恒成立，故f(x)在R上是增函数；当a0时，令f(x)0得xln(a)1，在区间(，ln(a)1)上有f(x)0，f(x)在(，ln(a)1)上单调递减，在(ln(a)1，)上单调递增综上，当a0时，f(x)在R上单调递增，当a0时，f(x)在(，ln(a)1)上单调递减，在(ln(a)1，)上单调递增(2)当x0时，f(x1)ln(x1)1
4、，即exaxln(x1)10.(*)令g(x)exaxln(x1)1(x0)，则g(x)exa(x0)若a2，由(1)知，当a1时，f(x)ex1x1在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故有f(x)f(1)e11111，即f(x)ex1x11，得ex1x11，故有ex1x.g(x)exa(x1)a2a2a0，当且仅当x1，即x0，且a2时取等号函数g(x)在区间0，)上单调递增，g(x)g(0)0，(*)式成立若a2，令(x)exa，则(x)ex0，当且仅当x0时等号成立函数(x)在区间0，)上单调递增(0)2a0，x0(0，a)，使得(x0)0，则当0xx0时，(x)(x0)0，即g(x)0.函数g(x)在区间(0，x0)上单调递减，g(x0)g(0)0，即(*)式不恒成立综上所述，实数a的取值范围是2，)
