1、 惠州市惠州市 20182018- -20192019 学年第一学期期末考试学年第一学期期末考试 高二数学（理科）试题高二数学（理科）试题 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题 卡上。卡上。 2 2作答选择题时，选出每个小题答案后，用作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。如需改动，用橡皮擦干净后，再
2、选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试 卷上无效。卷上无效。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. . 1.命题“若，则”的否命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】 根据命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q” 【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则” 故选：B 【点睛】本题考查了命题与它的否
3、命题的应用问题，是基础题 2.若是函数的导函数，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1 或 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出函数的导函数，然后求出函数值即可 【详解】， . 故选 C 【点睛】本题考查导函数的求法，解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式和求导法则， 属于简单题 3.设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 或 是的充分不必要条件 故选 A 4.已知向量，若，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量垂直的等价条件
4、得到数量积为 0，从而得到关于 的方程，解方程可得所求结果 【详解】 ， ， ， 解得. 故选 D 【点睛】本题考查空间向量垂直的等价条件及向量数量积的运算，考查转化和计算能力，属 于基础题 5.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为 1,2,3，则输出的=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 当n=1 时,满足进行循环的条件,执行循环体后：； 当n=2 时,满足进行循环的条件,执行循环体后：； 当n=3 时,满足进行循环的条件,执行循环体后：； 当n=4 时，不满足进行循环的条件， 故输出的M值为：. 本题选择 D 选项. 点睛：点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
5、(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构 (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题 (3)按照题目的要求完成解答并验证 6.某班有 50 名学生，男女人数不相等。随机询问了该班 5 名男生和 5 名女生的某次数学测试 成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法一定正确的是（ ） A. 这 5 名男生成绩的标准差大于这 5 名女生成绩的标准差。 B. 这 5 名男生成绩的中位数大于这 5 名女生成绩的中位数。 C. 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数。 D. 这种抽样方法是一种分层抽样。 【答案】A 【解析】 【分析】 根据茎叶图的分别情况分别判断即可 【详解】5
6、名男生成绩的平均数为：， 5 名女生成绩的平均数为：， 这 5 名男生成绩的方差为 ，女生的方差为，男生方差 大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以 A 对； 这 5 名男生成绩的中位数是 90， 5 名女生成绩的中位数 93，所以 B 错； 该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所 以 C 错； 若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以 D 错。 故选：A 【点睛】本题考查了茎叶图问题，平均数，中位数问题，是一道常规题 7.已知，且，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】
7、 根据基本不等式求解即可得到所求最大值 【详解】由题意得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是 故选 C 【点睛】 运用基本不等式解题时， 既要掌握公式的正用， 也要注意公式的逆用， 例如 逆用就是；逆用就是等当应用不等式的条件不 满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解 题时要特别注意等号成立的条件 8.抛掷 2 枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先列举得到满足题意得所有情况，然后再根据古典概型求解即可得到所求概率 【详解】抛掷两枚骰子，向上点数共出现 36 中情况，
8、其中向上点数之差的绝对值为 3 的情况 有： （1,4） ， （4,1） ， （2,5） （5,2） ， （3,6） （6,3） ，共 6 种， 故所求概率为 故选 C 【点睛】本题考查古典概型概率的求法，解题的关键是正确得到基本事件总数和所求概率的 事件包含的基本事件的个数，其中常用的方法是列举法，列举时要完整、不要遗漏任何情况， 属于基础题 9.设满足约束条件，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 作出x,y满足的区域如图(阴影部分),由目标函数对应直线的斜率与边界直线斜率的关系知目 标函数在点(1,1)处取得最大值 4. 故选 B 点睛：线性规划的
9、实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无 误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行 比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 10.点 是双曲线上一点，是双曲线的左， 右焦点， 则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 不妨设 P 点在右支，则由双曲线的定义有，又，所以 ，又由，所以 ，所以，则 双曲线的离心率，选 C. 点睛：本题主要考查了双曲线的几何性质，涉及勾股定理的应用等，注意利用双曲线的定义 求出 的值是关键。 11.若正三棱柱的所有棱长都相等
10、，D是的中点，则直线AD与平面所成 角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后求出直线的方向向量和平面的法向量，借助向量 的运算求出线面角的正弦值 【详解】取AC的中点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设三棱柱的棱长为 2，则， 设为平面的一个法向量， 由故 令，得 设直线AD与平面所成角为 ， 则， 所以直线AD与平面所成角的正弦值为 故选 A 【点睛】空间向量的引入为解决立体几何问题提供了较好的方法，解题时首先要建立适当的 坐标系，得到相关点的坐标后借助向量的运算，将空间图形的位置关系或数量关系转化为向 量的
11、运算处理在解决空间角的问题时，首先求出向量夹角的余弦值，然后再转化为所求的 空间角解题时要注意向量的夹角和空间角之间的联系和区别，避免出现错误 12.已知，使成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得方程有解，进而转化为函数和函数的图象有公共 点，利用换元法求出函数的值域即为所求的范围 【详解】，使成立， 方程， 函数和函数的图象有公共点 令， 则， 函数的值域为， 实数 的取值范围是 故选 A 【点睛】解答本题的关键在于将问题进行转化，即转化为两函数的图象有公共点的问题处理， 并进一步转化为求函数的值域的问题求解，考查理解和转化能力，属于基
12、础题 二填空题二填空题. . 13.利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 ，则使关于 的一元二次方程无实根的 概率为_ 【答案】 【解析】 方程无实根，14a0，即所求概率为 .故填： 14.从编号为的件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的一组样本，若 编号为的产品在样本中，则该组样本中产品的最小编号为_ 【答案】10 【解析】 样本间隔为 805=16，42=162+10，该样本中产品的最小编号为 10,故填 10. 15.已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作 轴的垂线交抛物 线于M，N两点，给出下列三个结论： 必为直角三角形； 直线必与抛物线相切； 的面积为其中正
13、确的结论是_ 【答案】 【解析】 【分析】 对于，验证是否成立即可得到结论是否正确；对于，求出直线PM的方程后与 抛物线方程联立消去 得到关于 的二次方程， 根据判别式的符号进行验证即可得到结论是否正 确；对于，根据三角形的面积公式求出的面积后进行验证即可 【详解】对于：由题意得抛物线的焦点为 过F作 轴的垂线交抛物线于M，N两点，则， F为MN的中点，且 为等腰直角三角形，故正确； 对于：直线PM的方程为， 由消去 整理得 直线PM与抛物线相切，故正确； 对于：由题意得，故正确 综上可得正确结论的序号为 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，求解的关键是借助于代数
14、运算 进行求解，考查转化和计算能力以及运用知识解决问题的能力，属于基础题 16.已知点，圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于 点P，则P点的轨迹方程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 画出图形，结合圆的切线长定理和双曲线的定义进行分析，可得，结合双 曲线的定义可得点P的轨迹为双曲线的右支，然后再根据待定系数法可求得曲线方程 【详解】如图，设直线与圆C分别切于点， 由切线长定理得|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，|PA|=|PD|， 所以， 所以点P的轨迹为以为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支（且去掉右顶点） 设双曲线的方程为， 则， 故， 所以点P的轨迹方程
15、为 故答案为： 【点睛】本题考查用定义法求曲线的方程，考查分析问题和解决问题的能力，解题时要注意 对几何图形的分析，在得到曲线的形状后再利用待定系数法求解解答本题容易出现的错误 是忽视题意及双曲线定义中的绝对值，而误认为是整条双曲线 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.点在抛物线上，且A，B为 上两点，A与B的横坐标之和为 4 （1）求抛物线 的方程； （2）求直线AB的斜率。 【答案】 （1）（2）1 【解析】 【分析】 （1）通过点（4，4）在抛物线上，求出p即可得到抛物线C的方程； （2）设，且x1+x24，转化求解
16、直线的斜率即可 【详解】 （1）因为点（4,4）在抛物线上，代入得：， 所以抛物线 的方程为 （2）设，且， 则 =，故直线AB的斜率为 1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能 力 18.2019 年 4 月 23 日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽 取了 100 名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组： 第一组0,5), 第二组5,10)，第三组10,15)，第四组15,20)，第五组20,25，绘制了频 率分布直方图如下图所示。已知第三组的频数是第五组频数的 3 倍。 （1）求
17、的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值； （2）现从第三、四、五这 3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人参加校“中华诗词比赛”。经过 比赛后，从这 6 人中随机挑选 2 人组成该校代表队，求这 2 人来自不同组别的概率。 【答案】 （1）a=0.06，平均值为 12.25 小时 （2） 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该 样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值； （2）从第 3、4、5 组抽取的人数分别为 3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，利用列举法能求 出从该 6 人中选拔
18、 2 人，从而得到这 2 人来自不同组别的概率 【详解】 （1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为 ， 第三组的频率为 该样本数据的平均数 所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为小时。 （2）易得从第 3、4、5 组抽取的人数分别为 3、2、1， 设为，则从该 6 人中选拔 2 人的基本事件有： 共 15 种， 其中来自不同的组别的基本事件有： ， 共 11 种， 这 2 人来自不同组别的概率为. 【点睛】本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、频率分布直方图等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 19.已知函数 （1）当时，求函数在点处的切线方程； (2)若存在与直线平
19、行的切线，求 的取值范围。 【答案】(1) ；(2) 。 【解析】 【分析】 （1）由题意得到函数的解析式，利用导数的几何意义求出切线的斜率后可得切线方程； （2） 因为， 故由题意可得有解， 即函数与函数的图象有公共点， 结合函数的值域可得所求范围，但要去掉直线与曲线相切时的情形 【详解】 （1）当时， ， ， 又， 所求切线方程为：， 即. （2）由题意可得函数定义域为， , . 函数存在与平行的切线， 方程有解，即有解， 即函数与函数的图象有公共点 ， ，解得 当直线与函数的图象相切时，设切点为， 则有，解得， 此时，不符合题意 故综上所述且 实数 的取值范围是 【点睛】 （1）运用导数
20、的几何意义解题时要注意“在点 P 处的切线”和“过点 P 的切线”两 种说法的区别 （2）解答第二问时容易出现的问题是忽视直线与函数的图象相切的情形，解 题时要考虑全面，避免因考虑不全而导致的错误 20.某市 2011 年至 2017 年新开楼盘的平均销售价格(单位：千元/平方米)的统计数据如下表： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 销售价格 3 3.4 3.7 4.5 4.9 5.3 6 （1）求 关于 x 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2011 年至 2017 年该市新开楼盘平均销售价格
21、的变化情 况，并预测该市 2019 年新开楼盘的平均销售价格。 附：参考公式： ，其中为样本平均值。 参考数据： 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用公式求出 ， ，即可得出结论； （2）利用（1）的线性回归方程，代入x9 即可 【详解】 （1）由题意知：， ， 所以 所以线性回归方程为： （2）由（1）得到，所以 2011 年至 2017 年该市新开楼盘平均销售价格的变化是逐 年增加的，平均每年每平方增加 0.5 千元。 将代入线性回归方程得到： 故预测该市 2019 年新开楼盘的平均销售价格为 6.9 千元/平方米. 【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回
22、归直线方程的步骤：依据样本数据画 出散点图， 确定两个变量具有线性相关关系； 计算的值； 计算回归系数； 写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回 归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 21.如图， 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=， （1）求证：CF平面BDE； （2）求二面角A-BE-D的大小。 【答案】(1)见证明；(2) （或） 【解析】 【分析】 （1） 连接FG， 可证得四边形CEFG为菱形， 故得.再根据平面ABCD平面ACEF得到 平面 ACEF，从而由线面垂直的判定定理可得结论成立 （2）
23、建立空间直角坐标系， 求出平面 BDE 和平面 ABE 的法向量，求出两向量的夹角的余弦值并结合图形可得所求角的大 小 【详解】 （1）连接 FG， ， 四边形 CEFG 为菱形, . ABCD 为正方形， ， 又平面 ABCD平面 ACEF，平面 ABCD平面 ACEF=AC，BD平面 ABCD 平面 ACEF， CF平面 ACEF， 又，BD平面 BDE, BG平面 BDE， 平面 BDE （1）正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，且 CEAC， CE平面 ABCD， 以 C 为原点，CB 为 轴，CD 为 轴，CE 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，
24、由（1）可得是平面 BDE 的一个法向量 设平面 ABE 的一个法向量为 由，得， 令，得， ， 由图形可得二面角A-BE-D为锐角， 二面角 A-BE-D 的大小为 （或） 【点睛】利用向量求空间角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用解 题时要注意以下两点：一是建立坐标系时要明确指出坐标原点和坐标轴，否则会出现建系不 规范的错误二是将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化 22.已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两 条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M） （1）求证：直线AB的斜率为定值； （2）求面积的最大值。 【答案】
25、（1）见解析； （2）。 【解析】 【分析】 （1）先求出点，结合题意设直线 MA 的方程为，解方程组得到 ，同理得到，进而得到，为定值 （2）由（1）可 设直线 AB 的方程为，与椭圆方程联立得到关于 的方程，结合判别式可得 再由（1）可得点到直线 AB 的距离为， 进而求得的面积，最后结合基本不等式可得所求 【详解】 （1）证明：由，解得 过M作的两条直线斜率都存在，不防设直线 MA 的斜率为 ，且， 则直线 MA 的方程为， 由消去 ， ， 同理得直线 MB 的方程为，可得 ，为定值 （2）解：由（1）设直线 AB 的方程为， 由消去 整理得， 直线 AB 与椭圆交于两点， ， 解得 又点到直线 AB 的距离为， = 设的面积为S， 则， 当且仅当，即时等号成立 面积的最大值为 【点睛】 （1） 求定值问题的常用方法： 从特殊入手， 求出定值， 再证明这个值与变量无关 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 （2）求最值或范围的基本思路 先建立目标函数，再求这个函数的最值，解题时常从以下几个方面考虑： 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取 值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围
