1、第 1 页 共 14 页 2019-2020学年山东省日照市五莲县高一学年山东省日照市五莲县高一3月自主检测数学试月自主检测数学试 题题 一、单选题一、单选题 1300化为弧度是（化为弧度是（ ） A 4 3 B 5 3 C 2 3 D 5 6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 3005 3002 3603 2为了得到函数为了得到函数 ysin 2 3 x 的图象，只需把函数的图象，只需把函数 ysin 2 6 x 的图象的图象( ) A向左平移向左平移 4 个单位长度个单位长度 B向右平移向右平移 4 个单位长度个单位长度 C向左平移向左平移 2 个单位长度个单位长度 D向右平移向右平移
2、 2 个单位长度个单位长度 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 注意到把ysin 2 6 x 的图象向右平移 4 个单位长度得到ysin 2(x 4 ) 6 sin 2 3 x 的图象，故选 B. 3函数函数 2 sin cos3cos3yxxx的图象的一个对称中心是（的图象的一个对称中心是（ ） A 23 (,) 32 B 53 (,) 62 C 23 (,) 32 D( ,3) 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 2 sin cos3cos3yxxx= 13133 sin2(cos21)3sin2cos2 22222 xxxx = 3 sin(2) 32 x ，把 第 2 页 共
3、14 页 各个选项验证得它的一个对称中心为 53 (,) 62 ，故选 B 4已知已知6,1AB ，, ,BCx y，2, 3CD ，且，且 /BC DA，则 ，则2xy的值为的值为 （ ） A0 B2 C 1 2 D2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先求,AD再根据向量平行坐标表示列式，即可得结果. 【详解】 因为6,1AB ，,BCx y，2, 3CD 所以(4,2)ADABBCCDx y 因为 /BC DA， 所以 ,/4,2,24 ,240,20 x yxyxyyxxyxy 故选：A 【点睛】 本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题. 5 设设 0022， 已知
4、两个向量， 已知两个向量 1 OP(cos(cos， sinsin) )， 2 OP(2(2sinsin， 2 2coscos) )， 则向量则向量 12 PP长度的最大值是长度的最大值是( )( ) A 2 B 3 C3 32 D2 23 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 12 PP uuuu r 2 OP 1 OP(2sin cos ，2cos sin )， | 12 PP uuuu r | 22 2sincos2cossin10 8cos3 2 . 当 1cos时， 12 PP有最大值3 2. 故选 C. 6已知向量已知向量 a(3，1)，b 是不平行于是不平行于 x 轴的单位向量，
5、且轴的单位向量，且 a b3，则，则 b 等于等于( ) A 3 1 , 22 B 13 , 22 第 3 页 共 14 页 C 1 3 3 , 44 D(1,0) 【答案】【答案】B 【解析】【解析】方法 1：令 b(x，y)(y0)， 22 1 33 xy xy 将代入得 x2( 33x) 21，即 2x23x10， x1(舍去，此时 y0)或 x 1 2 y 3 2 . 方法 2：排除法，D 中 y0 不合题意；C 不是单位向量，舍去；代入 A，不合题意，故 选 B. 7已知角已知角a的终边经过点的终边经过点 4 ,30Pm mm，则，则2sincosaa的值是的值是( ) A1 1 或
6、或1 B 2 5 或或 2 5 C1 1 或或 2 5 D1或或 2 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据三角函数的定义求得sin ,cosaa后可得结论 【详解】 由题意得点P与原点间的距离 22 435rmmm 当0m时，5rm， 3344 sin,cos 5555 mm aa mm ， 342 2sincos2 555 aa 当0m 时，5r m， 3344 sin,cos 5555 mm aa mm ， 342 2sincos2 555 aa 综上可得2sincosaa的值是 2 5 或 2 5 故选 B 【点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量： 角的终
7、边上任意一个异于 原点的点的横坐标 x，纵坐标 y，该点到原点的距离 r，然后再根据三角函数的定义求解 第 4 页 共 14 页 即可 8ABC中，若中，若sin( )sin()ABCABC，则，则 ABC必是（必是（ ） A等腰三角形等腰三角形 B直角三角形直角三角形 C等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 结合三角形的内角和公式可得ABC，A CB， 代入已知化简 可得，sin2sin2CB，结合,B C的范围从而可得22BC或22BC，从而可 求得结果. 【详解】 ABC，A CB， sin ABC sin 2
8、C sin2sin()CABC， sin(2 )B sin2B， 则sin2sin2BC，BC或22BC， 即： 2 BC，所以ABC为等腰或直角三角形，故选 C 【点睛】 本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，由三角函数值寻求角的关 系，属于基础题. 9函数函数sin sinyxx的值域是的值域是 （ ） A0 B 1,1 C 0,1 D2,0 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据定义域x的范围，去绝对值，根据在不同定义域求得函数的值域 【详解】 当0 x 时，sin0 x ，所以0y 当2x 时，sin0 x ，所以2sinyx ，所以值域为2,0 综上，所以2,0y
9、所以选 D 【点睛】 第 5 页 共 14 页 本题考查了根据函数的定义域去绝对值，三角函数在定义域内的值域问题，属于基础 题 10在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中 个相同的直角三角形与中 间的小正方形拼间的小正方形拼成的一个大正方形， 若直角三角形中较小的锐角为成的一个大正方形， 若直角三角形中较小的锐角为， 大正方形的面积， 大正方形的面积 是是1，小正方形的面积是，小正方形的面积是 1 25 ，则，则 22 sincos( ) A1 B 7 25 C 7 25 D 24 25 【答案】【答案】C 【解
10、析】【解析】根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算 出三角形的两条直角边从而算出sin ,cos 【详解】 由题意得直角三角形的面积 1 1 6 25 425 S ,设三角形的边长分别为 , x y，则有 22 1 34 , 16 55 225 xy xy xy ，所以 34 34 55 sin,cos 1515 ，所以 22 22 347 sincos 5525 ，选 C. 【点睛】 本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中， 正弦、 余弦的计算， 属于基础题 二、多选题二、多选题 11正方形正方形ABCD的边长为的边长为1，记，记ABa，BCb ，AC
11、c ，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是 （ ） A 0abc rrr B0abca C 0acba D2abc 【答案】【答案】ABC 【解析】【解析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断 A、B选项的正 误； 利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断 C选项的正误； 利用平面向量的 第 6 页 共 14 页 加法法则可判断 D 选项的正误. 【详解】 如下图所示： 对于 A选项，四边形ABCD为正方形，则BDAC， abABBCABADDB ，0abcDB AC ，A选项正确； 对于 B选项， 0abcABBCACACAC ， 则00abcaa ， B选项正确；
12、对于 C选项，a cABACCB ，则0acbCBBC，则 0acba，C 选项正确； 对于 D选项， 2abcc ，22 2abcc ，D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】 本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面 向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题. 12计算下列几个式子，结果为计算下列几个式子，结果为3的是（的是（ ） ） Atan25tan353tan25 tan35 B2 sin35 cos25 sin55 cos65 C 2 tan 6 1tan 6 D 1tan15 1tan15 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】利用两角和的正
13、切公式化简 AD，利用诱导公式和两角和的正弦公式化简 B， 利用二倍角公式化简 C，即得答案 第 7 页 共 14 页 【详解】 对于 A ： tan25tan35 tan(2535 ) 1tan25 tan35 tan25tan35tan60 (1tan25 tan35 )33tan25 tan35 tan25tan353tan25 tan353 ； 对于 B：原式 2 sin35 cos25cos35 sin252sin(3525 )2sin603 ； 对于 C：原式 2 2tan 113 6 tan 2232 1tan 6 ； 对于 D：原式 tan45tan15 tan(4515 )t
14、an603 1tan45tan15 故选：ABD 【点睛】 本题考查了两角和的正弦公式，正切公式，以及二倍角公式的应用，属于中档题 三、填空题三、填空题 13设设 1 sinsin 3 ， 1 coscos 2 ，则，则cos_. 【答案】【答案】 59 72 【解析】【解析】由于coscosssisiconn，所以对已知的等式两边平方相 加可得结果 【详解】 解：因为 1 sinsin 3 ， 1 coscos 2 ， 所以 22 1 sin2sinsinsin 9 ， 22 1 cos2coscoscos 4 ， 所以 11 22(coscossinsin) 94 ， 所以 11159 c
15、os()(2) 29472 ， 故答案为： 59 72 【点睛】 此题考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题 第 8 页 共 14 页 14设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为 ，且，且(3,3),2( 1, 1)aba ，则，则 cos _. 【答案】【答案】1 【解析】【解析】先算出b后利用公式可计算两向量夹角的余弦. 【详解】 设,bx y r 因为3,3a ，21, 1ba ， 即( ) () 23,231, 1xy-= -，即1,1xy， 故1,1b r ， 故 6 cos1 182 a b ab . 故答案为：1. 【点睛】 向量的数量积有两个应用： （1）计算长度或模长，通过用a
16、aa ； （2）计算角， cos, a b a b a b ，特别地，两个非零向量, a b垂直的充要条件是 0a b . 15 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半， 则这个扇形的圆心角是已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半， 则这个扇形的圆心角是_ 【答案】【答案】(2)rad 【解析】【解析】 试题分析： 设扇形的半径R， 弧长l， 根据题意2R lR ， 解得2 l R ， 而圆心角2 l R .故答案填2. 【考点】扇形的弧长、圆心角 16已知曲线已知曲线sinyA xk（0A，0，）在同一周期内的最高）在同一周期内的最高 点的坐标为点的坐标为 ,4 8 ，最低点的坐标为，最低点
17、的坐标为 5 , 2 8 ，此曲线，此曲线的函数表达式是的函数表达式是_. 【答案】【答案】 3sin 21 4 yx 【解析】【解析】由题意知 4 2 Ak kA 且 2 2|2 T ，即可求,A k，而sin( )1 4 有 2 4 k ，即可得曲线的函数表达式； 第 9 页 共 14 页 【详解】 在同一周期内的最高点的坐标为 ,4 8 ，最低点的坐标为 5 , 2 8 ，知： 4 2 Ak kA 且 2 2|2 T ，而0，有 3 1 2 A k ， sin()1 4 且，得2 4 k ，kZ， 0k ，有 4 ， 综上，有 3sin 21 4 yx. 故答案为： 3sin 21 4
18、yx 【点睛】 本题考查了根据sinyAxk函数过定点求解析式， 利用三角函数的性质： 同 周期最高、最低点间隔半个周期，且对应函数值为 1、-1； 四、解答题四、解答题 17已知已知sin是方程是方程 2 5760 xx的根求的根求 2 33 sinsintan (2) 22 coscoscot() 22 的值的值 【答案】【答案】 3 4 【解析】【解析】由题意解一元二次方程可求sin，利用诱导公式化简所求，利用同角三角函 数基本关系式即可计算得解 【详解】 由sin是方程 2 5760 xx的根，可得： 3 sin 5 或sin2（舍） ， 原式 2 2 33 sinsintan cos
19、costan 22 sinsincotsinsincot 第 10 页 共 14 页 tan 由 3 sin 5 ，可知是第三象限或者第四象限角 所以 3 tan 4 或 3 4 ， 即所求式子的值为 3 4 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的解法，考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角 函数化简求值中的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18 已知已知 2a ，3b r ， 向量， 向量a与向量与向量b夹角为夹角为 45， 求使向量， 求使向量a b 与与 ab 的的 夹角是锐角时，夹角是锐角时，的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 11851185 (,)(,1)(1,) 6
20、6 【解析】【解析】由两个线性组合的新向量夹角为锐角有 0abab且向量a b 与 ab 不共线， 而由已知可得 3a b ， 进而得到 2 31130且1 即可求 的取值范围； 【详解】 2a ，3b r ，a与b夹角为 45 ， 2 cos453 23 2 baab， 而 22 222 23393113aabbaababb rrrrrrrrrr ， 要使向量a b 与 ab 的夹角是锐角， 则 0abab，且向量a b 与 ab 不共线， 由 0abab得 2 31130，得 1185 6 或 1185 6 . 由向量a b 与 ab 不共线得 2 11 所以的取值范围为： 1185118
21、5 (,)(,1)(1,) 66 【点睛】 本题考查了利用向量的数量积公式，并根据夹角求参数范围，结合向量点乘运算律的应 第 11 页 共 14 页 用； 19已知已知 3 44 ，0 4 ， 3 cos 45 ， 35 sin 413 ，求，求 sin的值的值. 【答案】【答案】 63 65 【解析】【解析】利用同角三角函数的基本关系求得sin 4 、 3 cos 4 的值，利用两 角和的正弦公式求得sin的值，进而利用诱导公式可求得sin的值. 【详解】 3 44 ， 24 ，又 3 cos 45 ， 2 4 sin1 cos 445 ， 0 4 ， 33 44 ， 又 35 sin 41
22、3 ， 2 3312 cos1 sin 4413 ， 3 sin 44 sinsin 33 sincoscossin 4444 4123563 5135 1365 . 【点睛】 本题考查利用两角和的正弦公式以及诱导公式求值， 同时也考查了同角三角函数基本关 系的应用，考查计算能力，属于中等题. 20已知函数已知函数 2 2sinsin21f xxx，xR. （1）求）求 f x的最小正周期及的最小正周期及 f x取得最大值时取得最大值时x的集合；的集合； （2）在平面直角坐标系中画出函数）在平面直角坐标系中画出函数 f x在在0,上的图象上的图象. 【答案】【答案】 （1） 3 ,|, 8 x
23、 xkkZ ； （2）图象见解析. 第 12 页 共 14 页 【解析】【解析】 （1）根据三角恒等变换化简三角函数式，即可求最小正周期，由正弦函数的最 值，可知 22 42 xk，即可求最大值及对应x的集合； （2）利用三角函数五点作 图法作图即可； 【详解】 （1） 22 2sinsin21sin21 2sinsin2cos2 f xxxxxxx= 2sin 2 4 x，所以 f x的最小正周期是， xR， 当 22 42 xk，即 3 8 xkkZ时， f x的最大值为 2. 即 f x取得最大值时x的集合为 3 , 8 x xkkZ （2）图象如图所示： x 0 3 8 5 8 7 8
24、 y -1 2 0 2 -1 第 13 页 共 14 页 【点睛】 本题考查了三角函数的图象与性质，利用三角恒等变换化简三角函数式，进而求最小正 周期及对应自变量集合，根据五点法作函数图象即可； 21设设a与与b是两个不共线的非零向量是两个不共线的非零向量( )tR . （）记）记OA a ,OB tb , 1 3 OCab, ,那么当实数那么当实数t为何值时，为何值时，A、B、C三点三点 共线？共线？ （） 若） 若1ab, ,且且a与与b的夹角为的夹角为 0 120， 那么实数， 那么实数 x为何值时为何值时a xb的值最小？的值最小？ 【答案】【答案】 （1） 11 , 32 t实数；
25、（2） 13 , 22 xaxb 时取最小值. 【解析】【解析】（1）根据三点共线的关系1OCOAOB求解（2）axb平方后 转化为二次函数求最值即可. 【详解】 （1）A、B、C 三点共线知存在实数,1OCOAOB使 即 1 1 3 abatb， 则 11 , 32 t实数 （2） 1 cos120, 2 a ba b 22222 |21,axbaxbx a bxx 当 13 , 22 xaxb 时取最小值 【点睛】 本题主要考查三点共线的向量关系，向量数量积的运算，属于中档题. 22某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方
26、向 市正南方向200km的海的海 面面P处，并正以处，并正以20km/h的速度向北偏西的速度向北偏西方向移动（其中方向移动（其中 19 cos 20 ） ，台风当前影） ，台风当前影 响半径为响半径为10km，并以，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影 响？影响时间多长？响？影响时间多长？ 【答案】【答案】7小时后台风开始影响该市，持续时间达 12 小时. 【解析】【解析】设该市为A，经过t小时后台风开始影响该城市，可表示出t小时后台风经过 的路程，根据余弦定理表示|AC，根据CDAC求得t的范围，进而可推断出 7小时 第
27、 14 页 共 14 页 后台风开始影响该市，持续时间达 12小时 【详解】 如图，设该市为A，经过t小时后台风开始影响该城市，则t小时后台风经过的路程 20 kmPCt，台风半径为10 10 kmCDt， 需满足条件：CDAC， 2 222 2ACPCPAPCPAPA PC， 222 2cosACPCPAPA PC， 2 22 19 200202 200 20400004007600 20 ttt， 2 22 40000400760010 10ttCDt， 整理得 2 3007800399000tt， 即 2 261330tt解得719 t， 7小时后台风开始影响该市，持续时间达 12小时. 【点睛】 本题主要考查了余弦定理的实际应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力
