1、 20182018- -20192019 学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷 一、选择题。一、选择题。 1.设U=R，A=-2，-1，0，1，2，B=x|x1，则 AUB=（ ） A B. 0， C. D. 0， 【答案】C 【解析】 因，所以，故选 C 2.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 要使函数有意义，需使，即，所以 故选 C 3.使函数f（x）=2 x-x2有零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意先判断函数 f（x）=2x-x2在其定义域上连续，再求函数值，从而确定零
2、点所在的区间 【详解】函数 f（x）=2x-x2在其定义域上连续， f（0）=10，f（-1）= -10； 故 f（0）f（-1）0； 故选：C 【点睛】本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题 4.已知x=ln3，y=log50.3，z=e ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 【详解】x=ln3lne=1， y=log50.3log51=0， e0=1， yzx 故选：D 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 5.已知函数f（x）=ln（x+）若
3、实数a，b满足f（a）+f（b-2）=0，则a+b=（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 略 6.已知函数f（x）为R上的减函数，则满足f（| |）f（1）的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 f（x）为 R 上的减函数，即可由 f（| |）f（1）得出| |，解该不等式即可 【详解】f（x）为 R 上的减函数； 由 f（| |）f（1）得出| |； 解得-1x1，且 x0； 实数 x 的取值范围为（-1，0）（0，1） 故选：A 【点睛】本题考查减函数的定义，根据减函数定义解不等式的方法，以及绝对值不等式的解法 7.
4、已知 0a1，函数y=a x与 y=loga（-x）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数 y=ax与 y=logax 互为反函数， y=loga（-x）与 y=logax 的图象关于 y 轴对称， 以及函数的 单调性即可得出 【详解】函数 y=ax与 y=logax 互为反函数，其图象关于直线 y=x 对称， y=loga（-x）与 y=logax 的图象关于 y 轴对称， 又 0a1，根据函数的单调性即可得出 故选：D 【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性、轴对称的性质，属于基础题 8.已知函数f（x）是奇函数，且当x0 时，f（x）=5
5、-x-1，则 f（log499log57）的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简 log499log57 ，根据 f（x）为奇函数即可求出其值.； 【详解】log499log57= 又 x0 时，f（x）=5-x-1，且 f（x）为奇函数； f（log499log57）=f()=-f()=-=-2 故选：B 【点睛】本题考查奇函数的定义，对数式的运算，以及对数的换底公式，指数与对数的互化 二、填空题二、填空题. . 9.已知m=2，n=3，则 3的值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先利用有理指数幂运算法则化简，再代值 【详解】m=2，n=3，则原式= =
6、mn-3=2 3-3=， 故答案为： 【点睛】本题考查了有理指数幂及根式属基础题 10.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m). 【答案】20 【解析】 试题分析：设矩形高为 ，由三角形相似得且， 所以，仅当时，矩形的面积取最大值，所以其边长为 . 考点：基本不等式的应用. 【此处有视频，请去附件查看】 11.幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+）递减，则整数m=_ 【答案】1 或 2 【解析】 【分析】 由幂函数的的图象关于 y 轴对称，可得出它的幂指数为偶数，又它在（0，+）递 减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数小于零即
7、可求出参数 m 的值 【详解】幂函数的的图象关于 y 轴对称，且在（0，+）递减， m2-3m0，m2-3m 是偶数 由 m2-3m0 得 0m3，又由题设 m 是整数，故 m 的值可能为 1 或 2 验证知 m=1，2 都能保证 m2-3m 是偶数 故 m=1，2 即所求 故答案为 1 或 2 【点睛】本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性 质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向 12.设，则实数a的取值范围是_ 【答案】 【解析】 13.函数f（x）=lg（x 2-3x-10）的单调递增区间是_ 【答案】 （5，+） 【解析】 【分析】 确定函数
8、的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论 【详解】由 x2-3x-100 可得 x-2 或 x5， u=x2-3x-10 在（5，+）单调递增，而 y=lgu 是增函数 由复合函数的同增异减的法则可得，函数 f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是（5，+） 故答案为： （5，+） 【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题 14.已知函数f（x）=，xR，则f（x 2-3x）f（3-x）的解集是_ 【答案】 （0，3） 【解析】 【分析】 原函数变成 f（x）=，从而可得出 f（x）在（-，0）上单调递增，且 x0 时，f（x）1，从而根据 f（x2
9、-3x）f（3-x）可得出，解出 x 的范围即可 【详解】f（x）=； f（x）在（-，0）上单调递增，且 x0 时，f（x）1； 由 f（x2-3x）f（3-x）得：； 解得 0 x3； 解集为（0，3） 故答案为： （0，3） 【点睛】本题考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，增函数的定义，以及一元二次不等式 的解法 三解答题三解答题, , 15.已知不等式ax 2-5x+b0 的解是-3x2，设 A=x|bx 2-5x+a0，B=x| （1）求a，b的值； （2）求AB和A（UB） 【答案】 （1）a=-5，b=30 （2）， 【解析】 【分析】 （1）据题意可知，-3，2 是方程 a
10、x2-5x+b=0 的两实数根，由韦达定理即可求出 a=-5，b=30； （2）根据上面求得的 a，b，得出 A=x|30 x2-5x-50，通过解不等式得出集合 A，B，然后进行 交集、并集和补集的运算即可 【详解】 （1）根据题意知，x=-3，2 是方程 ax2-5x+b=0 的两实数根； 由韦达定理得，； 解得 a=-5，b=30； （2）由上面，a=-5，b=30； A=x|30 x2-5x-50=，且； ，； 【点睛】本题考查韦达定理，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，以及交集、并集和补 集的运算 16.已知函数f（x）=x+ +a（aR） （1）当a=4，求函数f（x）在1，
11、5上的值域； （2）设g（x）=xf（x）-2x+1，若1，4是g（x）的一个单调区间且在该区间上g（x）0 恒成 立，求a的取值范围 【答案】 （1）f（x）在1，5上的值域为8，（2）实数a的取值范围是（0，+） 【解析】 【分析】 （1）利用导数研究函数的单调性，根据单调性得到函数的最值，根据最值写出值域； （2）结合二次函数的图象列式可得 【详解】 （1）a=4 时，f（x）=x+ +4，设 ， 则 ， ， x1-x20， ，即 ， 则 f（x1）-f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ，即在 上函数 f（x）单调递减，同理可证函数 f（x） 在单调递增。 则当 1x2 时， f（x
12、）递减；当 2x5 时， f（x）递增， x=2 时，f（x）min=f（2）=8； x=5 时，f（x）max=f（5）= ， f（x）在1，5上的值域为8， （2）g（x）=x2+（a-2）x+1+a，其对称轴为 x=1- ， 依题意得：或 解得：a0 所以实数 a 的取值范围是（0，+） 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，考查二次函数的图像和性质，考查数形 结合思想属中档题 17.定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，yR都有f（x+y）=f（x）+f（y） (1)求f（0）的值； (2)求证f（x）为奇函数； (3)若f（k2 x）+f（4x+1-8x-2x）0 对任
13、意 x-1，2恒成立，求实数k的取值范围 【答案】 （1）f（0）=0（2）见证明； （3）k1 【解析】 【分析】 （1）赋值法可解决此问题，令 x=y=0 即可； （2）利用奇偶性的定义可证明，令 y=-x 可解出； （3） 问题转化为 k2x+4x+1-8x-2x0 对任意 x-1，2恒成立，根据恒成立问题转化为最值问题可解决 【详解】根据题意得， （1）令 x=y=0，得 f（0+0）=f（0）+f（0） f（0）=0 （2）令 y=-x，得 f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0 f（-x）=-f（x） f（x）为奇函数； （3）由题知：f（k2x+4x+1-8x-2x）0
14、=f（0） 又 y=f（x）是定义在 R上的增函数， k2x+4x+1-8x-2x0 对任意 x-1，2恒成立， k2x2x+8x-4x+1 k1+22x-2x+2 令 2x=t，t ，4，则 f（t）=1+t2-4t kf（t）max 当 t=2 时，f（t）max=f（2）=1+4-8=-3 k-3 【点睛】本题考查抽象函数的性质，其中函数的恒成立问题可转化为最值问题来解决 18.已知f（x）=log4（4 x+1）+kx 是偶函数 （1）求k的值； （2）判断函数y=f（x）-x在R上的单调性，并加以证明； （3）设g（x）=log4（a2 x- a） ，若函数f（x）与g（x）的图象有
15、且仅有一个交点，求实数a的 取值范围 【答案】 （1）k=- (2)见证明；(3) （1，+）-3 【解析】 【分析】 （1）由偶函数的定义可得 f（-x）=f（x） ，结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值； （2）函数 h（x）=f（x）- x=log4（4x+1）-x 在 R 上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调 性，即可证明； （3）由题意可得 log4（4x+1）- x=log4（a2x- a）有且只有一个实根，可化为 2x+2-x=a2x- a，即 有 a=，化为 a-1= ，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围 【详解】 （1）f（x）=log4（4x+1）+kx
16、 是偶函数， 可得 f（-x）=f（x） ，即 log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx， 即有 log4=2kx，可得，即 由 xR，可得； （2）函数 h（x）=f（x）- x=log4（4x+1）-x 在 R上递减， 理由：设 x1x2，则 h（x1）-h（x2）=log4（4x1+1）-x1-log4（4x2+1）+x2 =log4（4-x1+1）-log4（4-x2+1） ， 由 x1x2，可得-x1-x2，可得 log4（4-x1+1）log4（4-x2+1） ， 则 h（x1）h（x2） ，即 y=f（x）- x 在 R 上递减； （3）g（x）=log4（a2x
17、- a） ，若函数 f（x）与 g（x）的图象有且仅有一个交点， 即为 log4（4x+1）- x=log4（a2x- a）有且只有一个实根， 可化为 2x+2-x=a2x- a， 即有 a=，化a-1= ， 可令 t=1+ 2x（t1） ，则 2x=， 则 a-1= ， 由 9t+-34（1， ）递减， （ ，+）递增， 可得 9t+-34 的最小值为 2 -34=-4， 当 a-1=-4 时，即 a=-3 满足两图象只有一个交点； 当 t=1 时，9t+-34=0，可得 a-10 时，即 a1 时，两图象只有一个交点， 综上可得 a 的范围是（1，+）-3 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查对数的运算性质和函数方程的转化 思想，以及运算能力，属于中档题
