1、第 1 页 共 18 页 2019-2020 学年江西省新余市高一下学期期末考试数学（文）学年江西省新余市高一下学期期末考试数学（文） 试题试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 2 30Ax xx，ln2Bx yx，则，则AB （ ） A2, B 2,3 C3, D,2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】分析： 解不等式得集合 A,求函数定义域得集合 B，根据交集定义求解集合交集即可. 详解： 集合 2 30 |03Ax xxxx，ln22Bx yxx x， 所以 |232,3ABxx. 故选 B. 点睛： 本题主要考查了集合的描述法和集合交集的运算，属于基础题. 2若角若角的终边
2、过点的终边过点 2cos60 , 2sin45P，则，则sin（ ） A 3 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据题中条件，得到1,1P，再由三角函数的定义，即可得出结果. 【详解】 因为角的终边过点2cos60 , 2sin45P，可得1,1P， 所以 22 12 sin 2 11 . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查由终边上一点的坐标求三角函数值，属于基础题型. 3下列四个函数中，以下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间为最小正周期，且在区间( , ) 2 上为减函数的是（上为减函数的是（ ） 第 2 页 共 18 页 A sin2yx B2
3、|cos|yx C cos 2 x y D tan()yx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】A选项，函数在 3 , 24 上单调递减，在 3 , 4 上单调递增，故排除； B选项，函数在, 2 上单调递增，故排除； C选项，函数的周期是4，故排除； 故选D 4 张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第 2 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织 5 5 尺布，一月（按尺布，一月（按 3030 天计）共天计）共 织织 390390 尺布
4、，则从第尺布，则从第 2 2 天起每天比前一天多织（天起每天比前一天多织（ ）尺布）尺布. . A 16 31 B 16 29 C 1 2 D 8 15 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项 1 5a ,一月按 30 天计可得 30 390S,从第 2 天起每天比前一天多织的即为公差.又 30 30 29 30 5390 2 Sd ,解得 16 29 d .故本题选 B. 5D是是ABC的边的边 BC上的一点，且上的一点，且 1 3 BDBC，设，设AB a ，AC b ，则，则AD等等 于（于（ ） A 1 3 ab B 1 3 ba C
5、 1 2 3 ab D 1 21 3 b 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据平面向量的运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】 由向量的运算法则可得AD ABBD 11 33 ABBCABACAB 2121 3333 ABACab 第 3 页 共 18 页 1 2 3 ab 故选：C. 【点睛】 本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型. 6数列数列 n a的通项公式是的通项公式是 * 1 () (1) n an n n N ，若，若前前n项的和为项的和为10 11 ，则项数为，则项数为 （ ） ） A12 B11 C10 D9 【答案】【答案】C 【解析】
6、【解析】分析：由已知， 111 (1)1 n a n nnn ，利用裂项相消法求和后，令其等于 10 11 ，得到n所满足的等量关系式，求得结果. 详解： 111 (1)1 n a n nnn ()n N，数列 n a的前n项和 11111 (1)()() 2231 n S nn 1 1 11 n nn ， 当 10 11 n S 时，解得10n，故选 C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分 析，选择相应的求和方法-错位相减法，之后根据题的条件，建立关于 n的等量关 系式，从而求得结果. 7设变量设变量 , x y满足约束条件 满足约束条件 0 30
7、 210 xy x xy ，则，则z xy 的最大值为的最大值为( )( ) A2 2 B4 4 C6 6 D8 8 【答案】【答案】C 【解析【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的阴影部分， 第 4 页 共 18 页 因为z xy ， 所以y xz ， 所以当直线经过点 B(3，-3)时， 直线的纵截距z最小， z最大，此时 max 3( 3)6z ，故选 C. 8已知函数已知函数( )sin(2 ) 3 f xx ，( )sing xx，要得到函数，要得到函数( )yf x的图象，只需的图象，只需 将函数将函数( )yg x的图象上的所有点（的图象上的所有点（ ） A横坐标缩短为
8、原来的横坐标缩短为原来的 1 2 ，再向左平移，再向左平移 6 个单位得到个单位得到 B横坐标缩短为原来的横坐标缩短为原来的 1 2 ，再向右平移，再向右平移 6 个单位得到个单位得到 C横坐标伸长为原来的横坐标伸长为原来的 2 2 倍，再向左平移倍，再向左平移 6 个单位得到个单位得到 D横坐标伸长为原来的横坐标伸长为原来的 2 2 倍，再向右平移倍，再向右平移 6 个单位得到个单位得到 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意根据函数 sin()yAx 的图象变换规律，得出结论 【详解】 只需将函数 yg xsinx的图象上的所有点横坐标缩短为原来的 1 2 ，可得 2ysin x 的图
9、象； 再向右平移 6 个单位，即可得到2 3 ysinx 的图象， 故选 B 【点睛】 本题主要考查函数 sin()yAx 的图象变换规律，属于基础题 9设设 asin17 cos45 cos17 sin45 ， ，b2cos213 1，c 3 2 ，则有，则有( ) 第 5 页 共 18 页 Acab Bbca Cabc Dbac 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用两角和的正弦函数公式化简a,利用二倍角的余弦公式及诱导公式化简b, 再利用特殊角的三角函数值化简c ,根据正弦函数在0, 2 为增函数，甶角度的大 小，得到正弦值的大小,进而得到, a b及c的大小关系. 【详解】 化简得1
10、7 cos45cos1745174562asinsinsinsin， 2 2cos 131cos26cos 906464bsin ， 3 60 2 csin ，正弦函数在0, 2 为增函数， 606264sinsinsin ， 即cab，故选 A. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，两角和与差的正弦公式，诱导公式，以及特殊角的三 角函数，正弦函数的单调性，属于中档题. 比较大小主要有四种方法：（1）作差法； （2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法. 10函数函数 sin()(0yAx ，| 2 ，)xR的部分图象如图所示，则函数表的部分图象如图所示，则函数表 达式为（达式为（
11、 ） A4sin() 84 yx B4sin() 84 yx C4sin() 84 yx D4sin() 84 yx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据图像的最值求出A，由周期求出，可得4sin() 8 yx ，再代入特 殊点求出，化简即得所求. 【详解】 第 6 页 共 18 页 由图像知4A ，6( 2)8 2 T ， 2 16T ，解得 8 ， 因为函数4sin() 8 yx 过点(2, 4)，所以4sin(2)4 8 ， sin(2)1 8 ，即22() 82 kkZ ， 解得 3 2() 4 kkZ ，因为| 2 ，所以 5 4 ， 5 4sin()4sin() 8484 yx
12、x . 故选：A 【点睛】 本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 11已知已知，是函数是函数 1 sincos 3 f xxx在在0,2上的两个零点，则上的两个零点，则 cos 2 （ ） A 1 2 B 3 2 C 2 2 D0 【答案】【答案】C 【解析】【解析】令 0f x 得 1 sincos 3 xx，令 sincosg xxx，画出 g x的图像， 结合图像，得到 5 24 ，即可求出结果. 【详解】 令 0f x ，得 1 sincos 3 xx. 令 sincosg xxx，即 2sin 4 g xx ， 则，即为 g x与直线 1 3 y 在0
13、,2上交点的横坐标， 由图象可知， 5 24 . 第 7 页 共 18 页 2 cos 22 . 故选：C. 【点睛】 本题主要正弦型函数的对称性的应用，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 12 已知函数已知函数 sin3cos0 33 f xxx 在区间在区间 3 , 42 上单上单 调，且在区间调，且在区间0,2内恰好取得一次最大值内恰好取得一次最大值2，则，则的取值范围是（的取值范围是（ ） A 2 0, 3 B 1 2 , 4 3 C 3 0, 4 D 1 3 , 4 4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】化简函数 yf x的解析式为 2sinf xx，结合函数 yf x的单
14、调 性与最值可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】 sin3cos2sin2sin 3333 f xxxxx ， 由于函数 yf x在区间 3 , 42 上单调，当 3 , 42 x 时， 3 42 x ， 3 0, 42 ，且正弦函数 sinyx 在0 x附近单调递增， 所以，函数 yf x在 3 , 42 上单调递增，则 3 , 422 2 ， 第 8 页 共 18 页 所以， 3 42 22 0 ，解得 2 0 3 . 当0,2x时，02x， 由于函数 yf x在区间0,2内恰好取得一次最大值2， 所以， 5 2 22 ，解得 15 44 . 综上所述，实数的取值
15、范围是 1 2 , 4 3 . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用函数在区间上的单调性与最值求参数，考查分析问题和解决问题的能力， 属于中等题. 二、填空题二、填空题 13用用弧度制弧度制表示所有与表示所有与75终边相同的角的集合是终边相同的角的集合是_. . 【答案】【答案】 5 |2, 12 kkZ 【解析】【解析】根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解. 【详解】 5 75 12 ，与75终边相同的角的集合是 5 |2, 12 kkZ 。 故答案为： 5 |2, 12 kkZ 【点睛】 本题考查角单位互化、终边相同角的集合表示，属于基础题. 14若若1x ，则，则 1 1 x
16、 x 的最小值是的最小值是_ 【答案】【答案】3 第 9 页 共 18 页 【解析】【解析】由 1 1 x x 转化为均值不等式形式 1 11 1 x x ，由1x 即10 x 结合 均值不等式求最小值即可，注意均值不等式等号成立的条件 【详解】 1x ，即有10 x 而 111 112 (1)13 111 xxx xxx ，当且仅当2x时等号成立 当2x时， 1 1 x x 的最小值为 3 故答案为：3 【点睛】 本题考查了利用均值不等式求最值，注意利用均值不等式的前提条件：一正二定三相等 15将函数将函数 2sin 2 6 f xx 的图象向左平移的图象向左平移 12 个单位，再向上平移个
17、单位，再向上平移 1 个单位，个单位， 得到得到 g x的图象的图象.若若 12 9g x g x，且，且 12 ,2 ,2x x ，则，则 12 2xx的最大值为的最大值为 _. 【答案】【答案】 55 12 【解析】【解析】根据图象的平移得出函数 2sin 21 3 g xx ，再由已知得 12 3g xg x或 12 3g xg x .要使 12 2xx最大，则 1 2 3 x 最大， 2 2 3 x 最小.可求得 12 2xx取得的最大值. 【详解】 将函数 2sin 2 6 f xx 的图象向左平移 12 个单位，可得 2sin 2+2sin 2 1263 yxx 的图象， 再向上平
18、移 1个单位，得到 2sin 21 3 g xx 的图象.则 33g x ， 因为 12 ,2 ,2x x ，所以当 12 9g x g x，得 12 3g xg x或 第 10 页 共 18 页 12 3g xg x . 12 ,2 ,2x x ， 12 1113 2,2, 3333 xx ， 要使 12 2xx最大，则 1 2 3 x 最大， 2 2 3 x 最小. 则当 1 7 2 32 x 最大， 2 5 2 32 x 最小时，即 1 19 12 x ， 2 17 6 x 时， 12 2xx取得最大值为 55 12 . 故答案为： 55 12 . 【点睛】 本题考查三角函数的图象平移，
19、正弦型函数的最值，属于中档题. 16O为坐标原点，已知向量为坐标原点，已知向量1,5OA， 4,2OB ，6,8OC ， , x y为非负实 为非负实 数且数且01xy，CDxCAyCB，则，则OD的最小值为的最小值为_ 【答案】【答案】3 2 【解析】【解析】 根据题意得D表示的区域为ABC及内部的点， 进而得当ODAB时，OD 取得最小值，再计算即可得答案. 【详解】 1,5OA，4,2OB ，6,8OC ， 又 , x y为非负实数且0 1xy，CD xCAyCB， 所以D表示的区域为ABC及内部的点， 当ODAB时，OD取得最小值， 因为AB所在的直线方程为 52 511 1 4 yx
20、x ，即60 xy， 则OD取得最小值为 6 3 2 2 . 故答案为：3 2. 第 11 页 共 18 页 【点睛】 本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确D表示的区域，是 中档题. 三、解答题三、解答题 17已知已知 n a为等差数列，且为等差数列，且 3 6a ， 6 0a . . （1 1）求）求 n a的通项公式的通项公式； （2 2）若等比数列）若等比数列 n b满足满足 1 3b ， 245 baa，求，求 n b的前的前n项和公式项和公式 【答案】【答案】 （1）212 n an ； （2）3(21) n n S 【解析】【解析】 （1）将已知条件转化为 1
21、, a d的形式列方程组，解方程组求得 1, a d，进而求得 数列 n a的通项公式. （2）将已知条件转化为 1, b q的形式列方程组，解方程组求得 1, b q，进而求得数列 n b 的前n项和公式. 【详解】 （1）设等差数列 n a的公差为d. 因为 36 6,0aa， 所以 1 1 26 50 ad ad ，解得 1 10,2ad . 所以10(1) ( 2)212 n ann . （2）设等比数列 n b的公比为q. 因为 2451 6,3baab， 第 12 页 共 18 页 所以36q ，即2q =. 所以 n b的前n项和公式为 1(1 ) 3(21) 1 n n n b
22、q S q . 【点睛】 本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算， 考查等比数列通项和前n项和的基本 量计算，属于基础题. 18已知向量已知向量a、b的夹角为的夹角为 3 ，且，且1a ，3b . （1）求）求ab的值；的值； （2）求）求a与与ab的夹角的余弦的夹角的余弦. 【答案】【答案】 （1）13； （2） 5 13 26 . 【解析】【解析】 （1）先由题意求出a b ，再由向量模的计算公式，即可得出结果； （2）先由题意，求出baa ，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】 （1）向量a、b的夹角为 3 ，且1a ，3b ，所以 3 1 3 cos 32 a b ， 22
23、23 21 2913 2 ababaa bb ； （2）由题意， 235 1 22 aabaa b ， 5 5 13 2 cos, 26113 aab a ab a ab . 【点睛】 本题主要考查求向量的模，考查求向量的夹角，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式 即可，属于基础题型. 19已知已知 tancos 2sin 2 cos f （1）化简）化简 f； 第 13 页 共 18 页 （2）若）若 4 5 f，且，且是第二象限角，求是第二象限角，求cos 2 4 的值的值 【答案】【答案】（1） 4 ( )sin 5 f;（2）17 2 50 . 【解析】【解析】试题分析：(1)运用诱导公
24、式,同角三角函数的基本关系式,即可化简; (2)运用二倍角的正弦和余弦公式和两角和的余弦公式,即可得到. 试题解析： （1） tancoscos sin cos f （2） 4 sin 5 f 又为第二象限角， 3 cos 5 ， 24 sin22sin cos 25 ， 22 7 cos2cossin 25 7224217 2 cos 2cos2 cossin2 sin 44425225250 20已知函数已知函数 2cos0 6 f xx 的最小正周期的最小正周期为为 . （1）求）求 f x的单调增区间和对称轴；的单调增区间和对称轴； （2）若）若, 6 3 x ，求，求 f x的最大值
25、和最小值的最大值和最小值. 【答案】【答案】 （1） 7 , 1212 kkk Z， 122 k xk Z； （2） max2f x， min3f x . 【解析】【解析】 （1）利用函数的最小正周期求出 f x，利用余弦函数的单调增区间和对称轴 求出答案； （2）利用, 6 3 x ，求出 5 2, 666 x ，可得 f x的最大值和最小值 【详解】 （1）由题意知 2 T ，解得2， 所以 2cos 2 6 f xx ， 第 14 页 共 18 页 令222 6 kxkk Z， 解得 7 1212 kxkk Z， 故函数的单调递增区间为 7 , 1212 kkk Z. 令2 6 xkk
26、Z， 解得, 122 k xk Z， 所以 f x的对称轴为 122 k xk Z. （2）, 63 x ，则 5 2, 666 x ， 当20 6 x 时， max2f x. 当 5 2 66 x 时， min3f x ， 所以, 6 3 x 时， max2f x， min3f x . 【点睛】 本题考查三角函数的性质，考查余弦函数的单调性和最值，考查对称中心的求法，属于 中档题 21已知已知 0, 3 x ，设向量，设向量sin ,cosmxx， 3 1 , 22 n . （1）若）若/mn，求，求 x的值；的值； （2）若）若 3 5 m n，求，求sin 12 x 的值的值. 【答案】
27、【答案】 （1） 3 ； （2） 2 10 . 【解析】【解析】 （1）根据向量共线的坐标表示，得到 13 sincos 22 xx，求解，即可得出 结果； 第 15 页 共 18 页 （2）根据向量的数量积，得到 313 sincos 225 xx，整理，得到 3 sin 65 x ， 根据题中条件求出 4 cos 65 x ，再由sinsin 1264 xx ，由两角差 的正弦公式，即可得出结果. 【详解】 （1）/mn， 13 sincos 22 xx，即tan3x . 又0, 3 x ， 3 x . （2） 3 5 m n， 313 sincos 225 xx，即 3 sin 65 x
28、 . 又0, 3 x ，故, 66 2 x ， 2 2 34 665 c 5 os1 sin1xx . 所以sinsinsincoscossin 12646464 xxxx 32422 525210 . 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换的化简求值，涉及平面向量共线和数量积的坐标表示，属于 常考题型. 22已知已知 0 x， 0 2 x 是函数是函数 22 cossin0 6 f xxx 的两个相邻的零的两个相邻的零 点点. （1）求）求 12 f 的值；的值； 第 16 页 共 18 页 （2）若对任意）若对任意 7 ,0 12 x ，都有，都有 0f xm，求实数，求实数m的取值范围的取值
29、范围. （3）若关于）若关于x的方程的方程 4 3 1 3 f xm在在 0, 2 x 上有两个不同的解，求实数上有两个不同的解，求实数m的的 取值范围取值范围. 【答案】【答案】 （1） 3 2 ； （2） 3 , 4 ； （3）31,1 . 【解析】【解析】 （1）先将函数解析式整理，得到 3 sin 2 23 f xx ，再由题中条件， 得到周期，求出1，得到 3 sin 2 23 f xx ，进而可求出结果； （2）先由 7 ,0 12 x ，得到 5 2 633 x ，由正弦函数的性质求出最大值， 即可得出结果； （3）先将原方程化为2sin 21,0 32 xmx ，结合图像，得到
30、 312m ，求解即可得出结果. 【详解】 （1）因为 22 1 cos 2 1 cos23 cossin 622 x x f xxx 1113 cos 2cos2cos2sin2cos2 23222 xxxxx 133313 sin2cos2sin2cos2 222222 xxxx 3 sin 2 23 x . 由题意可知， f x的最小正周期T， 2 2 ， 又0，1， 第 17 页 共 18 页 3 sin 2 23 f xx ， 333 sin 2sin 122123222 f ； （2）由 0f xm得， f xm， maxmf x， 7 0 12 x ， 5 2 633 x ， 3
31、 1sin 2 32 x ， 333 sin 2 2234 x ，即 max 3 4 f x， 3 4 m 所以 3 , 4 m ； （3）原方程可化为 4 33 sin 21 323 xm ， 即2sin 21,0 32 xmx ， 令2sin 2 3 yx ，0 2 x ， 则 4 2 333 x ，所以 3 sin 2,1 32 x ， 则2sin 23,2 3 yx ， 当0 x时，2sin3 3 y ， 画出函数2sin 2 3 yx 在0 2 x 的大致图像如下， 第 18 页 共 18 页 由图像可得，要使方程在0, 2 x 上有两个不同的解， 只需312m ，即3 11m ， 所以31,1m . 【点睛】 本题主要考查求三角函数值，考查求正弦型三角函数的最值，熟记正弦函数的图像和性 质即可，属于常考题型.
