1、考点考点1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 1.(2020新高考,3,5分)若D为ABC的边AB的中点,则= ( ) A.2- B.2- C.2+ D.2+ CB CDCACACD CDCACACD 答案答案 A D为ABC的边AB的中点,=(+),=2-.故选A. CD 1 2 CACBCBCDCA 2.(2017课标文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b| 答案答案 A 本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以ab.故选A.
2、 一题一题多解 将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a b+|b|2=|a|2-2a b+|b|2,即a b=0,故ab.故选A. (2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 以下为教师用书专用 答案答案 4;2 5 解析解析 本题考查向量的线性运算、向量的长度、向量的几何意义、向量绝对值不等式、利用基 本不等式求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2, 且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4, |a+b|+|
3、a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4. =, |a+b|+|a-b|2. 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a b=0. 故当ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2. 解法二:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1. 则|a+b|+|a-b|=+ =+=+ =, 0 x21,当x=0,即ab时, |a+b|+|a-b|取最大值2, 当x2=1,即ab时,|a+b|+|a-b|取最小值4. | | - | 2 aba b 22 | - | 2 aba b 22 ab5 5 5 22 (2)xy 22 ( -2)xy 22 4
4、4 1-xxx 22 -44 1-xxx54x5-4x 2 ( 545-4 )xx 2 102 25-16x 5 1.(2017课标理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 =+,则+的最大值为( ) A.3 B.2 C. D.2 APABAD 25 考点考点2 平面向量基本定理及坐标运算平面向量基本定理及坐标运算 答案答案 A 本题考查向量的运算. 分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为圆 心且与BD相切的圆上,可设P,R. 则=(0,-1),=(-2,0),=.
5、又=+,=-sin +1,=-cos +1, +=2-sin -cos =2-sin(+), 其中tan =,(+)max=3. 22 cos ,sin 55 ABADAP 22 cos -2,sin -1 55 APABAD 2 5 1 5 2 5 1 5 1 2 一题多解一题多解 如图,建立直角坐标系, 则A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),设P(x,y),所以=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0),由等面积法可得圆的半 径为,所以圆的方程为(x-2)2+y2=.由=+,得所以+=-y+1.设z=-y+1,即 -y+1-z=0,因为点P(x,y)在圆上,所以圆心
6、到直线-y+1-z=0的距离小于或等于半径,所以 ,解得1z3,所以z的最大值为3,即+的最大值为3,选A. APABAD 2 5 4 5 APABAD 2 , -1- , x y 2 x 2 x 2 x 2 x |2- | 1 1 4 z 2 5 2.(2018课标文,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= . 答案答案 1 2 解析解析 由题意得2a+b=(4,2), 因为c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=. 1 2 3.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,
7、A在B上方, M为抛物线上一点,=+(-2),则= . OMOAOB 答案答案 3 解析解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由=+(-2)得(x,y)=(1,2)+(-2)(1,-2) =(2-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2-2),解得=3. OMOAOB 1.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= . 以下为教师用书专用 答案答案 -3 解析解析 本题考查向量平行的条件.a=(2,6),b=(-1,),ab,2-6(-1)=0,=-3. 2.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当
8、每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1+2+3 +4+|的最小值是 ,最大值是 . ABBC CDDA 56 ACBD 答案答案 0;2 5 解析解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据,以此来 考查学生的数据处理能力,考查数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,0),=(0,1),=(-1,0),=(0,-1),=(1,1),=(-1,1), 故|1+2+3+4+5+6| =|(1-3+5-6,2-4+5+6)| =.(*) 显然(*)式中第一个括号中的1,
9、3与第二个括号中的2,4的取值互不影响,只需讨论5与6的取值 情况即可, 当5与6同号时,不妨取5=1,6=1, 则(*)式即为, ABBCCDDAACBD ABBCCDDAACBD 22 13562456 ( - )( -) 22 1324 ( - )( -2) 1,2,3,4-1,1,1=3,2-4=-2(2=-1,4=1)时,(*)式取最小值0,当|1-3|=2(如1=1,3=-1),2-4=2 (2=1,4=-1)时,(*)式取最大值2, 当5与6异号时,不妨取5=1,6=-1,则(*)式即为.同理可得最小值仍为0,最大值仍 为2,综上,最小值为0,最大值为2. 5 22 1324 (
10、 -2)( - ) 55 解题关键解题关键 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正方 形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1和-1),这就给建系及讨论i的值创造了条件,也是求解本 题的突破口. 一题多解一题多解 由正方形ABCD的边长为1,可得 +=,=-,=0, 1+2+3+4+5+6 =(1-3+5-6)+(2-4+5+6). 要使|1+2+3+4+5+6|的值最小,只需要|1-3+5-6|=|2-4+5+6|=0,此时只需 要取1=1,2=-1,3=1,4=1,5=1,6=1, 此时=0, |1+2+3+4+5+6 = =(1-3+5
11、-6)2+(2-4+5+6)2 (|1|+|3|+|5-6|)2+(|2|+|4|+|5+6|)2 =(2+|5-6|)2+(2+|5+6|)2 =8+4(|5-6|+|5+6|)+(5-6)2+(5+6)2 =8+4+2(+) =12+4 =12+4=20, ABADACBDADAB ABAD ABBCCDDAACBD ABAD ABBCCDDAACBD 123456min | AB BC CD DA AC BD ABBCCDDAAC 2 |BD 2 13562456 |( - )( -)| AB AD 2 5656 (| - | |) 2 5 2 6 2222 565656 ( - )()
12、2|-| 2222 5656 2()2|-| 等号成立当且仅当1,-3,5-6均非负或者均非正,并且2,-4,5+6均非负或者均非正. 比如取1=1,2=1,3=-1,4=-1,5=1,6=1, 则=2. 所以最小值为0,最大值为2. 123456max | AB BC CD DA AC BD205 5 考点考点1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020河北廊坊第一次联考,6)在ABC中,=2,E是AD的中点,则=( ) A.+ B.- C.- D.+ BDDCAE 1 6 AB 1 3 AC 1 3 AB 1 6 AC 1 6
13、AB 1 3 AC 1 3 AB 1 6 AC 答案答案 A 本题主要考查了平面向量的线性运算,考查了平面向量运算的三角形法则和平行四边 形法则,考查了推理与运算能力. 在ABC中,因为=2,所以=(-)=-,则=+=+-= +, 因为E是AD的中点,所以=+,故选A. BDDCBD 2 3 ACAB 2 3 AC 2 3 ABADABBDAB 2 3 AC 2 3 AB 1 3 AB 2 3 AC AE 1 2 AD 1 6 AB 1 3 AC 思路分析思路分析 在ABC中,根据题设=2,化简得=+,再由E是AD的中点,即可得到 =+. BDDCAD 1 3 AB 2 3 AC AE 1 6
14、 AB 1 3 AC 2.(2020福建质量检测,6)在ABC中,=2,且E为AC的中点,则=( ) A.-+ B.- C.- D.+ DCBDDE 2 3 AB 1 6 AC 2 3 AB 1 6 AC 1 3 AB 1 6 AC 2 3 AB 5 6 AC 答案答案 A 本题考查平面向量的概念、平面向量的线性运算等基础知识,考查运算求解能力,考查 转化与化归思想,考查直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性. 解法一:=-=-=-(-)=-+. 解法二:=+=-+=(+)-+=-+. 解法三:如图,作=,以,为基底将分解, 得=+=x+y, 易知x0,排除B、C、D选项,故选A. DEAE
15、AD 1 2 AC 1 3 ABBC 1 2 ACAB 1 3 ACAB 2 3 AB 1 6 AC DEDBBAAE 1 3 CBAB 1 2 AC 1 3 CAABAB 1 2 AC 2 3 AB 1 6 AC AFDEABACAF AFANAMABAC 3.(2020山东枣庄统考,6)如图,在ABC中,点D,E是线段BC上两个动点,且+=x+y,则 +的最小值为( ) A. B.2 C. D. ADAEABAC 1 x 4 y 3 2 5 2 9 2 答案答案 D 易知x,y均为正数,设=m+n,=+,B,D,C共线,m+n=1,同理,+= 1, +=x+y=(m+)+(n+), x+y
16、=m+n+=2, +=(x+y)=,当且仅当y=2x时取等号, 则+的最小值为,故选D. ADABACAEABAC ADAEABACABAC 1 x 4 y 1 2 14 xy 1 2 4 5 yx xy 1 2 4 52 yx xy 9 2 1 x 4 y 9 2 4.(2019山东师大附中四模,3)在ABC中,O为AC的中点,若=+(,R),则+=( ) A.1 B. C. D. AOABBC 1 2 2 3 4 3 答案答案 A O为AC的中点,=+, =,+=1.故选A. AO 1 2 AC 1 2 AB 1 2 BC 1 2 1.(2020百校联考高考考前冲刺(二),2)已知向量a=
17、(1,0),b=(1,),则与2a-b共线的单位向量为( ) A. B. C.或 D.或 3 13 ,- 22 13 -, 22 31 ,- 22 3 1 -, 22 13 ,- 22 13 -, 22 考点考点2 平面向量基本定理及坐标运算平面向量基本定理及坐标运算 答案答案 D 由题意可知2a-b=(1,-), |2a-b|=2, 与2a-b共线的单位向量为=. 3 2 - |2 - | a b a b 13 ,- 22 2.(2020湖南长沙明德中学3月月考,5)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-b)c,则实数=( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 答
18、案答案 A 易知a-b=(1+,1-3), 因为(a-b)c,c=(2,1), 所以(1+,1-3) (2,1)=2+2+1-3=0, 解得=3.故选A. 3.(2019广东江门一模,7)ABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,CDAB,垂足为D,则=( ) A.+ B.+ C.+ D.+ CD 4 7 CA 3 7 CB 3 7 CA 4 7 CB 16 25 CA 9 25 CB 9 25 CA 16 25 CB 答案答案 C 建立如图所示的平面直角坐标系,可得C(0,0),A(0,3),B(4,0),设=, 则-=(-), 所以=+(1-)=(4-4,3), 又,=(4,-3), 所
19、以4(4-4)+(-3)3=0, 解得=, 所以=+,故选C. BDBA CDCBCACB CDCACB CDAB AB 16 25 CD 16 25 CA 9 25 CB 4.(2020河北廊坊第一次联考,13)已知向量a=(7,16),a-b=(5,16-k),且ab,则k= . 答案答案 - 7 8 解析解析 本题主要考查了向量的坐标表示及运算,着重考查了推理与运算能力. 由向量a=(7,16),a-b=(5,16-k),可得b=(2,k), 因为ab,所以a b=72+16k=0,解得k=-. 7 8 1.(2020河北邯郸一模,4)在平行四边形ABCD中,若=4,则=( ) A.-+
20、 B.+ C.-+ D.-+ CEEDBE 4 5 ABAD 4 5 ABAD AB 4 5 AD 3 4 ABAD B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:35分钟 分值:45分) 一、单项选择题(每小题5分,共25分) 答案答案 A =4,=,=+=+=-+. CE EDCE 4 5 CDBEBCCEAD 4 5 CD 4 5 ABAD 2.(2020湖南永州祁阳二模,8)ABC中,点D在AB上,CD平分ACB,若=a,=b,|a|=2,|b|=3,则 =( ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b CBCACD 1 3 2 3 2 3 1 3 3 5 2 5 2 5 3
21、5 答案答案 C 因为CD平分ACB,所以=,所以=a+b,又因为A,D,B三点共线,所以 +=1,所以=,故=a+b.故选C. CD | | | ab ab CD 2 3 2 3 6 5 CD 3 5 2 5 方法总结方法总结 对于一个角平分线的向量表示问题,用a,b分别表示出与其同向的单位向量,将角平分 线所对应的向量表示为的形式,这实际上是利用向量加法及菱形的几何性质得到的. | | | ab ab 3.(2018广东珠海期末,6)已知向量a=(,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.2 答案答案 D |a-b|=|a+b|,a
22、 b=0,向量a=(,2),b=(-1,1),a b=-+2=0,解得=2.故选D. 思路分析思路分析 由向量|a-b|=|a+b|,得a b=0,把a=(,2),b=(-1,1)代入求出的值. 4.(2019河北3月质检,6)在ABC中,O为ABC的重心.若=+,则-2=( ) A.- B.-1 C. D.- BOABAC 1 2 4 3 4 3 答案答案 D 如图,延长BO交AC于点M,点O为ABC的重心,M为AC的中点,= +=-+=-+(-)=-+,又知=+,=-,=,- 2=-2=-,故选D. BO 2 3 BM 2 3 1 2 BA 1 2 BC 1 3 AB 1 3 BC 1 3
23、 AB 1 3 ACAB 2 3 AB 1 3 ACBOABAC 2 3 1 3 2 3 1 3 4 3 5.(2018湖北孝感二模,8)设D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点,则+2+3= ( ) A. B. C. D. DAEBFC 1 2 AD 3 2 AD 1 2 AC 3 2 AC 答案答案 D 因为D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点,所以+2+3=(+) +2(+)+3(+)=+=+=+ =,故选D. DAEBFC 1 2 BACA 1 2 ABCB 1 2 ACBC 1 2 BAABCB 3 2 BC 3 2 AC 1 2 CA 1 2 AB 1 2 B
24、CAC 1 2 ACAC 3 2 AC 6.(2020山东省实验中学第二次诊断,11)关于平面向量a,b,c,下列说法中不正确的是( ) A.若ab且bc,则ac B.(a+b) c=a c+b c C.若a b=a c,且a0,则b=c D.(a b) c=a (b c) 二、多项选择题(共5分) 答案答案 ACD 对于A,若b=0,因为0与任意向量平行,所以a不一定与c平行,故A不正确; 对于B,向量数量积满足分配律,故B正确; 对于C,由a b=a c得a (b-c)=0,所以b=c或a(b-c),故C不正确; 对于D,(a b) c表示与c共线的向量,a (b c)表示与a共线的向量,
25、故D不正确.故选ACD. 思路分析思路分析 利用向量共线的条件,数量积的相关性质逐一进行判断即可. 7.(2020山东六地市部分学校3月月考,13)已知向量a=(1,x+1),b=(x,2),若满足ab,且方向相同,则x= . 三、填空题(每小题5分,共15分) 答案答案 1 解析解析 ab,a=(1,x+1),b=(x,2),x(x+1)-2=0,解得x=1或x=-2, 当x=1时,a=(1,2),b=(1,2),满足题意, 当x=-2时,a=(1,-1),b=(-2,2),方向相反,不符合题意,舍去.x=1. 8.(2020山东潍坊2月模拟,13)已知向量a=(1,1),b=(-1,3),
26、c=(2,1),且(a-b)c,则= . 答案答案 1 7 解析解析 本题主要考查向量的坐标运算和向量平行的坐标表示的应用,同时考查了数学运算的核心 素养. 向量a=(1,1),b=(-1,3), 所以a-b=(1+,1-3), 又(a-b)c,c=(2,1), 所以2(1-3)-1(1+)=0,解得=. 1 7 思路分析思路分析 先利用向量的坐标运算求出a-b,再根据向量平行的坐标表示即可求出的值. 9.(2019广东七校第二次联考,16)已知G为ABC的重心,过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P, Q,若=,则ABC与APQ面积的比值为 . AP 3 5 AB 答案答案 20 9 解析
27、解析 设=(01),因为G为ABC的重心,所以=(+)=+ ,由P,G,Q三点共线,得+=1,解得=,所以=. AQACAG 1 3 ABAC 1 3 51 3 APAQ 5 9 AP 1 3 AQ 5 9 1 3 3 4 ABC APQ S S 1 sin 2 1 sin 2 AB ACBAC AP AQBAC 33 54 AB AC ABAC 20 9 解题思路解题思路 设=(01),根据G为ABC的重心,结合P,G,Q三点共线求得的值,从而可求 得两三角形面积的比值. AQAC 1.(2020 5 3原创题)在正六边形ABCDEF中,对角线BD,CF相交于点P.若=x+y,则x+y= (
28、 ) A.2 B. C.3 D. APABAF 5 2 7 2 答案答案 B 如图,记正六边形ABCDEF的中心为点O,连接OB,OD,易证四边形OBCD为菱形,且P恰 为其中心,于是=, 因此=+=+,因为=x+y,所以x=,y=1,故x+y=. FP 3 2 FO 3 2 AB APAFFPAF 3 2 ABAPABAF 3 2 5 2 命题说明命题说明 本题以正六边形为载体,考查平面向量基本定理. 名师点睛名师点睛 平面向量的运算是平面向量的“核心”,是高频考点.平面向量运算有两大类,即代数 运算和几何运算,因此我们在解决平面向量运算问题时应该综合考虑题目条件,选择适当的方向, 本题这两
29、个方向都可行,不妨试一试. 2.(多选题)(2020 5 3原创题)下列命题正确的是( ) A.-+-=0 B.在ABC中,若O点满足+=0,则O点是ABC的重心 C.若a=(1,1),把a向右平移2个单位,得到的向量的坐标为(3,1) D.在ABC中,若=,则P点的轨迹经过ABC的内心 ABACBDCD OAOBOC CP | CACB CACB 答案答案 ABD 对于A,-+-=+=0,故A正确;对于B,设BC的中点为D,当+ =0时,能得到=-(+),所以=-2,所以O是ABC的重心,故B正确;对于C,向量由向 量的方向和模确定,向右平移不改变这两个量,故C错误;对于D,根据向量加法的几
30、何意义知,以 ,为邻边所得到的平行四边形是菱形,点P在该菱形的对角线上,由菱形的对角线平分一对 对角,得P点在ACB的平分线所在直线上,故D正确. ABACBDCDCBBCOAOB OCOAOBOCOAOD | CA CA| CB CB 命题说明命题说明 本题从多角度考查向量的概念,信息量大,多选或少选都算错,看似简单,但错误率较高. 3.(2020 5 3原创题)在ABC中,M,N分别是边AB,AC的中点,点O是线段MN上异于端点的一点,且满 足+3+4=0(0),则= . OAOBOC 答案答案 7 解析解析 解法一:由已知得=-, 由M,O,N三点共线,知tR,使=t, 故2=2t,故+
31、=t(+), 整理得=+, 对比两式的系数,得解得 解法二:因为M是AB的中点,所以=(+), 于是=2-,同理=2-, 将两式代入+3+4=0, 整理得(-7)+6+8=0, 因为M,O,N三点共线,故pR,使得=p, 于是(-7)+(6p+8)=0, 显然,不共线,故-7=6p+8=0,故=7. OA 3 OB 4 OC OMON OMONOAOBOAOC OA 1 -1t OB 1- t t OC 31 -, -1 4 -, 1- t t t 4 -, 3 7. t OM 1 2 OAOB OBOMOAOCONOA OAOBOC OAOMON OMON OAON OAON 命题说明命题说明 本题重点考查了平面向量的运算以及平面向量基本定理,比较充分地体现了考基础、 考能力、考素养的精神.
