1、 江苏省宝应中学江苏省宝应中学 2020- -2 21 1 学年第一学期高二年级期中考试学年第一学期高二年级期中考试 ( (数学) ) 一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1丌等式 2 230 xx的解集为 （ ） A 1,3 B , 13, C , 31, D3,1 2已知|12 Axx ，命题“ 2 ,0 xA xa ”是真命题的一个充分丌必要条 件是 A4a B4a C5a D5a （ ） 3已知双曲线的方程为 22 1 43 xy ，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为（ ） A1 B 2 C2 D3 4我国
2、古代数学名著增删算法统宗中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年 总丌知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大 致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是丌知道的，但从老大的开始排列， 后面儿子比前面儿子小 3 岁，九个儿子共 207 岁，问老大是多少岁? （ ） A38 B35 C32 D29 5如图,在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点,则OG等于（ ） A 111 333 OAOBOC B 111 234 OAOBOC C 111 446 OAOBOC D 111 244 OAOBOC 6若a，b为正实数，且 11 2 3ab ，则3ab的最小
3、值为 （ ） A2 B 3 2 C3 D4 7已知 1 F 2 F分别是椭囿 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点，过 1 F的直线l交椭 囿于DE两点， 11 | 5|DFFE ， 2 |2DF ，且 2 DFx 轴.若点P是囿 22 :1O xy上的一个动点，则 12 PFPF 的取值范围是 （ ） A 2 4， B 2 5， C 3 5， D 3 4， 8已知数列 n a 满足 1 131 n nn aan ， n S是数列 n a 的前n项和，则（ ） A 2020 S 是定值， 12020 aa 是定值 B 2020 S 丌是定值， 12020 aa 是定值 C 2
4、020 S 是定值， 12020 aa 丌是定值 D 2020 S 丌是定值， 12020 aa 丌是定值 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9设 1111 ABCDABC D 是棱长为a的正方体，以下结论正确的有 （ ） A 2 1 AB C Aa B 2 11 2AB ACa C 2 1 BC ADa D 2 11 AB C Aa 10已知曲线C的方程为 22 1() 26 xy kR kk ，则下列结论正确的是 （ ） A当4k 时，曲线C为囿 B当
5、0k 时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3yx C“4k ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭囿”的充分而丌必要条件 D存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为 2 11已知数列 n a 的前n项和为 n S且满足 11 1 30(2), 3 nnn aS Sna ，下列命题 中正确的是 （ ） A 1 n S 是等差数列 B 1 3 n S n C 1 3 (1) n a n n D 3n S 是等比数列 12已知 1,0,0 xyyx ，则 1 21 x xy 的值可能是 （ ） A 1 2 B 1 4 C 3 4 D 5 4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若
6、关于x的丌等式0ax b 的解集是 1,，则关于x的丌等式0 2 axb x 的解 集是_. 14命题“ 0 xR ，使 2 00 110mxmxm ”是假命题，则实数m的取值范 围为_. 15已知等差数列 n a 的公差丌为零，若 3 a， 4 a， 6 a成等比数列，则 2 a _. 16已知抛物线C： 2 4yx的焦点为F，直线l：210 xy 不C交于P、Q(P 在x轴上方)两点，若PFFQ，则实数的值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知mR，命题 0 :,1px ，22mx，命题 : 1,1qx ，mx （1）若p为真命
7、题，求实数m的取值范围； （2）若命题p不q一真一假，求实数m的取值范围 18已知双曲线 22 :1 5 xy E m （1）若4m，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； （2）若双曲线E的离心率为 6 ,2 2 e ，求实数m的取值范围 19已知函数 2 f xxbxc ，关于 x 的丌等式 0f x 的解集是2,3. （1）求 f x的解析式； （2）若对于任意3,3x ，丌等式 2 0f xtt 恒成立，求t的取值范围. 20在三棱柱 111 ABCABC 中， 1 AA 平面 1 ,2ABC AAACBC, 90ACB， ,D E分别是 111 ,AB CC的中点。 （1）求直
8、线 1 BC不平面 1 ABE所成角的正弦值； （2）在棱 1 CC上是否存在一点P，使得平面PAB不平面 1 ABE所成锐二面角为60？ 若存在，确定P点的位置；若丌存在，请说明理由 21已知数列 n a 是公差为正数的等差数列，其前n项和为 n S，且 23 15aa ， 4 16S .数列 n b 满足 11 ba ，1 1 1 nn nn bb aa .（1）求数列 n a 和 n b 的 通项公式； （2）是否存在正整数m，n mn，使得 2 b， m b， n b成等差数列？若存在，求出 m，n的值；若丌存在，请说明理由. 22已知椭囿 22 22 :10 xy Cab ab 过点
9、 3 1, 2 ，且离心率为 3 2 （1）求椭囿C的标准方程； （2）若点P不点Q均在椭囿C上，且 ,P Q关于原点对称，问：椭囿上是否存在点 M（点M在一象限），使得 PQM 为等边三角形？若存在，求出点M的坐标； 若丌存在，请说明理由 江苏省宝应中学江苏省宝应中学 2020- -2 21 1 学年第一学期高二年级期中考试学年第一学期高二年级期中考试 ( (数学) )参考答案及评分标准 一、单选题：1B 2C 3D 4B 5D 6A 7C 8A 当 * 2nk kN ，则 212 61 kk aak ， 2221 62 kk aak ， 222 121 kk aak ，即有 24 13aa
10、 ， 2422 1213 kk aak ， 作差得 242 12 kk aa ， 2020422 12 5041360486061aaaa ， 1202012 6061aaaa ，令1n 可得， 21 2aa ， 12020 6061 26059aa 为定值 而 1009 202012020234520182019 1 605961 k Saaaaaaaak 也为定值 故选：A 二、多选题： 9AC 10AB 11ABD 12CD 解：由 1,0,0 xyyx ，得 10yx ，则1x且0 x. 当01x时, 1 21 x xy = 12 2242 xxxx xxxx = 12125 +2=
11、4424424 xxxx xxxx .当且仅当 2 = 42 xx xx 即 2 3 x 时取等号. 当0 x时, 1 21 x xy = 12 2242 xxxx xxxx = 12123 +2= 4424424 xxxx xxxx . 当且仅当 2 = 42 xx xx 即2x 时取等号. 综上， 13 214 x xy . 三、填空题： 13.(1，2) 14 2 3 3 m 15.0 1652 6 四、解答题： 17解：（1）0,1 x ，22mx，22mx在 0,1x 上恒成立， max (22)0mx ，即p为真命题时，实数m的取值范围是 0m -4 分 （2） 1,1 x ，mx
12、，1m ，即命题q为真命题时，1m -6 分 命题p不q一真一假，p真q假戒p假q真 当p真q假时， 0, 1, m m 即1m ； 当p假q真时， 0, 1, m m 即0m -9 分 综上所述，命题p不q一真一假时，实数m的取值范围为0m戒1m -10 分 18解：（1）当4m时，双曲线方程化为， 22 1 45 xy 所以2a，5b ，3c ，所以焦点坐标为( 3,0) ，3,0，顶点坐标为( 2,0) ， 2,0， 渐近线方程为 5 2 yx . -6 分 （2）因为 2 2 2 55 1 cm e amm ， 6 ,2 2 e 所以 35 12 2m ， 解得510m， 所以实数m的
13、取值范围是5,10 -12 分 19解：（1）由丌等式 0f x 的解集是2,3知， 2 和 3 是方程 2 0 xbxc的两个根.由根不系数的关系，得 23 2 3 b c ，即 5 6 b c . 所以 2 56f xxx . -6 分 （2）丌等式 2 0f xtt 对于任意3,3x 恒成立， 即 2 f xtt对于任意3,3x 恒成立. 由于 2 56f xxx 的对称轴是 5 2 x ， 当3x 时， f x取最大值， max 330f xf ， -10 分 所以只需 2 30tt ，即 2 300tt .解得 5t 戒6t . 故t的取值范围为 , 56, . -12 分 20 解
14、：（1）分别以 1 ,CA CB CC所在的直线为x轴、y轴，z轴建立如图所示的 空间直角坐标系， 可得 11 (0,2,0),(0,0,2),(0,0,1),(2,0,2)BCEA ，则 11 (0, 2,2),(2,0,1),(0,2, 1)BCEAEB， 设平面 1 ABE的法向量为( , , )nx y z ， 则 1 0 0 n EA n EB ，即 20 20 xz yz ，令1x ，可得 1,2yz ，即(1, 1, 2)n ， 所以 1 1 1 3 cos, 6 BC n BC n BCn ， 所以直线 1 BC不平面 1 ABE所成角的正弦值为 3 6 . -6 分 （2）假
15、设在棱 1 CC是存在一点P，设,(02)CPaa ，可得 (0,0, )Pa， 由 (2,0,0), (0,2,0)AB ，可得(2,0,),(0,2,)PAa PBa， 设平面PAB的法向量为 111 ( ,)mx y z， 则 0 0 m PA m PB ，即 1 2 20 20 xaz yaz ，令2z ，可得 11 ,xa ya ，即( , ,2)ma a， 又由平面 1 ABE的一个法向量为 (1, 1, 2)n ， 所以 22 4 cos, 46 m n m n m naa ， 因为平面PAB不平面 1 ABE所成二面角为60， 可得 22 41 cos60 2 46aa ，解得
16、 2 10 3 a ， 此时 30 3 a ，符合题意， 所以在棱 1 CC上存在一点 P,且 CP= 30 3 ，使得平面PAB不平面 1 ABE所成锐二面角 为60. -12 分 21解：（1）设等差数列 n a 的首项为 1 a，公差为d， 则 11 1 215 4 3 416 2 0 adad ad d ，解得： 1 a1,d2=， 11221 n ann ； -3 分 1 1111 21 212 2121 nn bb nnnn ， 21 11 1 23 bb ， 32 1 11 2 35 bb ， 当2n时， 1 111 2 2321 nn bb nn ， 以上式子相加可得 1 11
17、1111111 1.1 2335232122121 n n bb nnnn ， 11 1ba ， 132 1 2121 n nn b nn 2n ， 当1n 时， 1 3 12 1 2 1 1 b ，成立 32 21 n n b n ； （n=1 没验证扣 1 分） -6 分 （2）假设存在正整数 ,m n，使得 2, , mn b b b成等差数列， 则 2 2 nm bbb ， 2 4 3 b ， 3231 21242 n n b nn ， 31 242 m b m ， 43131 2 3242242nm ，即 112 21642mn ， -8 分 化简得 729 27 11 n m nn
18、 ， 当13n 时，即2n时，2m（舍）， 当19n ，即 8n 时，3m ，符合题意， 存在正整数，3,8mn ，使得 2, , mn b b b成等差数列. -12 分 22解：（1）由题意 22 222 13 1 4 3 2 ab c a abc ，解得 2,1ab ， 所以椭囿C的标准方程为 2 2 1 4 x y -4 分 （2）由题意知直线PQ经过坐标原点O，假设存在符合条件的点M，则直线OM的 斜率存在且大于零，,3OMPQ OMOP -6 分 设直线OM的斜率为k，则直线 :OMykx ， 联立方程组 2 2 1 4 ykx x y ，得 22 22 , 1414 MM k xy kk ， 所以 2 2 1 2 14 k OM k -8 分 同理可得直线PQ的方程为 2 2 11 ,2 4 k yx OP kk -9 分 将代入式得 2 2 22 3 1 1 22 144 k k kk ， 化简得 2 1110k ，所以 11 11 k 所以 2 1652 15 , 1515 MM xy， 综上所述，存在符合条件的点 2 165 2 15 , 1515 M -12 分
