1、 类型四类型四 二次函数与特殊三角形判定问题二次函数与特殊三角形判定问题 例 1、如图，已知抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴为直线 x1，且经过 A(1，0)，C(0， 3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B. (1)若直线 ymxn 经过 B，C 两点，求抛物线和直线 BC 的解析式； (2)在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M， 使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小， 求点 M 的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点， 求使 BPC为直角三角形的点P的坐标 【解析】解：(1)依题意，得 3 0 1 2 c cba a b ，解得, 3 2 1 c b
2、a 抛物线的解析式为 yx22x3. 对称轴为 x1，抛物线经过 A(1，0)， B(3，0) 设直线 BC 的解析式为 ymxn(m0)， 把 B(3，0)，C(0，3)分别代入 ymxn，得， , 3 03 n nm 解得, 3 1 n m 直线 BC 的解析式为 yx3. (2)如解图，设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M，连接 MA， MAMB， MAMCMBMCBC. 使 MAMC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x1 的交点 把 x1 代入直线 yx3，得 y2. M(1，2) (3)设 P(1，t)，结合 B(3，0)，C(0，3)，得 BC218， PB2(13)
3、2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10. 若 B 为直角顶点，则 BC2PB2PC2，即 184t2t26t10， 解得 t2； 若 C 为直角顶点，则 BC2PC2PB2，即 18t26t104t2，解得 t4； 若 P 为直角顶点，则 PB2PC2BC2，即 4t2t26t1018， 解得 t13 17 2 ，t23 17 2 . 综上所述， 满足条件的点 P 共有四个， 分别为： P1(1， 2)， P2(1， 4)， P3(1， 3 17 2 )， P4(1，3 17 2 ) 例 2、如图，抛物线 y4 5x 224 5 x4 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C
4、，抛物线的对 称轴与 x 轴交于点 M.P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点(点 P、M、C 不在同一条直线上) (1)求点 A，B 的坐标； (2)连接 AC、PB、BC，当 S PBCS ABC时，求出此时点 P 的坐标； (3)分别过点 A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为点 D、E，连接 MD、ME.问 MDE 能否 为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标；若不能，说明理由 第 2 题 【解析】解：(1)令 y4 5x 224 5 x40，解得 x11，x25， A 点的坐标为(1，0)，B 点的坐标为(5，0) (2)如解图，过点 A 作 APBC，与抛物线交于点 P，则
5、S PBCS ABC， 第 1 题解图 第 2 题解图第 2 题解图 当 x0 时，y4 5x 224 5 x4 4， 点 C 的坐标为(0，4)， 设过点 B，C 两点的直线的解析式为 ykxb(k0)， 则有, 05 4 bk b 解得, 4 5 4 b k 直线 BC 的解析式为 y4 5x4， 由于 PABC，设 AP 的解析式为 y4 5xm，代入点 A(1，0)，解得 m 4 5， 直线 AP 的解析式为 y4 5x 4 5， 联立方程组得, 4 5 24 5 4 5 4 5 4 2 xxy xy 解得： , 5 12 4 , 0 1 2 2 1 1 y x y x P 点的坐标为
6、(4，12 5 ) (3) MDE 能成为等腰直角三角形，理由： 抛物线 y4 5x 224 5 x44 5(x3) 216 5 ， 对称轴是直线 x3. M(3，0) 当MED90 时，点 E，B，M 在一条直线上，此种情况不成立； 同理：当MDE90 时，不成立； 当DME90 时，如解图所示， 设直线 PC 与对称轴交于点 N， EMDM，MNAM， EMNDMA. MDE45 ，EDA90 ， MDA135 . MED45 ， NEM135 ， ADMNEM135 . 在 ADM 与 NEM 中， , NEMADM DMEM DMAEMN ADMNEM(ASA) MNMA2， N(3，
7、2) 设直线 PC 的解析式为 ykxb(k0)，将点 N(3，2)，C(0，4)代入直线的解析式得： , 4 23 b bk 解得： , 4 2 b k 直线 PC 的解析式为 y2x4. 将 y2x4 代入抛物线解析式得：2x4 4 5x 224 5 x4，解得：x0 或 x7 2，P( 7 2， 3) 综上所述， MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 的坐标为(7 2，3) 例 3、 如图， 抛物线 yax2bx4 交 x 轴于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧)， 交 y 轴于点 C， 连接 AC、BC，其中 COBO2AO. (1)求抛物线的解析式； (2)点 Q 为直线 B
8、C 上方的抛物线上一点，过点 Q 作 QEAC 交 BC 于点 E，作 QNx 轴于 点 N，交 BC 于点 M，当 EMQ 的周长 L 最大时，求点 Q 的坐标及 L 的最大值； (3)如图，在(2)的结论下，连接 AQ 分别交 BC 于点 F，交 OC 于点 G，四边形 BOGF 从 F 开始沿射线 FC 平移，同时点 P 从 C 开始沿折线 COOB 运动，且点 P 的运动速度为四边 形 BOGF 平移速度的 2倍，当点 P 到达 B 点时，四边形 BOGF 停止运动，设四边形 BOGF 平移过程中对应的图形为 B1O1G1F1，当 PFF1为等腰三角形时，求 B1F 的长度 第 3 题
9、图 【解析】 解：(1)抛物线 yax2bx4 与 y 轴交于点 C， 点 C 的坐标为(0，4) COBO2AO， 点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(4，0)， 将点 A、B 的坐标分别代入抛物线解析式得 , 04416 0424 ba ba 解得, 1 2 1 b a 抛物线的解析式为 y1 2x 2x4. (2)点 A(2，0)，点 B(4，0)，点 C(0，4)， 直线 AC 的解析式为 y2x4，直线 BC 的解析式为 yx4. 设点 Q 的坐标为(q，1 2q 2q4)， QEAC，过点 E 作 EFQM 于点 F，如解图， 第 3 题解图 则EF QF AO OC 1
10、 2， QE EF AC AO 5， QF2EF，QE 5EF， 在 Rt EFM 中，易得FEMFMEMBN45 ， EM 2EF，EFMF， QM3EF， 当 EF 最大时， EQM 的周长最大， 直线 AC 的解析式为 y2x4，直线 QEAC， 设直线 QE 的解析式为 y2xt， 将 Q 点坐标代入得，t1 2q 2q4， 直线 QE 的解析式为 y2x(1 2q 2q4)， 与直线 BC 联立解得点 E 的坐标为(1 6q 21 3q， 1 6q 21 3q4) EFq1 6q 21 3q 1 6q 22 3q 1 6(q2) 22 3， 根据二次函数最值性质可知，当 q2 时，E
11、F 最大，为2 3. 此时点 Q 的坐标为(2，4)，L3EF 2EF 5EF2 3(3 2 5) (3)由(2)知点 Q 的坐标为(2，4)，则直线 QA 的解析式为 yx2， AQBC 于 F，且点 F 的坐标为(1，3) 点 B(4，0)， BF3 2. 设四边形 BOGF 平移的距离 FF1 2t，则点 P 运动的速度为 2t. 当点 P 在 OC 上，此时 0t2，则点 B1在 BF 上 此时易得点 F1的坐标为(1t，t3)，点 P 的坐标为(0，42t) PF21(12t)24t24t2， PF12(1t)2(3t42t)210t28t2， FF122t2. (i)当 PF2FF
12、12时，4t24t22t2， 解得 t1t21， 此时 B1FB1F1FF1BFFF12 2； (ii)当 PF2PF12时，4t24t210t28t2， 解得 t12 3，t20(舍)， 此时 B1FB1F1FF17 2 3 ； (iii)当 F1F2PF12时，2t210t28t2， 解得 t1t21 2， 此时 B1F5 2 2 ； 当点 P 在 OB 上，此时 2t4， 当 2t3 时，点 B1在 BF 上，当 390 ，若 PFF1是等腰三角形， 则只能是 PFFF1， 即(2t41)292t2，解得 t152 2，t252 2(舍)， 此时 t52 23，如解图， 第 4 题解图第
13、 4 题解图第 4 题解图 SS CABS PAB1 2 3 (31) 1 2 (31) (m 22m3)2m24m， S5 2S BCD， 2m 24m15 2 ， 整理得 4m28m150，解得 m12 19 2 ，m22 19 2 (舍去)， P 点坐标为(2 19 2 ，3 4)； 当点 P 在 x 轴下方时，即 1m3，如解图，连接 OP， SS AOCS COPS POB1 2 3 1 1 2 3 m 1 2 3 (m 22m3)3 2m 29 2m6， S5 2S BCD， 3 2m 29 2m6 15 2 ， 整理得 m23m10，解得 m13 5 2 ，m23 5 2 (舍去
14、)， P 点坐标为(3 5 2 ， 55 2 )， 综上所述，P 点坐标为(2 19 2 ，3 4)或( 3 5 2 ， 55 2 ) (3)存在直线 x1 交 x 轴于点 F，BD 22422 5， 如解图，EQDB 于点 Q， DEQ 沿 EQ 翻折得到 DEQ， EDQBDF， Rt DEQRt DBF， DQ DF DE BD，即 4 DQ 2 2 5，解得 DQ 4 5 5 ， BQBDDQ2 54 5 5 6 5 5 ； 如解图，EDBD 于 H， EDHBDF， Rt DEHRt DBF， DH DF DE DB EH BF，即 4 DH 2 2 5 2 EH ， 解得 DH4
15、5 5 ，EH2 5 5 ， 在 Rt QHD中，设 QHx，DQDQDHHQ4 5 5 x，DHDEEHDEEH2 2 5 5 ， x2(22 5 5 )2(4 5 5 x)2，解得 x1 5 5 ， BQBDDQBD(DHHQ)BDDHHQ2 54 5 5 1 5 5 51； 如解图，DQBC 于点 G，作 EIBD 于点 I，由得 EI2 5 5 ，BI6 5 5 ， 第 4 题解图第 4 题解图 DEQ 沿边 EQ 翻折得到 DEQ， EQDEQD， EGEI2 5 5 ， BE 22222 2， BGBEEG2 22 5 5 ， GBQIBE， Rt BQGRt BEI， BQ BE
16、 BG BI ，即 22 BQ 2 22 5 5 6 5 5 ， BQ4 5 3 2 2 3 ， 综上所述，当 BQ 为6 5 5 或 51 或4 5 3 2 2 3 时，将 DEQ 沿边 EQ 翻折得到 DEQ，使 得 DEQ 与 BEQ 的重叠部分图形为直角三角形 例 5、已知如图，抛物线 y1 2x 22x5 2与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点，对称轴交 x 轴于点 E. (1)如图，连接 BD，试求出直线 BD 的解析式； (2)如图，点 P 为抛物线第一象限上一动点，连接 BP，CP，AC，当四边形 PBAC 的面
17、积 最大时，线段 CP 交 BD 于点 F，求此时 DFBF 的值； (3)如图，已知点 K(0，2)，连接 BK，将 BOK 沿着 y 轴上下平移(包括 BOK)，在平 移的过程中直线 BK 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，则在抛物线的对称轴上是否存在点 G， 使得 GMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不 存在，请说明理由 第 5 题图 【解析】 解：(1)在 y1 2x 22x5 2中， 令 y0，则1 2x 22x5 20， 解得 x11，x25， 则点 A 的坐标是(1，0)，点 B 的坐标是(5，0) 抛物线 y1 2x 22x5
18、 2的对称轴是 x2， 把 x2 代入解析式得 y9 2，则点 D 的坐标是(2， 9 2) 设直线 BD 的解析式是 ykxb(k0)， 将 B、D 两点坐标代入得： , 2 9 2 05 bk bk 解得, 2 15 2 3 b k 直线 BD 的解析式是 y3 2x 15 2 . (2)连接 BC，如解图， y1 2x 22x5 2中，令 x0，则 y 5 2，则点 C 的坐标是(0， 5 2) 设直线 BC 的解析式 ymxn(m0)， 则, 05 2 5 nm n 解得, 2 1 2 5 m n 则直线 BC 的解析式是 y1 2x 5 2. S四边形PBACS ABCS BCP，
19、S ABC1 2AB OC 1 2 6 5 2 15 2 ， BCP 面积最大时，S四边形PBAC有最大值， 设与 BC 平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是 y1 2xd. 则1 2x 22x5 2 1 2xd， 即 x25x(2d5)0， 当 0 时，x5 2， 代入 y1 2x 22x5 2中得：y 35 8 ， 则点 P 的坐标是(5 2， 35 8 ) 又点 C 的坐标是(0，5 2)， 设直线 CP 的解析式是 yexf，则, 8 35 2 5 2 5 fe f 解得, 4 3 2 5 e f 则直线 CP 的解析式是 y3 4x 5 2. 根据题意得, 2 15 2 3
20、2 5 4 3 xy xy 解得, 6 25 9 20 y x 则点 F 的坐标是(20 9 ，25 6 ) DF（220 9 ）2（9 2 25 6 ）2 13 81， BF（20 9 5）2（25 6 0）2 8125 324 ， 则DF BF 13 81 8125 324 2 25. (3)存在，点 G 的坐标为(2，10 3 )，(2，10 7 )，(2，3)或(2，7) 【解法提示】假设存在 设 BK 的解析式是 ykxb(k0)， 将点 B(5，0)，K(0，2)代入得, 2 05 b bk 解得, 2 5 2 b k 直线 BK 的解析式是 y2 5x2， 设直线 MN 的解析式
21、为 y2 5xm， 当 y0 时，x5 2m，即 M( 5 2m，0)， 当 x0 时，ym，即 N(0，m) GMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形分两种情况： MGMN，GMN90 ，如解图. 第 5 题解图 第 5 题解图 第 5 题解图 第 5 题解图 MGEGME90 ，GMEOMN90 ， MGEOMN. 在 GME 和 MNO 中 ,90 MNMG NOMMEG NMOMGE GMEMNO(AAS)， MEON，EGOM， 当点 M 在点 E 右侧时，ME5 2m2，ONm，OM 5 2m， 5 2m2m，解得 m 4 3. EGOM5 2m 10 3 ， G 点的坐标为(
22、2，10 3 ); 当 M 在线段 OE 上时，如解图，ME25 2m，ONm，EGOM 5 2m， 25 2mm，解得 m 4 7， EGOM 5 2m 10 7 ， 点 G 的坐标为(2，10 7 )； 当 M 在点 O 左侧时， 易得 MNMG， 此时不存在点 G 使 GMN 为等腰直角三角形； NGMN，GNM90 ，过点 N 作 NF抛物线对称轴于点 F，如解图所示 ONGMNO90 ，ONGGNF90 ， MNOGNF. 在 GNF 和 MNO 中， ,90 MNNG GFNMON GNFMNO GNFMNO(AAS)， NFON，FGOM， 当点 N 在 y 轴正半轴时，ONm，
23、OM5 2m， 2m. FGOM5 2m5，EGFGEFFGON3， G 点的坐标为(2，3)； 当点 N 在 y 轴负半轴时，如解图，ONm，OM5 2m，NF2， 第 5 题解图 第 6 题解图 m2， OM5 2 (2)5(此时 M 与 B 重合，N 与 K 重合)，EGEFFGONOM7， 点 G 的坐标为(2，7) 综上可知：在抛物线的对称轴上存在点 G，使得 GMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角 形，点 G 的坐标为(2，10 3 )，(2，10 7 )，(2，3)或(2，7) 例 6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y1 3x 22 3 3 x3 与 x 轴交于 A，B
24、两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E. (1)判断 ABC 的形状，并说明理由； (2)经过 B， C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D， 点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点， 当 PCD 的面积最大时，点 Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处， 再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处， 最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长； (3)如图， 平移抛物线， 使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动， 点 E 平移后的对应点为点 E
25、， 点 A 的对应点为点 A.将 AOC 绕点 O 顺时针旋转至 A1OC1的位置，点 A，C 的对应点分 别为点 A1，C1，且点 A1恰好落在 AC 上，连接 C1A，C1E， AC1E是否能为等腰三角形？ 若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由 第 6 题图 解：(1) ABC 为直角三角形，理由如下： 在抛物线 y1 3x 22 3 3 x3 中， 令 y0，得1 3x 22 3 3 x30， 解得 x1 3，x23 3，故 A( 3，0)，B(3 3，0) 令 x0，得 y3，故 C(0，3)， AC212，BC236，AB248， AC2BC2AB2， ABC
26、为直角三角形 (2)设直线 BC 的解析式为 ykxb，将 B(3 3，0)，C(0，3)代入，得, 3 033 b bk 解得 , 3 3 3 b k 直线 BC 的解析式为 y 3 3 x3， 如解图，过点 P 作 PRy 轴交 BC 于点 R， 设 P(t，1 3t 22 3 3 t3)，则 R(t， 3 3 t3)， PR1 3t 22 3 3 t3( 3 3 t3)1 3t 2 3t， 则 S PCDS PRCS PRD1 2 PR xR(xRxD) 3 6 t23 2t 3 6 (t3 3 2 )29 3 8 ， 0 t3 3，当 t3 3 2 时，S PCD取得最大值，此时 P(
27、3 3 2 ，15 4 )， 将 P(3 3 2 ，15 4 )向左平移 3个单位，得 P( 3 2 ，15 4 )，连接 AP交 y 轴于点 N，过点 N 作 NM 抛物线对称轴于点 M，连接 PM，点 Q 沿 PMNA 运动，所走的路径最短，即最短路 径的长为 PMMNAN. 设直线 AP的解析式为 ymxn，将 A( 3，0)，P( 3 2 ， 15 4 )代入，得： , 4 15 2 3 03 nm nm 解得, 2 5 3 6 5 n m 直线 AP的解析式为 y5 6 3x5 2， 令 x0，得 y 5 2，故 N(0， 5 2)， AP（ 3 2 3）2（15 4 ）23 37
28、4 ， MN 3， 点 Q 经过的最短路径等于 PMMNANAPMN3 37 4 3. (3)CAO60 ，OAOA1， AA1O 为等边三角形， C1OB30 ， C1(3 2 3，3 2)， E( 3，4)，A( 3，0)，直线 AE 的解析式为：y 2 3 3x2， 设 A(t，2 3 3t2)，则 E(t2 3，2 3 3t6)， AE228，AC127 3t 27 3 3t7，EC127 3t 27 3t21， 当 AC1EC1时，7 3t 27 3 3t77 3t 27 3t21， 解得 t 3 2 ，故 E(3 2 3，5)； 当 AEAC1时，287 3t 27 3 3t7，解得 t 3 39 2 ， t 3， t 3 39 2 ，故 E(5 3 39 2 ，7 13)； 当 AEEC1时，7 3t 27 3t2128， 解得 t3 3 39 2 ，t 3，t3 3 39 2 ，故 E( 3 39 2 ，3 13) 综上， 所有符合条件的点 E的坐标为(3 2 3， 5)或(5 3 39 2 ， 7 13)或( 3 39 2 ， 3 13)
