1、考点考点1 抛物线的定义和标准方程抛物线的定义和标准方程 1.(2020课标理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的 距离为9,则p=( ) A.2 B.3 C.6 D.9 答案答案 C 设焦点为F,点A的坐标为(x0,y0), 由抛物线定义得|AF|=x0+, 点A到y轴的距离为9,x0=9, 9+=12,p=6.故选C. 2 p 2 p 3.(2016课标理,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知| AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8
2、25 答案答案 B 本题考查抛物线的基础知识;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2),则x1=,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p= 4.故选B. 2 2 (2 2) 2p 4 p 2 4 p 2 2 p 4.(2017课标文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方), l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为( ) A. B.2 C.2 D.3 3 5233 答案答案 C 因为直线MF的斜率为,所以直线MF的倾斜角为60,则FMN=60.由抛物线的定义 得|MF
3、|=|MN|,所以MNF为等边三角形.过F作FHMN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以| OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=+2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60=4=2. 故选C. 3 | 2 MF3 2 3 解后反思解后反思 涉及抛物线焦点和准线的有关问题,应充分利用抛物线的定义求解.本题中直线的倾斜 角为特殊角60,通过解三角形更快捷.若联立直线和抛物线的方程求点M的坐标,然后求点N的坐 标,进而求直线NF的方程,再利用点到直线的距离公式求解,运算量会比较大. 5.(2017课标理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x
4、的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若 M为FN的中点,则|FN|= . 答案答案 6 解析解析 本题考查抛物线的定义,考查运算求解能力和方程的思想方法. 如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1| =|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6. 思路分析思路分析 过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解. 6.(2017山东,文15,理14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右
5、支与焦点为F 的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 y=x 2 2 解析解析 设A(x1,y1),B(x2,y2). 因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所 以y1+y2=.由可得=,故双曲线的渐近线方程为y=x. 2 p 2 p 2 p 2 22 22 2, -1 xpy xy ab 2 2 2pb a b a 2 2 2 2 思路分析思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得
6、y1+y2的值(用p表示).再联立双曲线和抛物线的 方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y1+y2.从而得的值,近而得渐近线方程. b a 解题关键解题关键 求渐近线方程的关键是求的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、| BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解. 这样利用y1+y2这个整体来建立等量关系便可求解. b a 7.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C
7、于两点M,N,直线y=-1分别交直线 OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 解析解析 (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2. 所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1. (2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1). 设直线l的方程为y=kx-1(k0). 由得x2+4kx-4=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4, 直线OM的方程为y=x. 令y=-1,得点A的横坐标xA=-. 同理得点B的横坐标xB=-. 设点D(0,n), 则=,=, =+(n+1)2=+(n+1)2 2 -1, -4 ykx xy
8、 1 1 y x 1 1 x y 2 2 x y DA 1 1 -,-1- x n y DB 2 2 -,-1- x n y DADB 12 12 x x y y 12 22 12 - 44 x x xx =+(n+1)2=-4+(n+1)2. 令=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3. 综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3). 12 16 x x DADB 1.(2016四川理,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( ) A. B. C. D
9、.1 3 3 2 3 2 2 以下为教师用书专用 答案答案 C 本题考查抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设P(x,y),|PM|=2|MF|,=2, 又F, kOM=,由题易知kOM最大时y0, kOM=,当且仅当x=p时取等号. | | PM MF ,0 2 p 2 2 , 123 , 123 M M p x xp x yy y M M y x y xp 2px xp 2p p x x 2 2 p p 2 2 2.(2016浙江理,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 . 答案答案 9 解析解析 本题考查抛物线的定义. 设M(x0,
10、y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,x0=9,即点M到y轴的距 离为9. 3.(2016天津理,14,5分)设抛物线(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的 垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3,则p的值为 . 2 2, 2 xpt ypt 7 ,0 2 p 2 答案答案 6 解析解析 本题考查抛物线的定义. 由已知得抛物线的方程为y2=2px(p0),则|FC|=3p,|AF|=|AB|=p,A(p,p)(不妨设A在第一象限). 易证EFCEAB,所以=2,所以=,所以SA
11、CE=SAFC=pp=p2=3 ,所以p=. 3 2 2 | | EF AE | | FC AB | | FC AF | | AE AF 1 3 1 3 1 3 3 2 2 2 2 26 思路分析思路分析 利用已知条件及抛物线的定义得|AF|=|AB|=p,从而可取A(p,p),问题即可迎刃而解. 3 2 2 4.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0). (1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程; (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. 求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p); 求p
12、的取值范围. 解析解析 本题考查抛物线的定义与方程,直线与抛物线的位置关系. (1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为, 由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4. 所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0). 因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ, 于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b. 证明:由消去x得y2+2py-2pb=0.(*) 因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2, 从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得p+2b0. 方程(*)的两根为y1,2=-p
13、,从而y0=-p. 因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p. 因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p). 因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上, ,0 2 p ,0 2 p 2 p 2 2, - ypx yxb 2 2ppb 12 2 yy 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p. 由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF |-1. (1)求p的值; (2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴 交于点M.求M的横坐标的取值范围. 解析解析 本题考查抛物线的定
14、义、直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力和方程的思想方法. (1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1, 即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1. 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由消去x得y2-4sy-4=0, 故y1y2=-4,所以,B. 又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-. 从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-. 所以N. 设M(m,0),由A,M,N三点共线得 =,于是m=. 所以m2.经检验,m2满足题意. 2 p 2 4
15、 , 1 yx xsy 2 12 ,- tt 2 2 -1 t t 2-1 2 t t 2-1 2 t t 2 t 2 2 32 ,- -1 t tt 2 2 - t tm 2 2 2 2 2 3 - -1 t t t t t 2 2 2 -1 t t 综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+). 思路分析思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程, 与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后 利用A,M,N三点共线可得kAM=kAN,最终求出结果. 1.(2020课标,文7,理5,
16、5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若OD OE,则C的焦点坐标为( ) A. B. C.(1,0) D.(2,0) 1 ,0 4 1 ,0 2 考点考点2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 答案答案 B 由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由得D(2,2),E(2,-2 ),ODOE,=4-4p=0,p=1,C的焦点坐标为,故选B. 2 2, 2 x ypx p pODOE 1 ,0 2 2.(2019课标,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.8 2 3
17、 x p 2 y p 答案答案 D 本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为, 由已知得椭圆+=1的一个焦点为, 3p-p=,又p0,p=8. ,0 2 p 2 3 x p 2 y p ,0 2 p 2 4 p 思路分析思路分析 利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,解方程得p的值. 3.(2017课标理,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C 交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C
18、.12 D.10 答案答案 A 如图所示,设直线AB的倾斜角为,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1, 则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得=cos , 则|AF|=,同理,|BF|=, 则|AB|=|AF|+|BF|=, 即|AB|=, 因l1与l2垂直,故直线DE的倾斜角为+或-, 则|DE|=,则|AB|+|DE|=+=, 则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A. | | AG AF |- | AF p AF 1-cos p 1cos p 2 2 sin p 2 4 sin 2 2 2 4 cos 2 4 sin 2 4 cos 22
19、4 sincos 2 4 1 sin2 2 2 16 sin 2 方法总结方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径. 如图,在抛物线y2=2px(p0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为,则在FEA中,cos = cosEAF=,则可得到焦半径|AF|=,同理,|BF|=, 熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:+=等 的帮助很大. | | AE AF |- | AF p AF1-cos p 1cos p 1 |AF 1 |BF 2 p 4.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4
20、,则抛 物线的焦点坐标为 . 答案答案 (1,0) 解析解析 本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算. 由题意得a0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B, 不妨令A在B的上方, 则A(1,2),B(1,-2), 故|AB|=4=4,得a=1, 故抛物线的方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0). aa a 5.(2019课标理,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴 的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若=3,求|AB|. 3 2 APPB 思路分析思路分析 (1)由|AF|+|BF|=4确定A、B两点横坐标之和
21、,联立直线l的方程(含参)与抛物线方程,由 根与系数的关系得A、B两点横坐标之和的含参表达式.两者相等,列方程求出参数. (2)P点在x轴上,由=3知A、B两点纵坐标的比例关系,由根与系数的关系得A、B两点纵坐标 之和,二者联立,确定A、B的纵坐标,进而确定A、B的坐标,从而求得|AB|. APPB 6.(2018课标,文20,理19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A, B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 1.(2016课标文,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k0)与
22、C交于点P,PFx轴,则k= ( ) A. B.1 C. D.2 k x 1 2 3 2 以下为教师用书专用 答案答案 D 本题考查抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=(k0)得k=12=2,故选D. k x 2.(2016四川文,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 答案答案 D 本题考查抛物线的几何性质. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为, 抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0), 故选D. ,0 2 p 考点考点1 抛物线的定义和标
23、准方程抛物线的定义和标准方程 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020山东滨州期末,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PAl,A为垂足. 若直线AF的斜率为-,则PAF的面积为( ) A.2 B.4 C.8 D.8 3 333 答案答案 B 由题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),设抛物线y2=4x的准线与x轴的交点为D,则|DF|=2, 又直线AF的斜率为-,所以AFD=60,因此|AF|=2|DF|=4,FAP=60.由抛物线的定义可得:|PA| =|PF|,所以PAF是边长为4的等边三角形,所以PAF的面积为44sin 60=4.故选B.
24、 3 1 2 3 2.(2020湖南长沙第一中学第七次联考,8)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点 为F,M是抛物线C上的一点,若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则p= ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案答案 D 依题意得,OFM的外接圆半径为6,OFM的外接圆圆心应位于线段OF的垂直平分线 x=上,圆心到准线x=-的距离等于6,即有+=6,解得p=8.故选D. 4 p 2 p 4 p 2 p 3.(2019湖南岳阳二模,4)过抛物线x2=4y的焦点F作直线,交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,
25、则|P1P2|=( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案答案 C 过P1作P1M准线l,垂足为M,过P2作P2N准线l,垂足为N,由抛物线定义知|P1F|=|P1M|=y1 +1,|P2F|=|P2N|=y2+1,|P1P2|=|P1F|+|P2F|=y1+y2+2=8,故选C. 4.(2018湖北四地七校3月联考,9)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于x轴的 直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是 ( ) A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=-8x 答案答案 D 因为ABx
26、轴,且AB过焦点F,所以线段AB是焦点弦,且|AB|=2p,所以SCAB=2p =24,解得p=4或-12(舍),所以抛物线方程为y2=8x,所以直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的 抛物线的标准方程为y2=-8x,故选D. 1 2 4 2 p 5.(2020海南三模,15)已知圆x2-2x+y2-8=0的圆心是抛物线y2=2px(p0)的焦点F,过点F的直线交该抛 物线的准线于点A,与该抛物线的一个交点为B,且=-3,则|AB|= . FAFB 答案案 32 3 解析解析 本题考查抛物线的标准方程和几何性质. 设准线与x轴的交点为D,过B作BC垂直于准线,垂足为C. 圆x2-2x+
27、y2-8=0,即(x-1)2+y2=9,圆心坐标为(1,0),则=1,p=2,则抛物线方程为y2=4x,所以|DF|=2,因为 =-3,所以|AF|FB|=31,又|DF|BC|=|AF|AB|,所以2|BC|=34,得|BC|=|BF|=,所以| AB|=4|BF|=. 2 p FAFB 8 3 32 3 1.(2020全国第三次在线大联考,12)已知过点M(4,0)的直线与抛物线C:y2=4x交于点A,B,设O为坐标 原点,则的最大值为( ) A.1 B.2 C. D. | | | OAOB AB 2 2 2 考点考点2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 答案答案 C 设A(x1,y1),
28、B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+4,与y2=4x联立得y2-4my-16=0,则y1+y2=4m,y1y2=- 16,所以=(my1+4)(my2+4)+y1y2=(1+m2)y1y2+4m (y1+y2)+16=-16(1+m2)+16m2+16=0,所以OA OB,则|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以|OA|+|OB|=|AB|(当且仅当|OA|=|OB|时等号成立), 所以的最大值为.故选C. OA OB 22 2(| )OAOB2 | | | OAOB AB 2 2.(2020湖北十堰第二中学二诊,11)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F作斜率为1的
29、直线l1 与抛物线C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线l2与x轴交于点P,若|PF|=6,则|MN|=( ) A.10 B.12 C.14 D.16 答案答案 B 设M(x1,y1),N(x2,y2).由题意知直线MN:y=x-,联立得y2-2py-p2=0,则y1+y2=2p,y1y2 =-p2,设线段MN的中点为A(x0,y0),则=p=y0,代入y=x-中,解得x0=p,故直线l2:y-p=-.令y =0,得x=,故|PF|=2p=6,则y1+y2=6,y1y2=-9,则|MN|=6=12. 2 p 2 -, 2 2, p yx ypx 12 2 yy 2 p3 2 3 - 2 p x
30、 5 2 p 22 3.(2020福建泉州3月适应性线上测试,1)已知C:y2=2px(p0)的准线l与x轴交于点A,点B,P在C上, ABF是面积为2的等腰直角三角形,则C的方程为 ,的最小值为 . | | PF PA 答案答案 y2=4x; 2 2 解析解析 由于ABF是面积为2的等腰直角三角形,所以|AF|=|BF|=p,所以B,所以 p p=2,p= 2. 所以C的方程为y2=4x. 由对称性,不妨设P(x0,2 ),因为抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),A(-1,0), 所以|PF|=x0+1,|PA|=,所以=, 当且仅当x0=1时取等号,故的最小值为. , 2 p p 1
31、 2 0 x 22 00 (1)(2)xx 2 00 (1)4xx | | PF PA 0 2 00 1 (1)4 x xx 0 2 0 1 4 1 (1) x x 2 2 | | PF PA 2 2 4.(2020广东六校联盟第三次联考,19)已知O为坐标原点,过点M(1,0)的直线l与抛物线C:y2=2px(p0) 交于A,B两点,且=-3. (1)求抛物线C的方程; (2)过点M作直线ll交抛物线C于P,Q两点,记OAB,OPQ的面积分别为S1,S2,证明:+为定 值. OA OB 2 1 1 S 2 2 1 S 解析解析 (1)设直线l的方程为x=my+1, 与抛物线C:y2=2px(
32、p0)联立,消去x得y2-2pmy-2p=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2p, 由=-3,得x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2 =(1+m2)y1y2+(y1+y2)m+1 =(1+m2) (-2p)+2pm2+1 =-2p+1=-3,解得p=2,抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明:由(1)知,点M(1,0)是抛物线C的焦点, 所以|AB|=x1+x2+p=my1+my2+2+p=4m2+4, 又原点到直线l的距离为d=, 所以S1=4(m2+1)=2, 又直线l过点M,且ll, 所以S2=2=2, 所以+=+=,即
33、+为定值. OA OB 2 1 1m 1 2 2 1 1m 2 1m 2 1 1 m 2 2 1m m 2 1 1 S 2 2 1 S 2 1 4(1)m 2 2 4(1) m m 1 4 2 1 1 S 2 2 1 S 思路分析思路分析 (1)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线C的方程联立消去x得关于y的方程,利用根与系 数的关系表示出y1+y2,y1y2,从而由=-3求得p的值; (2)由题意求出弦长|AB|以及原点到直线l的距离,计算OAB的面积S1,同理,求出OPQ的面积S2, 再求+的值. OA OB 2 1 1 S 2 2 1 S 1.(2019河北石家庄二模,7)已知抛物线y
34、2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(2,2)的直线l交 抛物线于另一点N,则|NF|FM|等于( ) A.12 B.13 C.1 D.1 2 23 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:35分钟 分值:55分) 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 答案答案 A 抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),直线l过点F和点M(2,2),直线l的方程为y=2 (x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,点N的横坐标为.抛物线y2=4x的准线方 程为x=-1,|NF|=,|MF|=3,|NF|MF|=12,故选A. 2 2 2 4 , 2 2( -1) yx yx 1
35、 2 1 2 3 2 2.(2019湖北武汉4月调研,11)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过F且倾斜角为120的直线与抛 物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=4,则抛物线C的准线方 程为( ) A.x=-1 B.x=-2 C.x=- D.x=-3 3 3 2 答案答案 D 设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线C的焦点为知AF,BF的中点的纵坐标分别为,则| MN|=|y2-y1|=4,所以|y2-y1|=8.由题意知直线AB的方程为y=-,与抛物线方程y2 =2px联立消去x,得y=-,即y2+2py-p2=0,所以y1+y
36、2=-p,y1y2=-p2,于是由|y2-y1|=8, 得(y2+y1)2-4y1y2=192,所以+4p2=192,解得p=6(舍负),则=3,所以抛物线C的准线方程为x=- 3,故选D. ,0 2 p 1 2 y 2 2 y 21 - 22 yy1 2 333- 2 p x 3 2 - 22 yp p 33 2 3 3 2 2 - 3 p 2 p 思路分析思路分析 设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的焦点坐标确定AF,BF的中点的纵坐标,根据条件建立关 于y1,y2的等式,然后由抛物线方程与直线方程联立,消去x,得关于y的一个一元二次方程,结合根与 系数的关系建立关于p的方程
37、,最后解方程得p的值,进而得抛物线的准线方程. 3.(2020山东百师联盟测试五,8)若点M为抛物线y=x2上任意一点,点N为圆x2+y2-2y+=0上任意一 点,设函数f(x)=loga(x+2)+2(a0且a1)的图象恒过定点P,则|MP|+|MN|的最小值为( ) A.2 B. C.3 D. 1 4 3 4 5 2 7 2 答案答案 B 函数f(x)的图象恒过定点P(-1,2),抛物线方程为x2=4y,焦点为F(0,1),准线l的方程为y=-1, 圆的标准方程为x2+(y-1)2=,其圆心为F(0,1),半径r=,过点M作MQl于点Q,由抛物线定义可知| MQ|=|MF|,则|MP|+|
38、MN|MP|+|MF|-r=|MP|+|MQ|-|PQ|-=2+1-=(当P,M,Q三点共线时取 “=”),所以|MP|+|MN|的最小值为,故选B. 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 5 2 5 2 4.(2020福建3月质量检测,7)设抛物线E:y2=6x的弦AB过焦点F,|AF|=3|BF|,过A,B分别作E的准线的 垂线,垂足分别是A,B,则四边形AABB的面积等于( ) A.4 B.8 C.16 D.32 3333 答案答案 C 解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为F,所以可设直线AB的方程为x=my+,代入E的方程, 整理得y2-6my-9=0,故y1+y2=6
39、m,y1y2=-9,不妨设y1y2,因为|AF|=3|BF|,所以y1=-3y2,解得y1=3,y2=-, 即A,B, 故|AA|=+=6,|BB|=+=2,|AB|=|y1-y2|=4,故四边形AABB的面积为(|AA|+|BB|) |AB|=(6 +2)4=16. 解法二:设弦AB与x轴的夹角为,则有|AF|=,|BF|=,所以=3 ,所以cos =,故=60,故|AA|=|AF|=6,|BB|=|BF|=2,|AB|=|AB|sin =4, 故直角梯形AABB的面积为(|AA|+|BB|) |AB|=(6+2)4=16. 解法三:如图,作BGAA,垂足为G,连接AF. 设|BF|=m,则
40、|AF|=3m,由抛物线的定义知|AA|=3m, |AG|=|BB|=|BF|=m,所以|AB|=4m,|AG|=2m,所以BAA=60, 3 ,0 2 3 2 33 9 ,3 3 2 1 ,- 3 2 9 2 3 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 33 1-cos p 3 1-cos1cos p 3 1cos 3 1-cos 3 1cos 1 2 3 1 2 1 2 33 即FAA为正三角形, 故BAF=30, 故|AA|=|AF|=2p=6, 所以m=2, 故|AA|=6,|BB|=2,|AB|=4, 故四边形AABB的面积为(|AA|+|BB|) |AB|=(6+2)4=16. 3
41、 1 2 1 2 33 思路分析思路分析 设出直线AB的方程,与抛物线方程联立,并由|AF|=3|BF|,通过一元二次方程根与系数的 关系求出A,B两点的坐标,从而算出梯形的上下底边长及高,即可求得梯形的面积;或者设弦AB与x 轴的夹角为,利用抛物线的焦半径公式表示|AF|,|BF|,并由|AF|=3|BF|求得,进而算出梯形的上下 底边长及高,求得梯形面积;或者把直角梯形分割为矩形和直角三角形,利用抛物线的定义和几何 关系算出梯形的上下底边长及高,亦可求得梯形的面积. 5.(2020山东潍坊模拟,8)抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于 抛物线的对称轴;反之,平行
42、于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知 抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛 物线上的另一点B射出,则ABM的周长为( ) A.+ B.9+ C.+ D.9+ 71 12 2610 83 12 2626 答案答案 D 对于y2=4x,令y=1,得x=,即A, 结合抛物线的光学性质,得AB经过焦点F,设直线AB的方程为y=k(x-1), 与抛物线方程联立可得:k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 据此可得:xAxB=1,xB=4,故|AB|=xA+xB+p=, 将x=4代入y2=4x可得y=4,故B(4,-
43、4), 故|MB|=, 故ABM的周长为|MA|+|AB|+|BM|=+=9+,故选D. 1 4 1 ,1 4 1 A x 25 4 22 (4-3)(-4-1)26 1 3- 4 25 4 2626 6.(2019河北衡水金卷冲刺卷三,11)已知不过原点的动直线l交抛物线C:y2=2px(p0)于M,N两点,O为 坐标原点,F为抛物线C的焦点,且|+|=|-|,若MNF面积的最小值为27,则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 OMONOMON 答案答案 B 设动直线MN的方程为x=my+t,M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知y10,y20,t0,直线MN的方程 与抛物线C的
44、方程y2=2px(p0)联立,消去x,得y2-2pmy-2pt=0,由0得pm2+2t0,y1+y2=2pm,y1y2=-2 pt.由|+|=|-|,得=0,所以x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,可得y1y2=-4p2,所以t=2p, 故直线MN恒过定点Q(2p,0),将t=2p代入得mR,又知|QF|=2p-=,故SMNF=|QF| |y1-y2|= =3p2,当且仅当m=0时,等号成立,由题意得3p2=27,解得p=3,故选B. OMONOMONOMON 2 1 2 y p 2 2 2 y p 2 p3 2 p1 2 1 2 3 2 p 222 416p mp 2 3 2 p 2
45、4m 思路分析思路分析 由|+|=|-|得=0,利用根与系数的关系及整体代换得出直线l恒过 定点(2p,0),表示出MNF的面积,利用函数思想求得SMNF的最小值,从而建立关于p的方程求得结果. OMONOMONOMON 7.(2020山东德州期末,11)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,直线l 与抛物线C交于A、B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=8,则以下结论正确的 是( ) A.p=4 B.= C.|BD|=2|BF| D.|BF|=4 3 DFFA 二、多项选择题(共5分) 答案答案 ABC 如图所示:分别过点A、B作抛物
46、线C的准线m的垂线,垂足分别为点E、M.抛物线C的 准线m交x轴于点P,则|PF|=p,由于直线l的斜率为,所以倾斜角为60,AEx轴,EAF=60,由 抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则AEF为等边三角形,EFP=AEF=60,则PEF=30,|AF|=| EF|=2|PF|=2p=8,p=4,A选项正确; |AE|=|EF|=2|PF|,PFAE,F为AD的中点,则=,B选项正确; DAE=60,ADE=30, |BD|=2|BM|=2|BF|(抛物线的定义),C选项正确; |BD|=2|BF|,|BF|=|DF|=|AF|=,D选项错误.故选ABC. 3 DFFA 1 3 1 3
47、8 3 8.(2020山东济宁期末)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交 点,若=3,则|QF|= . PFQF 三、填空题(每小题5分,共10分) 答案答案 8 3 解析解析 如图所示,设l与x轴的交点为M,过Q向准线l作垂线,垂足是N, 抛物线C:y2=8x,焦点为F(2,0),准线方程为x=-2, =3,=,|QN|=4=, |QF|=|QN|=. PFQF | | QN FM | | PQ PF 2 3 2 3 8 3 8 3 9.(2020湖南、河南、江西联考,14)过抛物线C:x2=4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA,PB,切 点分别为A,B,则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是 . 答案答案 4 解析解析 设A(
