1、考点考点1 数量积的定义及夹角与模问题数量积的定义及夹角与模问题 1.(2020课标理,6,5分)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a b=-6,则cos=( ) A.- B.- C. D. 31 35 19 35 17 35 19 35 答案答案 D 由题意得cos=.故选D. () | | aab a ab 2 22 | |2 aa b aaba b 25-6 52536-12 19 35 2.(2020课标文,5,5分)已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向量中,与b垂直的是( ) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 答案答案 D 要判断A、B、C、D四个
2、选项中的向量哪个与b垂直,只需判断这四个向量哪个与b的 数量积为零即可. A.(a+2b) b=a b+2b2=|a|b|cos 60+2|b|2=11cos 60+212=0. B.(2a+b) b=2a b+b2=2|a|b|cos 60+|b|2=211cos 60+12=20. C.(a-2b) b=a b-2b2=|a|b|cos 60-2|b|2=11cos 60-212=-0. D.(2a-b) b=2a b-b2=2|a|b|cos 60-|b|2=211cos 60-12=0.故选D. 5 2 3 2 3.(2019课标理,3,5分)已知=(2,3),=(3,t),|=1,则
3、=( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 ABACBCABBC 答案答案 C 本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方程的 思想方法.考查的核心素养为数学运算. =-=(1,t-3),|=1,t=3, =(2,3) (1,0)=2. BCACABBC 22 1( -3)t ABBC 思路分析思路分析 先利用|=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积. BC 4.(2018课标理,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a b=-1,则a (2a-b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 答案答案 B 本题考查平面向量的运算. 因为|a|=1,a
4、b=-1,所以a (2a-b)=2|a|2-a b=212-(-1)=3.故选B. 5.(2020课标理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= . 答案答案 3 解析解析 由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2a b=1,而|a|=|b|=1,故a b=-,|a-b|= =. 1 2 2 | - |a b 22 ab -2a b 1 1 1 3 6.(2020课标理,13,5分)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k= . 答案答案 2 2 解析解析 因为(ka-b) a=ka2-a b=0,且单位向量a,b的夹角为45,所以k-=0
5、,即k=. 2 2 2 2 7.(2020课标文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m= . 答案答案 5 解析解析 由ab得a b=0,即m+1-(2m-4)=0,解得m=5. 8.(2019课标理,13,5分)已知a,b为单位向量,且a b=0,若c=2a-b,则cos= . 5 答案答案 2 3 解析解析 本题主要考查平面向量的数量积、向量的模及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、 夹角的求解,考查学生的运算求解能力,体现了数学运算的核心素养. |a|=|b|=1,a b=0, a c=a (2a-b)=2a2-a b=2, |c|=|2a-b|=
6、3. cos=. 55 5 2 (2 - 5 )ab 22 4a5b -4 5a b | | | a c a c 2 3 小题巧解小题巧解 不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=. 55 2 1 3 2 3 方法总结方法总结 求解向量模的方法: a2=a a=|a|2或|a|=; |ab|=. a a 2 ()ab 9.(2017课标理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 答案答案 2 3 解析解析 本题考查向量数量积的计算. 由题意知a b=|a| |b|cos 60=21=1,则|a+2b
7、|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a b=4+4+4=12.所以|a+2b|=2. 1 2 3 10.(2016课标理,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= . 答案答案 -2 解析解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab,a b=m+2=0,m=-2. 11.(2019天津,文14,理14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的 延长线上,且AE=BE,则= . 3 BD AE 答案答案 -1 解析解析 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,EAB=
8、30, 在EAB中,AB=2,EA=EB=2. 以A为坐标原点,直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 则A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,),=(2,-),=(1,),=(2,-) (1,)=-1. 解法二:同解法一,求出EB=EA=2,以,为一组基底,则=-,=+=-, =(-) =-+- 3 33BD3AE3BD AE33 ABADBDADABAEABBEAB 2 5 AD BD AEADAB 2 - 5 ABAD ADAB 2 AB 2 5 ABAD 2 5 2 AD=52-12-25=-1. 7 5 3 3 2 2 5 1.(2019课标文,3,5分)已知向量a=
9、(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( ) A. B.2 C.5 D.50 22 以下为教师用书专用 答案答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=,故选A. 22 (-1)12 一题多解一题多解 a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,a b=12,则|a-b|=.故选 A. 22 -2aa bb13-2 12132 2.(2016课标理,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8
10、答案答案 D 由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)b,43-2(m-2)=0.m=8.故选D. 3.(2016课标,文3,理3,5分)已知向量=,=,则ABC=( ) A.30 B.45 C.60 D.120 BA 13 , 22 BC 3 1 , 22 答案答案 A cosABC=,所以ABC=30,故选A. | BA BC BA BC 3 2 4.(2016山东理,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n(tm+n),则实数t的值为 ( ) A.4 B.-4 C. D.- 1 3 9 4 9 4 答案答案 B 因为n(tm+n),所以tm n+n2=0,所
11、以m n=-,又4|m|=3|n|,所以cos=- =,所以t=-4.故选B. 2 n t| | | m n m n 2 4 3| | m n n 4 3t 1 3 5.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2,则 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6 D.0 BMMACNNA BCOM 答案答案 C 本题考查向量的运算. 解法一:连接OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-), =3(-)=3(-|2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.故选C. 解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以
12、A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x 轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 因为MON=120,ON=2,OM=1, 所以O,C,M,B. 故=-=-6.故选C. BCACABANAMONOAOMOAONOM BCOMONOMOMONOMOM 3 2, 2 3 3 0, 2 5 ,0 2 15 ,0 2 BCOM 15 3 3 -, 22 13 ,- 22 15 4 9 4 6.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足|=1,= ,则|2的最大值是( ) A. B. C. D. 3APPM MCBM 43 4 49 4 376 3 4 372
13、 33 4 答案答案 B 建立平面直角坐标系如图所示, 则B(-,0),C(,0),A(0,3). 设P(x,y),M(x0,y0),因为|=1,所以(x-0)2+(y-3)2=1, 因为=,所以M为PC的中点, 则x0=,y0=, 33 AP PMMC 3 2 x 2 y 所以x=2x0-,y=2y0,代入式得(2x0-)2+(2y0-3)2=1,即+=,此即为点M的轨迹方 程,表示以为圆心,为半径的圆,所以|max=+=,所以|=. 33 2 0 3 - 2 x 2 0 3 - 2 y 1 4 3 3 , 22 1 2 BM 2 2 33 3 22 1 2 7 2 BM 2 max | 4
14、9 4 7.(2016四川理,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足|=|=|,=-2,动 点P,M满足|=1,=,则|2的最大值是( ) A. B. C. D. DADBDCDADBDBDCDCDA APPMMCBM 43 4 49 4 376 3 4 372 33 4 答案答案 B 由|=|=|及=DBCA,DCAB,DACB,且ADC= ADB=BDC=120,ABC为正三角形,设|=a,则a2cos 120=-2a=2AC=2OC=3,如 图建立平面直角坐标系xOy, 则A(-,0),B(,0),C(0,3).由=P,M,C三点共线且M为PC的中点,设P(x,y),由|=1(x+
15、 )2+y2=1, 令则即P(sin -,cos ), M, |2=(sin -3)2+(3+cos )2=37-(6sin -6cos )=(37+12)=. |2的最大值为. DADBDCDADBDBDCDCDA DA3 33PMMCAP 3 3sin , cos , x y sin - 3, cos , x y 3 sin - 3 3cos , 22 BM 1 4 3 1 4 3 1 4 37-12sin- 6 1 4 49 4 BM 49 4 一题多解一题多解 由|=|=|知D为ABC的外心.由=知D为ABC的内 心,所以ABC为正三角形,易知其边长为2, 取AC的中点E,因为=,所以
16、M是PC的中点, 所以|=|=, 所以|max=|BE|+=,则|=.故选B. DADBDCDADBDBDCDCDA 3 PMMC EM 1 2 AP 1 2 BM 1 2 7 2 BM 2 max | 49 4 8.(2019课标文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos= . 答案答案 - 2 10 解析解析 本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法 则与运算方法的素养要素. 由题意知cos=-. | | | a b a b 2222 2 (-8)2 6 22(-8)6 2 10 9.(2016山东文,13,5分)已知向量a=
17、(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为 . 答案答案 -5 解析解析 因为a(ta+b),所以a (ta+b)=0,即ta2+a b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=,a b=16+(-1) (-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5. 2 方法总结方法总结 正确利用两向量垂直的充要条件是构造关于t的方程的前提.两非零向量a=(x1,y1)与b= (x2,y2)垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0. 10.(2016课标文,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x= . 答案答案 - 2 3 解析解析 因
18、为ab,所以a b=0,即x+2(x+1)=0,解得x=-. 2 3 易错警示易错警示 混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因. 11.(2017课标文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= . 答案答案 2 解析解析 ab,a b=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2. 12.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m= . 答案答案 -1 解析解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,a b=-1, 由a(ma-b)得a (m
19、a-b)=0,即ma2-a b=0, 即m-(-1)=0,m=-1. 答案答案 7 13.(2017课标文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= . 解析解析 本题考查向量数量积的坐标运算. a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a, (a+b) a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 14.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m= . 答案答案 8 解析解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ab,a b=(-4,3) (6,m)=-2
20、4+3m=0, m=8. 易错警示易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆. 15.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4, =-1,则的值是 . BACABF CFBECE 答案答案 7 8 解析解析 解法一:(坐标法) 建立直角坐标系, 设D(0,0),A(3b,3c),B(-a,0),C(a,0),E(2b,2c),F(b,c),则 =(-a-3b,-3c),=(a-3b,-3c),=9b2+9c2-a2=4,=(-a-b,-c),=(a-b,-c),= =b2+c2-a2=-1,=(-a-2b,-2c),=(a-2b,-2c)
21、,=4b2+4c2-a2, 由得b2+c2=,a2=, 所以=-=. 解法二:先证明一个三角形中与中点有关的向量公式. =(+) (+)=(+) (-)=|2-|2, =(+) (+)=(+) (-)=|2-|2=|2-|2,= =(+) (+)=(+) (-)=|2-|2=|2-|2,设|=m,|=n,由题意 可得解得m2=,n2=, 所以=m2-n2=-=. ABACBACAABACFBFCBFCFFB FCEBECBECEEBEC 222 222 99-4, -1, bc a bc a 5 8 13 8 BECE 4 5 8 13 8 7 8 BACAABACADDBADDCADDBAD
22、DBADDB BFCFFBFCFDDBFDDCFDDBFD DBFDDB 1 9 ADDBBECEEB ECEDDBEDDCEDDBED DBEDDB 4 9 ADDBADBD 22 2 2 -4, -1, 9 m n m n 45 8 13 8 BECE 4 9 4 9 45 8 13 8 7 8 名师点睛名师点睛 研究向量的数量积一般有两个思路,一是建立平面直角坐标系,利用坐标研究向量的数 量积;二是利用一组基底表示出所有的向量.两种思路实质相同,但坐标法更易理解和化简.对于涉 及中线的向量问题,一般利用向量的平行四边形法则进行求解. 1.(2020新高考,7,5分)已知P是边长为2的正六
23、边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 ( ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) AP AB 考点考点2 数量积的综合应用数量积的综合应用 答案 A 如图,过点P作PP1直线AB于P1,过点C作CC1直线AB于C1,过点F作FF1直线AB于F1,=| | | cosPAB,当PAB为锐角时,| cosPAB=|,当PAB为钝角时,| cosPAB=-| |,所以当点P与C重合时,最大,此时=|=6,当点P与F重合时,最小,此 时=-| |=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-26.故选A. AP AB APABAP 1 APAP 1 A
24、PAP ABAP AB 1 ACABAP AB AP AB 1 AFABAP AB 2.(2017课标理,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 (+) 的最小值是( ) A.-2 B.- C.- D.-1 PAPBPC 3 2 4 3 答案答案 B 本题考查向量的坐标运算,考查利用数形结合的方法求解最值问题. 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图, 则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y)(x,yR),取BC的中点D,则D,. (+)=2=2(- 1-x,-y)=2(x+1)+y=2+-.因为x,yR,所以当x=-
25、,y=时, (+)取得最小值,最小值为2=-,故选B. 3 1 2 3 2 PAPBPCPAPD 13 - ,- 22 xy 1 - 2 x 3 - 2 y 2 1 4 x 2 3 - 4 y 3 4 1 4 3 4 PAPBPC 3 - 4 3 2 思路分析思路分析 建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算建立 (+)与点P的坐标之间的关 系,进而求解. PAPBPC 3.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点 E为边CD上的动点,则的最小值为( ) A. B. C. D.3 AEBE 21 16 3 2 25 16
26、答案答案 A 本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B ,C(0,),令E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,当t=- =时,取得最小值,为-+=.故选A. 解法二:令=(01),由已知可得DC=, =+,=+=+, =(+) (+) =+|2+2|2=32-+.当=-=时,取得最小值.故选A. 33 , 22 33AEBE 33 -, - 22 t 3 2 3 2 3 3 - 2 2 1 3 4 AEBE 3 16 3 2 3 4 3 2 21 16 DEDC3 AEADDCBEB
27、AAEBAADDC AEBEADDCBAADDC ADBAADDCBADC 3 2 3 2 3 - 2 2 3 1 4 AEBE 21 16 方法总结方法总结 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可用平 面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算. 4.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e b+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.-1 B.+1 C.2 D.2- 3 333 答案答案 A 本题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离. 设=a,=b,=e,以O为原
28、点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A 点在第一象限,a与e的夹角为,点A在从原点出发,倾斜角为,且在第一象限内的射线上.设B (x,y),由b2-4e b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而=a-b,|a-b|的 最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=x(x0)的距离减去圆的半 径,所以|a-b|min=-1.选A. OAOBOEOE 3 3 BA 3 3 一题多解一题多解 将b2-4e b+3=0转化为b2-4e b+3e2=0,即(b-e) (b-3e)=0,(
29、b-e)(b-3e). 设=e,=a,=b,=3e,=2e,则, 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. |a-b|=|,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值, OEOAOBONOMEBNB BA 即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径. |=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1. OM 3 3 3 5.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O. 记I1=,I2=,I3=,则( ) A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I10,nm. 从而DBC45,又BCO
30、=45,BOC为锐角. 从而AOB为钝角.故I10,I30. 又OAOC,OB1),=-2(21), 从而I3=12=12I1, 又121,I10,I30,I3I1,I3I1I2.故选C. 5 4 ODOBOCOA OC ODOA OB 6.(2020江苏,13,5分)在ABC中,AB=4,AC=3,BAC=90,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若 =m+(m为常数),则CD的长度是 . PA PB 3 - 2 m PC 答案答案 或0 18 5 解析解析 建系如图, 设P(x,y),则=(-x,-y),=(4-x,-y),=(-x,3-y), =m+, 解得 又AP=9,(8m)2
31、+(9-6m)2=81, m=0或m=,P(0,9)或P, 直线PA的方程为x=0或y=x, 当直线PA的方程为y=x时, 又直线BC的方程为+=1, 故由解得即D, PAPBPC PAPB 3 - 2 m PC 3 -(4- )-(- ), 2 3 -(- )-(3- ), 2 xmxmx ym ymy 8 , 9-6 , xm ym 27 25 216 63 , 2525 7 24 7 24 4 x 3 y 7 , 24 1, 43 yx xy 72 , 25 21 , 25 x y 72 21 , 25 25 CD=. 当直线PA的方程为x=0时,CD=0. 综上,CD=或0. 22 7
32、221 -3 2525 18 5 18 5 7.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则|= ; = . AP 1 2 ABACPDPB PD 答案答案 ;-1 5 解析解析 如图,在正方形ABCD中,由=(+)得点P为BC的中点,|=,= ( +)=+=11cos 180=-1. AP 1 2 ABACPD5PBPDPBPC CDPBPCPBCDPBPC 一题多解一题多解 =(+),P为BC的中点.以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,由题 意知A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),P(2,1), |=,=(0,-1),=(-2,1
33、),=(0,-1) (-2,1)=-1. AP 1 2 ABAC PD 22 (2-0)(1-2)5PBPDPBPD 8.(2020浙江,17,4分)已知平面单位向量e1,e2,满足|2e1-e2|.设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为 ,则cos2的最小值是 . 2 答案答案 28 29 解析解析 由题可知从而 由可得代入可得a2, 从而cos =2=2=22,所以cos2, 故cos2的最小值为. 12 12 , 3 aee bee 1 2 - , 2 3 - , 2 b a e a b e - 1, 2 3 - 1, 2 3 -5 2 2 b a a b ba | -
34、|2, |3 - |2, |3 -5 |2 2 b a a b ba 22 22 22 -24, 9-64, 25-3098, aa bb aa bb aa bb 2 22 2, 43, a ba ba 7 2 | | | a b a b 2 2 | | | a a b | | | | a b 2 2 | | 43| | a a 2 1 4 3 | | a 7 29 28 29 28 29 9.(2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD中,B=60,AB=3,BC=6,且=,=-,则实数 的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且|=1,则的最小值为 . ADBCADAB 3 2 MND
35、MDN 答案答案 ; 1 6 13 2 解析解析 以B为原点,BC所在直线为x轴,过B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所 示, 则B(0,0),A,C(6,0),则=(6,0)=(6,0),=, =6+0=-9=-,=. =(1,0),D, 不妨设M(x,0),N(x+1,0),且x0,5, 3 3 3 , 22 ADBCAB 33 3 -,- 22 ADAB 3 - 2 3 3 - 2 3 2 1 6 AD 5 3 3 , 22 =,=. =+=x2-4x+=(x-2)2+,当且仅当x=2时,取最小值. DM 53 3 -,- 22 x DN 33 3 -,- 22 x DM
36、DN 5 - 2 x 3 - 2 x 2 3 3 2 15 4 27 4 13 2 DMDN 13 2 10.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且| =2,则的最小值为 . EF AE BF 答案答案 -3 解析解析 设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0), =(1,m),=(-2,n). =-2+mn,又知|=2,|m-n|=2. 当m=n+2时,=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3.当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,取得 最小值-3. 当m=n-2时,=mn
37、-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3. 当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时,取得最小值-3. 综上可知,的最小值为-3. AEBF AE BFEF AE BFAE BF AE BF AE BF AE BF 11.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 =6,则的值是 . AB ACAOEC AB AC 答案答案 3 解析解析 本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查学生 的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算. 过D作DFEC,交AB于F. D
38、为BC的中点,F为BE的中点,又BE=2EA,EF=EA,又DFEO,AO=AD, =(+)=(+). =(+) =. =6,=-+, 1 2 AO 1 2 AD 1 2 1 2 ABAC 1 4 ABAC AOEC 1 4 ABAC 1 - 3 ACAB 1 4 22 21 - 33 ACAB ACAB ABACAOECABAC 3 2 2 AC 1 2 2 ABABAC =3,|=|,=. 2 AB 2 ACAB3AC AB AC 3 一题多解一题多解 由于题目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90,AB=c,AC=b,建立如图所示的平 面直角坐标系. 则E,D, 易得lAD:y=x,
39、lEC:+=1, 联立得解得则O. 由=6得6=0, c2=3b2,c=b,=. 0, 3 c , 2 2 b c c b x b 3 y c , 1, 3 c yx b xy c b , 4 , 4 b x c y , 4 4 b c ABACAOEC, 4 4 b c ,- 3 c b 3 AB AC 3 1.(2017上海春,16,5分)如图所示,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2,若P为该正八边形边上的动 点,则的取值范围为( ) A.0,8+6 B.-2,8+6 C.-8-6,2 D.-8-6,8+6 13 A A 1 AP 222 2222 以下为教师用书专用 答案
40、答案 B 正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135,且|=|=2,|=|=2 ,|=|=2+2,|=2. 由向量数量积的几何意义可得,当P与A8重合时,取最小值,为22cos 112.5=22 =-2.当P与A4重合时,取最大值,为2(2+2)cos 22.5=8+6 . 故的取值范围为-2,8+6. 12 A A 18 A A 13 A A 17 A A 22 14 A A 16 A A2 15 A A42 2 13 A A 1 AP22 22 2- 2 - 2 2 13 A A 1 AP222 2 13 A A 1 AP22 2.(2016浙江文,15,4分)已知平面向
41、量a,b,|a|=1,|b|=2,a b=1.若e为平面单位向量,则|a e|+|b e|的最大值 是 . 答案答案 7 解析解析 由a b=1,|a|=1,|b|=2可得向量a与b的夹角为60,建立平面直角坐标系,不妨设a=(1,0),b=(1, ),e=(cos ,sin ),则|a e|+|b e|=|cos |+|cos +sin |cos |+|cos |+|sin |=2|cos |+|sin | ,所以|a e|+|b e|的最大值是. 3333 77 3.(2016浙江理,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a e|+|b e|,则a
42、b的最 大值是 . 6 答案答案 1 2 解析解析 对任意单位向量e,均有|a e|+|b e|a e+b e|=|(a+b) e|,|a+b|,当且仅当a+b与e共 线时,等号成立.a2+2a b+b26,又|a|=1,|b|=2,a b,即a b的最大值为. 66 1 2 1 2 一题多解一题多解 由题意令e=(1,0),a=(cos ,sin ), b=(2cos ,2sin ), 则由|a e|+|b e|可得|cos |+2|cos |, 令sin +2sin =m, 2+2得4(|cos cos |+sin sin )1+m2对一切实数,恒成立, 所以4(|cos cos |+si
43、n sin )1. 故a b=2(cos cos +sin sin )2(|cos cos |+sin sin ).故a b的最大值为. 66 1 2 1 2 4.(2016上海文,12,4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=上一个动点,则的 取值范围是 . 2 1-xOPBA 答案答案 -1, 2 解析解析 由题意设P(cos ,sin ),0,则=(cos ,sin ),又=(1,1),所以=cos +sin = sin-1,.所以的取值范围是-1,. OPBAOPBA 2 4 2OPBA2 名师点睛名师点睛 本题解答时利用数形结合思想,将问题转化到单位
44、圆中,从而转化成平面向量的坐标运 算,利用三角函数的图象和性质,得到的取值范围.本题主要考查学生的逻辑推理能力、运 算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等. OPBA 5.(2016上海理,12,4分)在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=上一个动点,则 的取值范围是 . 2 1-xBP BA 答案答案 0,1+ 2 解析解析 由题意设P(cos ,sin ),0,则=(cos ,1+sin ),又=(1,1),所以=cos +sin + 1=sin+1,0,sin+10,1+,所以的取值范围为0,1+. BPBABP BA 2 4 2 4 2BP BA2 6.
45、(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为 . AOAP 答案答案 6 解析解析 解法一:表示在方向上的投影与|的乘积,当P在B点时,有最大值,此 时=23=6. 解法二:设P(x,y),则=(2,0) (x+2,y)=2x+4, 由题意知-1x1,x=1时,取最大值6, 的最大值为6. AOAPAPAOAOAOAP AOAP AOAP AOAP AOAP 考点考点1 数量积的定义及夹角与模问题数量积的定义及夹角与模问题 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020重庆巴蜀中学一诊,2)设a,e均为单位向量,当a,e的夹
46、角为时,a在e方向上的投影为( ) A.- B.- C. D. 2 3 3 2 1 2 1 2 3 2 答案答案 B a在e方向上的投影为|a|cos=cos=-.故选B. 2 3 1 2 2.(2020广东新兴第一中学期末,3)在平行四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积 为( ) A. B.2 C.5 D.10 ABAD 55 答案答案 D 本题考查了向量的数量积与向量的夹角的求法,同时考查数学运算的核心素养. =(1,2),=(-4,2),cosBAD=0,故平行四边形ABCD是矩 形,S四边形ABCD=|=10.故选D. ABAD | AB AD AB AD -44 520 ABAD ABAD520 3.(2019广东一模,5)a,b为平面向量,已知a=(
