1、 1 2017 2018 学年度高二上学期期中考试 数 学 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5分，共 60分） 1已知集合 A x|0 x 3， B x|1 x 2， 则 A B ( ) A x|x0 B x|x2 C x|0 x 2 D x|1 x 3 2. ABC中，若 c= abba ? 22 ，则角 C的度数是 ( ) A.60 B.60或 120 C.120 D.45 3 在等差数列 na 中，已知 1 2 3 4 5 32 0 ,a a a a a a? ? ? ? ? ?那 么( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4 为了检查某超市货架 上的奶粉是否 含有三聚氰胺，要
2、从编号依次为 1到 50的袋装奶粉中抽取 5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5袋奶粉的编号可能是 ( ) A 5,10,15,20,25 B 2,4,8,16,32 C 1,2,3,4,5 D 7,17,27,37,47 5 已知直线,ab和平面?，下列推理 错误 的是（ ） Aa ?且b?Ba?且b ?a C 且 D?且 或?6直线l 将圆 x2 y2 2x 4y 0平分，且与直线 x 2y 0垂直，则直线 l 的方程是 ( ) A 2x y 0 B 2x y 2 0 C x 2y 3 0 D x 2y 3 0 7 已知向量 )1,3(),0,2( ? ?
3、baa ，则下列结论正确的是（ ） A. 2?ba B. ?ba/ C. ?ba D. )( ? ? bab 8 在等比数列 na 中，若前 10项的和 10 10S ? ，若前 20 项的和 20 30S ? ，则前 30项的和30S? ( ) A.60 B.70 C.80 D.90 9、如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三2 视图，则该几何体的表面积是 （ ） A. 72?B. 4?C. 5D. 92?10.程序框图如图： 如果上述程序运行的结果 S=1320，那么判断框中应填入（ ） A K10 B K?10 C K11 D K?11 11设 a log36，
4、b log510， c log714，则 ( ) A c b a B a b c C a c b D b c a 12曲线 y 1 4 x2与直线 y k(x 2) 4有两个交点，则实数 k的取值范围 ( ) A (0， 512) B (512， ) C (13， 34 D (512， 34 二、填空题（本大题共 4道小题，共 20分） 13.如图 ,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 .正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点 ,则此点取自黑色部分的概率是 14已知变量 x， y满足约束条件 ，则 z=x+2y的最大值是 15 若 21
5、mn?,其中 0mn? ,则 12mn? 的最小值为 . 16. 若函数 2 68y m x m x m? ? ? ?在 R上恒成立，则 m的取值范围 三、解答题（本大题共 6道小题，共 70分） 17.（ 10分）已知 ABC的三个内角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c，向量 )cos,(cos CBm ? ， ),2( bcan ? ，且 ?nm . (1)求角 B的大小； (2)若 b 3， ABC? 的周长为 32? ，求 ABC? 的面积 18 （ 12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得几何体的直观图，它的3 正视图和侧视图在下面已画出（单位： cm）。
6、 （ 1）在所给直观图中连结 BC1，证明 BC1平面 EFG； （ 2）按照给出的尺寸，求该几何体的体积 . 19.（ 12 分） 已知圆 O 的方程为 x2 y2 4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 O相切的直线 L的方程； (2)直线 L过点 P(1,2)，且与圆 O交于 A、 B两点，若 |AB| 2 3，求直线 L的方程； 2 6 4 （正视图） 2 2 4 （侧视图） A B C D E F G D1 C1 B1 4 20 12 分） 已知数列 an的前 n项和是 Sn，且 Sn 12an 1(n N*). (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn log13(1 Sn
7、1)(n N*)，令 Tn 1b1b2 1b2b3 1bnbn 1，求 Tn. 21、（本小题满分 12分） 从某学校高三年 级共 800 名 男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 155,160)；第二组 160,165)； ；第八组 190,195，上图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列 (1)估计这 所学校高三年级全体男生身高 180 cm 以上 (含 180 cm)的人数； (2) 若从身高属于第六组和第
8、八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为 x、 y，求满足 |x y| 5的事件概率 22 （ 12 分）已知二次函数()fx满足( 1) ( ) 2 1f x f x x? ? ? ?，且(0) 3?. （ 1）求 的解析式； 5 （ 2）若函数3 1(log ), , 33y f x m x? ? ?的最小值为3，求实数m的值； 6 期中考试参考答案 一、 选择题 1-5： CCADB 6-10： ADBCA 11-12： BD 10、 解析： 根据公式变形， lg 6 lg 21lg 3 lg 3a ? ? ?， lg10 lg 21lg 5 lg 5b ? ? ?， lg1
9、4 lg 21lg 7 lg 7c ? ? ?，因为 lg 7 lg 5 lg 3，所以 lg 2 lg 2 lg 2lg 7 lg 5 lg 3?，即 c b a.故选 B. 12、 如图所示，曲线 y 1 4 x2 变形为 x2 (y 1)2 4(y1) ， 直线 y k(x 2) 4过定点 (2,4)， 当直线 l与半圆相切时，有 | 2k 4 1|k2 1 2，解得 k512. 当直线 l过点 ( 2,1)时， k 34. 因此， k的取值范围是 512k 34.答案： D 二、 填空题 13、 8? 14、 9 15、 8 16、 01m? 三、 解答题 17、解 (1) m (co
10、s B， cos C)， n (2a c， b)，且 m n， (2a c)cos B bcosC 0， cos B(2sin A sin C) sin Bcos C 0， 2cos Bsin A cos Bsin C sin Bcos C 0. 即 2cos Bsin A sin(B C) sin A. A (0， )， sin A 0， cosB 12. 0 B， B 23 . (2)在 ABC? 中 ，周长为 32? ， 且 b 3 a c=2，在 ABC? 中 ，由余弦定理得 7 b2 a2 c2 2accos23 a2 c2 ac (a c)2 ac 1?ac 4323121s in
11、21 ? BacS ABC18、解： （ 1）证明：长方体 ABCD A1B1C1D1中， 连结 AD1，则 AD1 BC1。 因为 E、 G分别为 AA1、 A1D1的中点， 所以 AD1 EG，从而 EG BC1， 由 BC1? 平面 EFG， EG? 平面 EFG， 所以 BC1平面 EFG。 12分 （ 2） 所求几何体的体积 V=V 长方体 V 正三棱锥 = 2)2221(31644 ? = 3284 （ cm3） 6分 19、解 (1)显然直线 l 的斜率存在，设切线方程为 y 2 k(x 1)， 则由 |2 k|k2 1 2，得 k1 0， k2 43， 从而所求的切线方程为 y
12、 2和 4x 3y 10 0. (2)当直线 m 垂直于 x 轴时，此时直线方程为 x 1， m 与圆的两个交点坐标为 (1， 3)和(1， 3)，这两点的距离为 2 3，满足题意； 当直线 m不垂直于 x 轴时，设其方程为 y 2 k(x 1)，即 kx y k 2 0，设圆心到此直线的距离为 d(d 0)，则 2 3 2 4 d2，得 d 1， 7分从而 1 | k 2|k2 1 ，得 k 34， 此时直线方程为 3x 4y 5 0， 综上所述，所求直线 m 的方程为 3x 4y 5 0或 x 1. 20、解 (1)当 n 1时， a1 S1， 由 S1 12a1 1，得 a1 23， 当
13、 n 2时， Sn 1 12an， Sn 1 1 12an 1， 4分 8 则 Sn Sn 1 12(an 1 an)，即 an 12(an 1 an)， 所以 an 13an 1(n 2). 故数列 an是以 23为首项， 13为公比的等比数列 . 故 an 23 ? ?13n 1 2 ? ?13n(n N*). (2)因为 1 Sn 12an ? ?13n. 所以 bn log13(1 Sn 1) log13? ?13n 1 n 1， 因为 1bnbn 1 1（ n 1）（ n 2） 1n 1 1n 2， 所以 Tn 1b1b2 1b2b3 1bnbn 1 ? ?12 13 ? ?13 1
14、4 ? ?1n 1 1n 2 12 1n 2 n2（ 2n 2） . 21. 解 (1)由频率分布直方图知，前五组频率为 (0.008 0.016 0.04 0.04 0.06) 5 0.82， 后三组频率为 1 0.82 0.18， 人数为 0.18 50 9(人 )， 这所学校高三男生身高在 180 cm 以上 (含 180 cm)的人数为 800 0.18 144(人 ) (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008 5 0.04，人数为 0.04 50 2(人 )， 设第六组人数为 m，则第七组人数为 9 2 m 7 m，又 m 2 2(7 m)，所以 m 4， 即第六组人数为 4
15、 人，第七组人数为 3人，频率分别为 0.08,0.06. 身高在 180,185)内的人数为 4人，设为 a， b， c， d.身高在 190,195的人数为 2人，设为 A， B. 若 x， y 180,185)时，有 ab， ac， ad， bc， bd， cd共 6种情况 若 x， y 190,195时，有 AB共 1种情况 若 x， y分别在 180,185)， 190,195内时，有 aA， bA， cA， dA， aB， bB， cB， dB共 8种情况 所以基本事件的总数为 6 8 1 15(种 ) 事件 |x y| 5所包含的基本事件个数有 6 1 7(种 )，故 P(|x
16、y| 5) 715. 9 22、解： （ 1）设2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ?则( 1 ( )f x f x? 22( 1 ) ( 1 ) ( )a x b x c ax bx c? ? ? ? ? ? ? ?2ax a b? ? ?又( 1) ( ) 2 1f x f x x? ? ? ?，故2 2 1a b? ? ? ?恒成立， 则1aab? ? ?，得1, 2? ?又(0) 3fc?故()fx的解析式为2( ) 2 3f x x x? ? ?（ 2）令3logt x m?，1 ,33x?， 1, 1t m m? ? ?从而( ) 2 3 ( 1 ) 2y f t t t t? ? ? ? ? ? ?，,当11m?，即0?时，2m in ( 1) 2 3y f m m? ? ? ?， 解得1?或1m?（舍去） 当1 1 1mm? ? ? ?，即02m?时，min (1) 2yf，不合题意 当?，即2?时，2m in ( 1 ) 4 6 3y f m m m? ? ? ? ? ?， 解得3?或1（舍去） 综上得，1
