1、 培优点二十培优点二十 几何概型几何概型 1.长度类几何概型 例 1：已知函数 2 2f xxx，5,5x ，在定义域内任取一点 0 x，使 0 0f x 的概率是（ ） A 1 10 B 2 3 C 3 10 D 4 5 【答案】C 【解析】先解出 0 0f x 时 0 x的取值范围： 2 2012xxx ， 从而在数轴上 1,2 区间长度占 5,5 区间长度的比例即为事件发生的概率， 3 10 P ，故选 C 2面积类几何概型 （1）图形类几何概型 例 2-1：如图所示，在矩形ABCD中，2ABa，ADa，图中阴影部分是以AB为直径的半圆，现在向矩 形ABCD内随机撒 4000 粒豆子（豆
2、子的大小忽略不计） ，根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最 有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ） A1000 B2000 C3000 D4000 【答案】C 【解析】在矩形ABCD中，2ABa，ADa，面积为 2 2a，半圆的面积为 2 1 2 a ， 故由几何概型可知，半圆所占比例为 4 ，随机撒 4000 粒豆子， 落在阴影部分内的豆子数目大约为 3000，故选 C （2）线性规划类几何概型 例 2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘 船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A 1 4 B 1 3 C 3 4 D 7
3、 16 【答案】D 【解析】设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y， 则所有基本事件构成的区域 满足 024 024 x y ， 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A满足 024 024 6 x y xy ，作出对应的平 面区域如图所示： 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为 18 187 1 242416 S P A S 阴 ，故选 D （3）利用积分求面积 例 2-3：如图，圆 222 :O xy内的正弦曲线 sinyx 与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分） ，随机往 圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（ ） A 2 4 B 3 4 C
4、2 2 D 3 2 【答案】B 【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3 ， 正弦曲线 sinyx 与x轴围成的区域记为M， 根据图形的对称性得：面积为 0 0 2 sin dx2cos4Sxx ， 由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A， 则点A落在区域M内的概率 3 4 P ，故选 B 3体积类几何概型 例 3：一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔， 由它飞入几何体FAMCD内的概率为（ ） A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 2 【答案】D 【解析】所求概率为棱锥FAMCD的体积与棱柱ADFBCE体积的比值 由
5、三视图可得ADDFCDa，且AD，DF，CD两两垂直， 可得 3 11 22 ADFBCEADF VSDCAD DF DCa ， 棱锥体积 1 3 FAMCDADMC VDF S ，而 2 13 24 ADCM SADAMCDa， 2 1 4 FAMCD Va 从而 1 2 FAMCD ADFBCE V P V 故选 D 一、单选题 1 如图， 边长为 2 的正方形中有一阴影区域， 在正方形中随机撒一粒豆子， 它落在阴影区域内的概率为 2 3 则 阴影区域的面积约为（ ） 对点增分集训对点增分集训 A 2 3 B 4 3 C 8 3 D无法计算 【答案】C 【解析】设阴影区域的面积为s， 2
6、43 s ， 8 3 s 故选 C 2某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐 观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ） A 1 10 B 1 6 C 1 5 D 5 6 【答案】B 【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10 分钟， 概率 101 606 P 故选 B 3一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为 （ ） A 3 1 6 B 3 4 C 3 6 D 1 4 【答案】A 【解析】满足条件的正三角形如图所示： 其中正三角形A
7、BC的面积 3 164 3 4 S 三角形 满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离都小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示， 则 2S 阴 ，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于 2 的概率为： 23 11 64 3 P 故选 A 4在区间 0,1上随机取两个数x，y，记P为事件 2 3 xy的概率，则P （ ） A 2 3 B 1 2 C 4 9 D 2 9 【答案】D 【解析】如图所示，01x，0 1y 表示的平面区域为ABCD， 平面区域内满足 2 3 xy的部分为阴影部分的区域APQ，其中 2 0 3 P , ， 2 0 3 Q , ， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概
8、率值为 122 2 233 1 19 p ，故选 D 5在区间 0 2 ,上随机取一个数，sin 2 x 的值介于 0 到 1 2 之间的概率为（ ） A 1 3 B 2 C 1 2 D 2 3 【答案】A 【解析】由 1 0sin 22 x ，得0 26 x ，或 5 62 x ， 1 0 3 x或 5 2 3 x， 记sin 2 Ax 的值介于 0 到 1 2 之间， 则构成事件A的区域长度为 152 02 333 ；全部结果的区域0 2 ,长度为 2； 2 1 3 23 P A ，故选 A 6点P在边长为 1 的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离 1PA 的概率为（ ） A 1
9、 4 B 1 2 C 4 D 【答案】C 【解析】满足条件的正方形ABCD，如图所示： 其中满足动点P到定点A的距离 1PA 的平面区域如图中阴影部分所示， 则正方形的面积 1S 正 ，阴影部分的面积 1 4 S 阴 故动点P到定点A的距离 1PA 的概率 4 S P S 阴 正 故选 C 7如图所示，在椭圆 2 2 1 4 x y内任取一个点P，则P恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分 的概率为（ ） A 11 42 B 11 44 C 1 8 D 11 88 【答案】A 【解析】先求椭圆面积的 1 4 ，由 2 2 1 4 x y知 2 1 4 x y ， 222 2 00 1 1
10、dx4dx 442 Sx x 椭圆 ， 而 2 2 0 4dxx 表示 2 4yx与 0 x ，2x 围成的面积，即圆 22 4xy面积的 1 4 ， 2 2 0 4dxx ， 2 2 0 1 4dx 422 S x 椭圆 ， 2S 椭圆 ， 概率 1 11 2 242 P ，故选 A 8如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ） A 2 1 B 2 C 2 2 D 2 2 1 【答案】A 【解析】 1S 矩形 ，又 0 0 sindxcoscoscos02x ， 2S 阴影 ， 豆子落在图中阴影部分的概率为 22 1 故选 A 9把不超过实数x的最大整数记为
11、 x，则函数 f xx 称作取整函数，又叫高斯函数，在 14 ,上任取x， 则 2xx 的概率为（ ） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【答案】D 【解析】当 12x , 时，则 21x ，满足 2xx ； 当 2,3x 时， 2x ， 22, 6x ，则22x ，满足 2xx ； 当 3,4x 时， 3x ， 26 2 2x ,，则22x 不满足 2xx ； 当4x 时， 4x ，22 2x ，则 22x ，不满足 2xx 综上，满足 2xx 的 1,3x ，则 2xx 的概率为 312 413 ， 故选 D 10关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实
12、验和查理斯实验受其启发， 我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请 120 名同学每人随机写下一个x，y都小于 1 的正实数 对 x y, ，再统计其中能与 1 构成钝角三角形三边的数对 x y, 的个数m，最后根据统计个数m估计 的值如果统计结果是34m ，那么可以估计的值为（ ） A 22 7 B 47 15 C 51 16 D 53 17 【答案】B 【解析】 由题意，120 对都小于 的正实数 x y, ，满足 01 01 x y ，面积为 1， 两个数能与 1 构成钝角三角形的三边的数对 x y, ， 满足 22 1xy且 01 01 x y ，面积为 1 42 ， 统计两数能与
13、 1 构成钝角三角形三边的数对 x y, 的个数为34m ， 则 341 12042 ， 47 15 ，故选 B 11为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图 1 所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形 的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”现有一颗质量均匀的 弹珠落在如图 2 所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形ABC内的概率为（ ） A 3 22 3 B 3 22 3 C 3 2 D 3 1 3 【答案】A 【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的， 由几何概型的概率计算公式可知所求概率： 2 222 1 2sin60 3 2 111
14、 22 3 3222sin602sin60 2322 ABC ABC S P S o uuuuuu oo u r ( ABC Suuuuuuu r 为莱洛三角形的面积） ，故选 A 12下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，ACABC的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其 余部分记为 III在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为 1 p， 2 p， 3 p，则（ ） A 12 pp B 13 pp C 23 pp D 123 ppp 【答案】A 【解析】设ACb，A
15、Bc，BCa，则有 222 bca， 从而可以求得ABC的面积为 1 1 2 Sbc， 黑色部分的面积为 222 222 2 11 22224442 cbacba Sbcbc 222 11 422 cba bcbc ， 其余部分的面积为 2 2 3 11 2242 aa Sbcbc ，有 12 SS， 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 12 pp，故选 A 二、填空题 13在区间 0 2 ,内任取一个实数a，则使函数 21 log a f xx 在 0 , 上为减函数的概率是_ 【答案】 1 4 【解析】函数 21 log a f xx 在 0 , 上为减函数， 0211a ， 1 1
16、2 a，因此所求概率为 1 1 1 2 204 14记集合 22 16Ax y xy, ，集合 40, Bx y xyx yA, 表示的平面区域分别为 1 ， 2 若在区域 1 内任取一点P x y, ，则点P落在区域 2 中的概率为_ 【答案】 32 4 【解析】画出 22 16Ax y xy, 表示的区域 1 ，即图中以原点为圆心，半径为 2 的圆； 集合 40, Bx y xyx yA, 表示的区域 2 ，即图中的阴影部分 由题意可得 1 16S， 2 31 1644128 42 S ， 根据几何概型概率公式可得所求概率为 2 1 32 4 S P S 15 如图， 曲线sin3 2 x
17、 y 把边长为 4 的正方形OABC分成黑色部分和白色部分 在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是_ 【答案】 1 4 【解析】由题意可知，阴影部分的面积 4 4 10 0 2 4sin3dxcos4 22 x Sxx ， 正方形的面积： 2 4416S ， 由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率： 1 2 41 164 S p S 16父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已 经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上 6 点到 7 点之间，小明的爸爸晚上 5 点下班之 后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上 5 点
18、半到 6 点半之间求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的 概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为_ 【答案】 1 8 【解析】设爸爸到家时间为x，快递员到达时间为y， 以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图： 根据题意，所有基本事件构成的平面区域为 5.56.5 67 x x y y ,，面积1S ， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为 5.56.5 67 0 x x yy xy ,， 直线 0 xy 与直线6.5x 和 6y 交点坐标分别为 66 ,和6.56.5, ， 2 111 228 S 阴影 ， 由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率： 1 8 S P S 阴影 故答案为 1 8
