1、 培优点十三培优点十三 三视图与体积、表面积三视图与体积、表面积 1由三视图求面积 例 1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_ 【答案】33 【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和球的半径为 3， 半球的面积 2 1 1 4318 2 S ，圆锥的底面半径为 3，母线长为 5， 圆锥的侧面积为 2 3 515Srl ，表面积为 12 33SSS 2由三视图求体积 例 2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为（ ） A4 B2 2 C4 2 D8 【答案】D 【解析】由于长方体被平面所截
2、， 很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体， 从而拼成了一个长方体，长方体由两个完全一样的几何体拼成， 所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为 2，长方体的高为314 ， 2 2416V 长方体 ， 1 8 2 VV 长方体 ，故选 D 一、单选题 1某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为 （ ） A1 B2 C3 D4 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r， 该几何体的表面积 22 2 224 2216Srrr rrr ，得1r ，故选 A 2正方体 111
3、1 ABCDABC D中，E为棱 1 AA的中点（如图）用过点 1 BED、 、的平面截去该 正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ） 对点增分集训对点增分集训 A B C D 【答案】D 【解析】由题意可知：过点B、E、 1 D的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图， 则几何体的左视图为 D，故选 D 3如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体 积为（ ） A 23 6 B 7 2 C 7 6 D4 【答案】A 【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱 11 ABBDCC挖去一个三棱锥 EFCG，故所求几何体的体积为 11123 2221
4、 11 2326 ，故选 A 4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积为 （ ） A 251 B 5 21 2 C 51 2 22 D 51 22 【答案】C 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r ， 圆锥的高2h ，其母线长 22 125l ，则该几何体的表面积为： 2 11151 115222 22222 S ，本题选择 C 选项 5若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥 的外接 球的表面积等于（ ） A34 B32 C17 D17 2 【答案】A 【解析】由三视图知几何体是底面为边长为
5、 3，4，5 的三角形， 高为 5 的三棱柱被平面截得的，如图所示， 截去的是一个三棱锥，底面是边长为 3，4，5 的直角三角形，高为 3 的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径 5 2 圆心设为M半径为r， 球心到底面距离为 3 2 ，设球心为O， 由勾股定理得到 222 22 5334 2224 h Rr ， 2 434SR ，故选 A 6如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的外接球的表面积为（ ） A32 B16 C36 D72 【答案】C 【解析】还原几何体如图所示三棱锥由 1 BBCD（如下左图） ， 将此三棱锥补形为
6、直三棱柱 111 BC DBCD（如上右图） ， 在直三棱柱 111 BC DBCD中取 1 BCBC、的中点 12 OO、，取 12 O O中点O， 2 2 2 22 523RO AOO， 22 44336SR 表 ，故答案为 C 7一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A64 2 B84 2 C64 3 D84 3 【答案】B 【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示： 表面积为 111 11 1111 1 11 DA DDA BDB CDC DA B C D SSSSSS 1111 2222 222 2222284 2 2222 ，故选 B 8已知一个三棱锥的三视
7、图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为 2，a，b，且 5 20,0 2 abab，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ） A 17 4 B 21 4 C4 D5 【答案】B 【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体 1111 ABCDABC D的四个 顶点， 即为三棱锥 11 ACB D，且长方体 1111 ABCDABC D的长、宽、高分别为 2，a，b， 此三棱锥的外接球即为长方体 1111 ABCDABC D的外接球， 且球半径为 22222 24 22 abab R ， 三棱锥外接球表面积为 2 22 2 22 421 4451 24 ab aba ， 当且仅当1
8、a ， 1 2 b 时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为 21 4 故选 B 9在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB，该四棱锥 被一平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （ ） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 【答案】B 【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥PABCD被平面QBD截去三棱锥 QBCD（Q为PC中点）后的部分，连接AC交BD于O，连楼OQ，则OQPA， 且 1 2 OQPA，设PAABa，则 3 1 3 PABCD Va ， 23 1111 32212 Q BCD Vaaa ，
9、剩余部分的体积为： 33 11 312 aa，则所求的体积比值为： 3 33 1 1 12 11 3 312 a aa 本题选择 B 选项 10如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积 为（ ） A15 B16 C 50 3 D 53 3 【答案】C 【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥ABCDE， 底面四边形BCDE的面积为 11 44422210 22 ， 四棱锥的体积为 150 10 5 33 ，故答案为 C 11某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为 1）所示，则这个几何体的体积为 （ ） A 9 4 B 8 2 3 C12 D 8 3
10、 【答案】D 【解析】几何体为如图多面体PABCDE， 体积为 11118 221222 1 32323 D PABEA BCD VV ，故选 D 12如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A 20 3 B7 C 22 3 D 23 3 【答案】B 【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥， 该多面体的体积为 32 1111 2121 227 3232 V ；故选 B 二、填空题 13网格纸上小正方形的边长为 1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的 几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为_ 【答案】12 【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底
11、面为等腰梯形（上底为 2，下底为 4，高为 2）高为 2 的直四棱柱， 1 242212 2 VSh 14 已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积和体积分别为_与_ 【答案】404 ， 4 16 3 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为 2 的球，下 半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为 2 的正方形，高为 4， 则该几何体的表面积 22 412 24 2 4404S ， 几何体的体积： 32 44 12416 33 V 15某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_ 【答案】1 【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体， 可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥， 该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形， 根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式， 可得其体积 112 1 21 32 V ，故答案是 1 16已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为 _ 【答案】 2 3 【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面 11 AB D与面 11 CB D截去两个角所得， 其体积为 33 112 121 233 ，故答案为 2 3
