1、 专题专题 09 逐个击破考向逐个击破考向-第第九九周：周：几何综合证明一几何综合证明一 特殊图形特殊性质的运用特殊图形特殊性质的运用 【考向分析考向分析】 通过分析对比，可以看出： 安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类： 一是全等综合证明，一是全等综合证明， 二是相似综合证明，二是相似综合证明， 三是旋转问题，三是旋转问题， 四是特殊图形特殊性质的运用四是特殊图形特殊性质的运用。 其中全等相似综合证明题型基本上是每年必考考点，近几年中出现了旋转和特殊图形特殊性质的运用， 好在是这两类题型的解题思路非常明确，且比较好总结方法技巧； 几何综合证明作为中考压轴大题，每年都必然出现在试卷最后，是
2、冲刺高分的最大拦路虎，对知识掌 握的综合运用能力要求较高， 但理解出题方式和解题思路可以帮助大家快速打开解题思维， 进而顺利解题。 【真题再现真题再现】 年份：年份：2016 年年 考向：全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用考向：全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用 年份年份 几何综合证明题几何综合证明题 考向补充考向补充 2010 全等相似综合证明 2011 旋转问题，全等相似综合证明 2012 相似综合证明 2013 新定义几何证明 2014 全等综合证明，旋转问题 2015 全等相似综合证明，旋转问题 2016 全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用全等相似综合证明，特殊图形特
3、殊性质的运用 2017 全等相似综合证明 2018 全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用 2019 全等相似综合证明 23. 如图 1，A，B 分别在射线 OM，ON 上，且MON 为钝角现以线段 OA，OB 为斜边向MON 的 外侧作等腰直角三角形，分别是 OAP， OBQ，点 C，D，E 分别是 OA，OB，AB 的中点 (1)求证： PCEEDQ； (2)延长 PC，QD 交于点 R. 如图 2，若MON150 ，求证： ABR 为等边三角形； 如图 3，若 ARBPEQ，求MON 大小和AB PQ的值 解：(1)证明：点 C，D，E 分别是 OA，O
4、B，AB 的中点， DEOC，且 CEOD， 四边形 CEDO 是平行四边形， ECOEDO， 又OAP，OBQ 都是等腰直角三角形， PCOQDO90 ， PCEPCOECOQDOEDOEDQ， 又PC1 2AOOCDE，CE 1 2BOODDQ， PCEEDQ； .(5 分) (2)证明：如解图，连接 OR， PR 与 QR 分别为线段 OA 与 OB 的中垂线， ARORBR，ARCORC，ORDBRD， 在四边形 OCRD 中，OCRODR90 ，MON150 ， CRD30 ， ARBAROBRO2CRO2ORD2CRD60 . .(9 分) ABR 为等边三角形； 第 23 题解图
5、 解：如解图，由(1)知 EQPE，DEQCPE， PEQCED-CEP-DEQACE-CEP-CPEACE-RCEACR90 ， 即PEQ 为等腰直角三角形， ARBPEQ， ARB90 ， 在四边形 OCRD 中，OCRODR90 ，CRD1 2ARB45 ， MON360 90 90 45 135 ， 又AOP45 ， POD180 ， 即 P、O、B 三点共线， 在APB 中，APB90 ，E 为 AB 中点， AB2PE， 又在等腰直角PEQ 中，PQ 2PE， AB PQ 2PE 2PE 2. .(14 分) 第 23 题解图 年份：年份：2018 年年 考向：全等综合证明，特殊图
6、形特殊性质的运用考向：全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用 23. 如图，Rt ABC 中，ACB90 ，点 D 为边 AC 上一点，DEAB 于点 E，点 M 为 BD 中点， CM 的延长线交 AB 于点 F. (1)求证：CMEM； (2)若BAC50 ，求EMF 的大小； (3)如图，若 DAECEM，点 N 为 CM 的中点，求证：ANEM. 图 图 第 23 题图 解：(1)已知：在 RtBCD 中，BCD90 ，M 为斜边 BD 的中点， CM1 2BD， 又DEAB，同理可得：EM1 2BD， CMEM， (2)已知CBA90 50 40 ， 又由(1)知 CMDMBMEM，
7、CMECMDDME2(CBMABM) 2CBA80 ， EMF180 CME100 . (3)根据题意得：DAECEM， CMEDEA90 ，DECM，AEEM， 又CMDMEM， DMDEEM， DEM 是等边三角形，DEM60 MEFDEFDEM30 . （解法一)如解图，在 RtEMF 中，EMF90 ，MEF30 ， MF EF 1 2， 又NM1 2CM 1 2EM 1 2AE， FNFMNM1 2EF 1 2AE 1 2(AEEF) 1 2AF， MF EF NF AF 1 2， AFNEFM， AFNEFM， NAFMEF， ANEM. （解法二）如解图，连接 AM，则EAMEM
8、A1 2MEF15 ， AMCEMCEMA75 ， 又CMDEMCEMD30 ，且 MCMD， ACM1 2(180 30 )75 ， 由可知 ACAM，又 N 为 CM 中点， ANCM，而 EMCM， ANEM. 第 23 题解图 【技巧总结技巧总结】 1、特殊图形特殊性质的运用思路特殊图形特殊性质的运用思路 等腰三角形：等腰三角形：等腰对等角三线合一与垂直平分线定理相互转化（垂直平分线上的点到线段两端点距离 相等是辅助线做法） 正三角形：正三角形：边相等，角 60S= 4 3 a（a 为边长）等腰三角形的特殊性质 直角三角形：直角三角形：勾股定理（有线段长度时）直角三角形斜边中线等于斜边
9、一半（有直角三角形斜边中点 时）30所对直角边等于斜边的一半（有 30特殊角时） 等腰直角三角形：等腰直角三角形：等腰三角形的特殊性质直角三角形的特殊性质 平行四边形：平行四边形：对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分 矩形：矩形：角 90对角线平分且相等 菱形：菱形：临边相等对角线互相垂直平分且相等对角线平分对角 正方形：正方形：特殊四边形的性质全具有 2、中点的用法中点的用法 结合等腰三角形时：三线合一转垂直平分线定理结合等腰三角形时：三线合一转垂直平分线定理 结合直角三角形时：斜边中线等于斜边一半结合直角三角形时：斜边中线等于斜边一半 题目中出现多个中点时：中位线定理题目中出现多个
10、中点时：中位线定理 存在平行线间夹线段有中点时：延长过中点的线段构造存在平行线间夹线段有中点时：延长过中点的线段构造 8 字型全等字型全等 【典型例题典型例题】 【例 1】 （2019苏家屯区二模） 已知： 如图， ABC 和BDE 都是等腰直角三角形， ACBBDE90， 点 F 是 AE 的中点，连接 DF，CF （1） 如图 1， 点 D， E 分别在 AB， BC 边上， 填空： CF 与 DF 的数量关系是 ， 位置关系是 ； （2）如图 2，将图 1 中的BDE 绕 B 顺时针旋转 45得到图 2，请判断（1）中 CF 与 DF 的数量关系 和位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以
11、证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图 3，将图 1 中的BDE 绕 B 顺时针旋转 90得到图 3，如果 BD2，AC3 ，请直接写出 CF 的长 【点睛】 （1）如图 1 中，结论：CFDF，CFDF利用直角三角形的斜边中线的性质即可解决问题 （2）成立如图 2 中，延长 DF 交 AC 于 H证明AFHEFD（ASA），即可解决问题 （3）如图 3 中，延长 DF 交 AB 于 H，连接 CH，CD证明AFHEFD（ASA），推出 DFFH， AHDEDB，再证明CAHCBD（SAS），即可解决问题 【详解】解：（1）结论：CFDF，CFDF 理由：如图 1 中， ACEADE90，
12、AFFE， CFAFFE AE，DFAFFE AE， CFDF， FACFCA，FADFDA， CACB，ACB90， CAB45， CFEFAC+FCA2FAC，EFDFAD+FDA2FAD， CFDCFE+EFD2（FAC+FAD）2CAD90， CFDF 故答案为：CFDF，CFDF （2）成立 理由：如图 2 中，延长 DF 交 AC 于 H ACDBDECDE90， ACDE， FEDFAH， AFHEFD，FAFE， AFHEFD（ASA）， DFFH， HCD90， CFFHFD，CFDF （3）如图 3 中，延长 DF 交 AB 于 H，连接 CH，CD ABDCDE90， D
13、EAB， FEDFAH， AFHEFD，FAFE， AFHEFD（ASA）， DFFH，AHDEDB， CAHCBACBD45，CACB， CAHCBD（SAS）， CHCD，ACHBCD， HCDACB90，FHFD， CFDF，CFFHDF ACCB3 ， AB AC6， AHBD2， BH624， 在 RtBDH 中，DH 2 ， CFDFFH 【对应练习对应练习】 1. 请阅读下列材料： 问题：如图，在正方形 和平行四边形 中，点 ， ， 在同一条直线上， 是线段 的中点，连 接 ， 探究：当 与 的夹角为多少度时，平行四边形 是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形 是矩形；
14、然后延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过 推理可以探索出问题的答案 请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题 （1）求证：四边形 是矩形； （2） 与 的夹角为_度时，四边形 是正方形说明理由： 【答案】(1)详见解析；（2）90. 【解析】（1）正方形 ABCD 中，ABC90 ， EBG90 ， BEFG 是矩形； （2）90 ； 理由：延长 GP 交 DC 于点 H， 2. 在 RtABC 中， ACB=90 ， 点 D 与点 B 在 AC 同侧， DACBAC， 且 DA=DC， 过点 B 作 BEDA 交 DC 于点 E，M 为 AB 的中点，连接 MD，ME （1）如图 1，当
15、ADC=90 时，线段 MD 与 ME 的数量关系是 ； （2）如图 2，当ADC=60 时，试探究线段 MD 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图 3，当ADC= 时，求的值 【答案】（1）MD=ME；（2）MD=ME；（3）tan 【解析】 （1）MD=ME如图 1，延长 EM 交 AD 于 F， BEDA，FAM=EBM， AM=BM，AMF=BME，AMFBME， ME MD 3 2 AF=BE，MF=ME，DA=DC，ADC=90 ， BED=ADC=90 ，ACD=45 ， ACB=90 ，ECB=45 ， EBC=BEDECB=45 =ECB， CE=BE，AF=C
16、E，DA=DC，DF=DE， DMEF，DM 平分ADC，MDE=45 ， MD=ME，故答案为：MD=ME； （2）MD=ME，理由： 如图 2，延长 EM 交 AD 于 F，BEDA，FAM=EBM， AM=BM，AMF=BME，AMFBME， AF=BE，MF=ME，DA=DC，ADC=60 ， BED=ADC=60 ，ACD=60 ，ACB=90 ，ECB=30 ， EBC=BEDECB=30 =ECB，CE=BE， AF=CE， DA=DC， DF=DE， DMEF， DM 平分ADC， MDE=30 ， 在 RtMDE 中， tanMDE= =，MD=ME （3）如图 3，延长 EM 交 AD 于 F，BEDA，FAM=EBM， AM=BM，AMF=BME，AMFBME， AF=BE，MF=ME，延长 BE 交 AC 于点 N，BNC=DAC， DA=DC，DCA=DAC，BNC=DCA， ACB=90 ，ECB=EBC，CE=BE，AF=CE， DF=DE
