1、第 1 页 共 17 页 2019-2020 学年四川省资阳市高一下学期期末数学试题学年四川省资阳市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1过两点过两点2,0A ， 0,3B的直线方程为（的直线方程为（ ） A32 60 xy B3260 xy C3260 xy D3260 xy 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意利用直线的截距式方程，化简求得结果. 【详解】 解：直线经过两点2,0A ，0,3B，而这 2 个点恰是直线和坐标轴的交点， 过两点2,0A ，0,3B的直线方程为1 23 xy ，即3260 xy， 故选：C. 【点睛】 本题考查直线方程的求法.属于基础题. 2若若
2、ab，则（，则（ ） A 33 ab B 22 ab C ln0ab D2 2 ab 【答案】【答案】A 【解析】【解析】直接利用不等式的性质，函数的单调性，赋值法的应用求出结果. 【详解】 解：由于ab， 对于选项 A： 2 2 33 3 ()0 24 bb ababa ，故选项 A正确. 对于选项 B：当1a，2b 时， 22 ab，故选项 B 错误. 对于选项 C：当10a b 时，ln0ab，故选项 C错误. 对于选项 D：由于ab，由于2xy 为单调增函数，所以2 2 ab ，故选项 D错误. 故选：A. 【点睛】 本题考查运用不等式的性质和函数的单调性判断不等式是否成立，属于基础题
3、. 第 2 页 共 17 页 3已知等差数列已知等差数列 n a的公差为的公差为d， 2 4a ， 4 10a ，则，则d （ ） A2 B3 C6 D9 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意利用等差数列的性质，求得d的值. 【详解】 等差数列 n a的公差为d， 2 4a ， 4 10a ， 则 42 26daa， 3d . 故选：B 【点睛】 本题主要考查等差数列公差的求法，属于基础题. 4已知向量已知向量1,2a r ，,1bm ，且，且aab，则，则m（ ） A-5 B5 C6 D7 【答案】【答案】D 【解析】【解析】可以求出1,3abm，然后根据aab即可得出0aab，进 行
4、向量坐标的数量积运算即可求出m的值. 【详解】 解：1,3abm，1,2a r ，且aab， 160aabm ，解得7m. 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题. 5已知直线已知直线 1 l：20axy， 2 l：32100,0axbyab 互相垂直，互相垂直， 则则 a b 的取值范围为（的取值范围为（ ） A 1 0, 3 B 2 0, 3 C 1 ,1 3 D3, 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由直线与直线垂直的性质得 2 3 a ba ，再上0a，0b，能求出 a b 的取值 范围. 【详解】 第 3 页 共 17 页 解：直线 1 l：2
5、0axy， 2 l：32100,0axbyab 互相垂直， 320a ab， 2 3 a ba ， 0a，0b， 22 0, 33a . a b 的取值范围为 2 0, 3 . 故选：B. 【点睛】 本题考查两直线垂直的条件的应用，属于中档题. 6 各项为正数的等比数列各项为正数的等比数列 n a， 47 8aa， 则， 则 2122210 logloglogaaa（ ） A1515 B1010 C5 5 D2020 【答案】【答案】A 【解析】【解析】各项为正数的等比数列 n a， 47 8aa，则 47110 aaa a8 2 1222 10 logloglogaaa= 55 515 12
6、1011047 82 22222 logloglogloglog15 a aaa aa a 故选 A 点睛：本题主要考查了等比数列的性质：m n pq ，则 mnpq aaaa 结合对数 的运算性质：logloglog MNMN aaa ，log M a a M即得解. 7如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与 与BD交于点交于点O，且，且 2 3 CECO，则，则 BE （ （ ） A 12 33 ADAB B 21 33 ADAB C 21 33 ADAB D 12 33 ADAB 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据题意，由平面向量的三角形法则列式即可
7、得. 第 4 页 共 17 页 【详解】 平行四边形ABCD中，BC AD ， 2 3 CECO， 1 3 CECA， 21 33 BEBCCEBCCOBCCA 12121 33333 BCBABCBCABADAB. 故选：C. 【点睛】 应用平面向量基本定理应注意的问题，利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行 四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算 8 sin83cos8 2cos22 （ ） A 2 B1 C 2 2 D 1 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】把分子提取 2，再由两角和的正弦变形，结合诱导公式约分得答案. 【详解】 13 2sin8cos8 22 si
8、n83cos8 2cos222cos22 2sin 860 2sin68 2 2cos222cos22 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角恒等变换和诱导公式化简求值，属于基础题. 9已知点已知点, 0,0m nmn在直线在直线340 xy上，则上，则 31 mn 最小值为（最小值为（ ） A2 B4 C6 D16 【答案】【答案】B 第 5 页 共 17 页 【解析】【解析】利用点在直线上可得34mn，利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得 出. 【详解】 由点,0,0m nmn在直线340 xy上可得， 34mn，0m，0n， 则 31311133 (3)10 44 nm mn
9、mnmnmn 1 1064 4 ， 当且仅当 33nm mn 且34mn即1mn时取等号， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，属于基础题. 10已知向量已知向量 3, 1OA，2OAOB， 10OA OB ，则，则cos,OA AB （ ） A 5 7 14 B 3 2 C 21 14 D 5 7 14 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由已知求出OA，OB，AB，利用cos , OA AB OA AB OAAB 即可求解. 【详解】 向量3, 1OA，23 12OAOB ， 10OA OB ，AB OBOA ， 2 22 27ABOBOAOAOBOA OB ，
10、2 OA ABOAOBOAOA OBOA1 45 ， 55 7 cos, 1427 OA AB OA AB OAAB . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式即可，属于常考题型. 11在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c，若，若 2tan tantan bB cAB ，且，且 第 6 页 共 17 页 ABC的外接圆半径为的外接圆半径为 2，则，则ABC的面积的最大值为（的面积的最大值为（ ） A 3 4 B 3 4 C 3 3 4 D3 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得
11、1 cos 2 A，结合范 围0,A，可得 3 A ，由题意利用正弦定理可求a的值，进而根据余弦定理，基 本不等式可求bc的最大值，根据三角形的面积公式即可计算求解. 【详解】 解： 2tan tantan bB cAB ， 由正弦定理可得 sin2tan sintantan BB CAB ，可得 2sin sin cos sinsin sin coscos B B B AB C AB ， 由于sin0B， 整理可得sin2sincosCCA， 由于sin0C ， 1 cos 2 A，由0,A，可得 3 A ， 又ABC的外接圆半径为 2， 4 sin 3 a ，可得2 3a ， 可得 22
12、122bcbcbcbcbc ，当且仅当2 3bc时等号成立， 113 sin123 3 222 ABC SbcA ，即三角形ABC的面积的最大值为3 3， 当且仅当2 3bc时等号成立. 故选：D. 【点睛】 考查正、余弦定理以及基本不等式求三角形面积的最大值，基础题. 12 记数列记数列 n a前前n项和为项和为 n S， 若， 若 1， n a， n S成等差数列， 且数列成等差数列， 且数列 1 12 11 n nn a aa 的的前前n项和项和 n T对任意的对任意的 * nN都有都有 210 n T 恒成立，则恒成立，则的取值范围为（的取值范围为（ ） 第 7 页 共 17 页 A
13、1 , 6 B 1 , 2 C 5 , 6 纟 -? 棼 D,1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应 用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围. 【详解】 数列 n a前n项和为 n S，若 1， n a， n S成等差数列， 所以21 nn aS ， 当1n 时， 1 1a . 当2n时， 11 21 nn aS ， 得 1 22 nnn aaa ，整理得 1 2 n n a a （常数） ， 所以数列 n a是以 1 为首项，2为公比的等比数列. 所以 1 2n n a - =. 所以 1 1 1 12
14、211 11212121 21 n n nn nn nn a aa ， 则 11 111111 11 337212121 n nnn T . 由于对任意的 * nN都有 210 n T 恒成立， 所以12 n T 恒成立. 即min12 n T， 当1n 时， 1 min 5 11 3 n TT ， 所以 5 2 3 ，解得 5 6 ， 所以 5 , 6 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查了由递推关系式求数列的通项公式，考查了裂项求和以及恒成立问题，属 于中档题. 第 8 页 共 17 页 二、填空题二、填空题 13若过点若过点4,Aa，2, 3B 的直线的倾斜角为的直线的倾斜角为 3 4
15、，则，则a_. 【答案】【答案】5 【解析】【解析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得a的值. 【详解】 由题意可得 33 tan1 442 a ，求得5a. 故答案为：5. 【点睛】 本题考查利用斜率公式求参数，考查计算能力，属于基础题. 14已知已知 2 2 sin 3 ， 1 cos 3 ，且，且,0, 2 ，则，则sin_. 【答案】【答案】 4 2 9 【解析】【解析】由已知分别求得cos，sin，再由sinsin ，展开 两角差的正弦得答案. 【详解】 解： 2 2 sin 3 ， 0, 2 ， 2 1 cos1 sin 3 ， ,0, 2 ，0,，又 1 cos
16、3 ， 2 2 2 sin1 cos 3 . 则 sinsinsincoscossin 2 2112 24 2 33339 . 故答案为： 4 2 9 . 【点睛】 第 9 页 共 17 页 本题考查同角三角函数间的关系，正弦的差角公式，给值求值型的问题，属于中档题. 15若实数若实数x，y满足不等式组满足不等式组 20 250 40 xy xy xy ，则，则 1xy x 的取值范围为的取值范围为_. 【答案】【答案】 5 ,5 3 【解析】【解析】作出不等式组对应的平面区域，然后化简目标函数，利用不等式的几何意义， 利用线性规划的知识进行求解即可. 【详解】 解：实数x，y满足不等式组 2
17、0 250 40 xy xy xy ，的可行域如图，三角形ABC的三边及 其内部部分： 11 1 xyy xx ，它的几何意义是可行域内的点与0, 1D连线的斜率加 1， 由图象知BD的斜率最小，CB的斜率最大， 由 40 20 xy xy 解得1,3C，此时DC的斜率： 3 1 4 1 ， 由 250 40 xy xy 得3,1B，此时BD的斜率： 1 12 33 ， 则 1xy x 的取值范围为是 5 ,5 3 ， 故答案为： 5 ,5 3 . 【点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题 16已知在已知在ABC中，中，2 3AB ，5AC ， 6 A .若若0BE
18、AC， 第 10 页 共 17 页 AEBE，则，则AE BC _. 【答案】【答案】-1 【解析】【解析】利用已知可得/BE AC， 6 ABEBAE ，从而求得2AEBE，即 可得 2 5 BEAC ，再运算向量的数量积的运算律即可. 【详解】 解：如图，0BEAC，/BE AC， AEBE， 6 A .在ABE中， 6 ABEBAE ， 2 3AB ，2AEBE，5AC ， 2 5 BEAC ， AE BCABBEACAB 2 5 ABACACAB 2272732 2 3 51225 55525 AB ACABAC 1 . 故答案为：-1. 【点睛】 本题考查向量的线性关系，向量的数量积
19、运算律，属于中档题. 三、解答题三、解答题 17已知直线已知直线 1 l：210 xy 和和 2 l：20 xy的交点为的交点为P . （1）若直线）若直线l经过点经过点P且与直线且与直线 3 l：4350 xy平行，求直线平行，求直线l的方程；的方程； （2）若直线）若直线m经过点经过点P且与且与x轴，轴，y轴分别交于轴分别交于A，B两点，两点，P为线段为线段AB的中点，的中点， 求求OAB的面积（其中的面积（其中O为坐标原点）为坐标原点）. 【答案】【答案】 （1）4330 xy； （2）30 . 【解析】【解析】 （1）先求出交点P的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程. （2）先求
20、出A、B两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得OAB的面积. 第 11 页 共 17 页 【详解】 1）由 210 20 xy xy ，求得 3 5 x y ，可得直线 1 l：和 2 l：的交点为3, 5P . 由于直线 3 l的斜率为 4 3 ， 故过点P且与直线 3 l平行的直线l的方程为 4 53 3 yx， 即4330 xy. （2）设直线m的斜率为k，则直线m的方程为53yk x ， 由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点， 且3, 5P 为线段AB的中点， 故 5 3,0A k ，0,35Bk ，且点P的坐标满足直线m的方程， 5 3 3 2 k ，且 35 5 2 k ，求
21、得 55 33 k . 则6,0A 0, 10B 故OAB的面积为 11 61030 22 OA OB . 【点睛】 本题主要考查了求直线的方程，以及中点坐标公式，考查了直线与坐标轴围城的三角形 的面积，属于中档题. 18已知已知 tan 34 tan2 . （1）求）求tan2的值；的值； （2）求）求cos 2 4 的值的值. 【答案】【答案】 （1） 4 3 或 3 4 ； （2） 2 10 . 【解析】【解析】 （1）由已知求得tan的，展开二倍角的正切，分类求得tan2的值； （2）分别求出sin2与cos2的值，再由两角差的余弦求解cos 2 4 的值. 【详解】 第 12 页 共
22、 17 页 解：由 tan 34 tan2 ，得 tantan 4 1tantan 3 4 tan2 ，即 2 3tan5tan20， 解得tan2或 1 tan 3 . （1）当tan2时， 2 2tan44 tan2 1tan1 43 ； 当 1 tan 3 时， 2 2 2tan3 3 tan2 1 1 tan4 1 9 ； （2）当tan2时， 2 2 1 tan1 43 cos2 1tan1 45 ， 2 2tan44 sin2 1tan145 ， cos 2cos2cossin2 sin 444 32422 525210 ； 当 1 tan 3 时， 2 2 1 1 1tan4 9
23、 cos2 1 1tan5 1 9 ， 2 2 2tan3 3 sin2 1 1tan5 1 9 ， cos 2cos2cossin2 sin 444 42322 525210 . 综上 2 cos 2 410 . 【点睛】 本题考查商数关系、平方关系以及两角和的余弦公式，重在识记公式，属于中档题. 19 已知等比数列已知等比数列 n a的首项为的首项为 1 a， 公比为， 公比为q， 且关于， 且关于x的不等式的不等式 2 1 120a xqx的的 解集为解集为, 26, . （1）求）求 n a； （2）设）设 4 log nnn baa，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T
24、. 第 13 页 共 17 页 【答案】【答案】 （1） 1 4n n a ； （2） 2 41 32 n nn . 【解析】【解析】 （1）首先把不等式转换为方程，进一步求出首项和公比，再利用等比数列的定 义求出数列的通项公式. （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和. 【详解】 （1）等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q，且关于x的不等式 2 1 120a xqx的解 集为, 26, . 则-2 和 6为 2 1 120a xqx的两根， 所以 1 26 q a ， 1 12 26 a ， 解得 1 1a ，4q . 所以 11 1 4 nn n aa q . （
25、2）由（1）得 1 4 log41 n nnn baan ， 所以 1 1 441 21 n n Tn ， 141 4 12 n n n ， 2 41 32 n nn . 【点睛】 本题主要考查了求等比数列的通项公式，考查了分组求和，属于中档题. 20在在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c，且，且2cosbcBa . （1）求）求C； （2）若）若4a，点，点E在边在边AB上，且上，且 2CA CBCE ，2CE ，求，求ABC的周长的周长. 【答案】【答案】 （1）0,C； （2）84 3. 【解析】【解析】 （1）由余弦定理化简已知等式可得 222 ab
26、cab ，可求 1 cos 2 C ，结 合范围0,C，可求C的值； （2）由已知利用平面向量数量积的运算可求b的值，利用余弦定理可求c的值，即可 第 14 页 共 17 页 计算求解三角形的周长. 【详解】 （1） 222 2cos2 2 acb bcBaca ac .整理可得 222 abcab ， 222 1 cos 222 abcab C abab ， 0,C， 2 3 C . （2）若4a，点E在边AB上，且 2CA CBCE ，2CE ， E为AB的中点，可得 2 2 4CA CBCE， 可得 222 424 2bCA CB ，可得 2 1 240 2 bb ，解得4b， 2222
27、 1 2cos442 4 44 3 2 cababC ， ABC的周长84 3abc . 【点睛】 本题考查余弦定理解三角形，向量的数量积和三角结合. 21已知函数已知函数 2 21f xaxaxb . （1）若）若2a ，9b，求函数，求函数 0 f x yx x 的最小值；的最小值； （2）若）若1b，解关于，解关于x的不等式的不等式 0f x . 【答案】【答案】 （1）8； （2）当0a 时， 2 ,1x a ；当0a时，,1x ；当02a 时， 2 ,1,x a ；当2a时，xR；当2a时， 2 ,1,x a . 【解析】【解析】 （1）把2a ，9b代入 f x的解析式，整理后利用
28、基本不等式求 0 f x yx x 的最小值； （2） 由1b， 可得 2 22f xaxax， 当0a 时，化为一元一次不等式求解，当0a时，求出函数 f x所对应方程的两根，再对a 第 15 页 共 17 页 分类比较两个根的大小，即可求得不等式 0f x 的解集. 【详解】 （1）若2a ，9b，则 2 288 2 f xx yx xxx ， 0 x， 88 22 ( 2 )8yxx xx ， 当且仅当 8 2x x ，即2x时y取得最小值 8； （2）若1b，则 2 2212f xaxaxxax. 1、若0a， 0f x 化为220 x，即1x； 2、若0a， ( ) 0fx =的两根
29、为 1， 2 a . 若0a ，则 2 1 a ，则不等式 0f x 的解集为 2 ,1 a ； 若02a，则 2 1 a ，则不等式 0f x 的解集为 2 ,1, a ； 若2a， 0f x 化为 2 210 x，xR； 若2a，则 2 1 a ，则不等式 0f x 的解集为 2 ,1, a . 综上，当0a 时， 2 ,1x a ；当0a时，,1x ；当02a时， 2 ,1,x a ；当2a时，xR；当2a时， 2 ,1,x a . 【点睛】 本题考查了利用基本不等式求最值，应用分类讨论方法求一元二次不等式的解集，属于 中档题； 22已知等差数列已知等差数列 n a的公差为的公差为d，前
30、，前n项和为项和为 n S，且，且 3 2a ， 20222018 4 20222018 SS ； 数列数列 n b满足满足 1 3 5 b ， * 1 3 21 n n n b bnN b . （1）求）求 n a； 第 16 页 共 17 页 （2）求证：数列）求证：数列 1 1 n b 为等比数列，并求为等比数列，并求 n b； （3）设）设 3 1 2 nn n n ab c b ，数列，数列 n c的前的前n和为和为 n T，求证：，求证： 1 1 3 n T . 【答案】【答案】 （1）24 n an； （2）证明见解析； 3 32 n n n b ； （3）证明见解析. 【解析】
31、【解析】 （1）直接利用等比数列的定义求出数列的通项公式. （2）利用关系式的变换，整理出数列 1 1 n b 是以 1 12 1 3b 为首项，1 3 为公比的等比 数列. （3）利用（1） 、 （2）的结论，进一步利用乘公比错位相减法和放缩法的应用求出数列 的和. 【详解】 解： （1）等差数列 n a的公差为d，前n项和为 n S， 所以 1 1 2 n Sn ad n ，即数列 n S n 也为等差数列，且公差为 2 d ， 由于 20222018 4 20222018 SS ； 所以44 2 d ，解得2d . 则： 3 324 n aandn. （2）证明：数列 n b满足 1 3
32、 5 b ， * 1 3 21 n n n b bnN b . 所以 1 211 3 n nn b bb ，整理得 1 111 11 3 nn bb ， 所以数列 1 1 n b 是以 1 12 1 3b 为首项， 1 3 为公比的等比数列. 所以 1 121 1 33 n n b ，整理得 3 32 n n n b . （3）证明：由（1） （2）得： 3 11 (21) 23 nn n n n ab cn b ， 所以 2 111 13(21) 333 n n Tn ， 第 17 页 共 17 页 231 1111 13(21) 3333 n n Tn ， 得 213 211111 2(21) 333333 n nn Tn ， 整理得 1 11 3 n n Tn ， 由于 1 1 1 21 3 nn n TTn ， 所以数列 n T为单调递增数列， 所以 1 21 11 33 n TT . 【点睛】 本题主要考查等比数列的判定，数列的通项公式及错位相减法求和，等比数列的判定一 般利用定义法，数列不等关系的证明一般先求出表达式，根据表达式的特点进行证明， 侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
