1、数学试题卷 第 1 页 （共 4 页） 机密机密 启用前启用前 湖湘教育三新探索协作体 2020 年 11 月联考试卷 高二数学 班级：_ 姓名：_ 准考证号：_ （本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟） 由 联合命制 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标 号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 非选择题的作答： 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内， 写在试题卷、 草稿纸和答题卡
2、上的非答题区域均无效。 4考试结束后，将本试题卷和答题卷一并上交。 一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求符合题目要求 1已知|3Axx= * N， 2 |340Bx xx=，则AB = A1,2,3 B1,2 C(0,3 D(3,4 2“a b ”是“ 1 a b ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知 1 sincos 2 =，则 1 tan tan +的值为 A 1 2 B 1 2 C2 D2
3、4过直线30 xy+=和260 xy+=的交点，且与直线230 xy+=垂直的直线方程是 A4290 xy+= B4290 xy+= C290 xy+= D290 xy+= 5九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与 下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得 与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少 钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，戊所得为 A 5 4 钱 B 4 3 钱 C 2 3 钱 D 5 3 钱 6直线220axby+=被 22 2440 xyxy+=截
4、得弦长为 6，则ab的最大值是 A9 B4 C 1 2 D 1 4 郴州市一中 鼎城区一中 衡阳市八中 汉寿县一中 澧县一中 浏阳一中 永州市四中 周南中学 数学试题卷 第 2 页 （共 4 页） 7已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，AB平面BCD，1ABBCCD=，若该四面 体的四个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为 A 3 2 B 3 2 C3 D3 8已知直线230 xy=过椭圆() 22 22 10 xy ab ab +=的右焦点F，且交椭圆于A、B两点若线段 AB的中点为P，直线OP的斜率为1，则椭圆的方程为 A 22 1 4536 xy += B 22 1 36
5、27 xy += C 22 1 2718 xy += D 22 1 189 xy += 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合要在每小题给出的选项中，有多项符合要 求求全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列说法正确的有 A 3 =a a aa B=、 为实数，若 ab，则a与b共线 C两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 D若平面内有四个点 A、B、C、D，则必有ACBDBCAD+=+ 10关于空间两条直线ab，和平
6、面，下列命题错误的是 A若a，b，则ab B若/a，b，则/a b C若ab，b，则/a D若/a b，b，则a 11已知函数 1 ( )cos cos f xx x =+，现给出如下结论，其中正确的是 A( )f x的图象关于y轴对称 B( )f x最小正周期为2 C( )f x在 (0,) 2 上单调递减 D( )f x的图象关于点 (,0) 2 对称 12在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 yx=上异于顶点的两个动点A、B，以AB为直径的圆过 原点，则下列说法正确的是 A直线AB过定点()0,1 BAOB的重心的轨迹为抛物线 CAOB的面积的最小值为 1 D若OMAB于点M，则M点的轨
7、迹为椭圆 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知1=ab，a与b的夹角为60，则()2+=aba 14已知236 ab =，则 11 ab += 15 在平面直角坐标系xOy中， 双曲线 22 22 1(00) xy ab ab =，的左焦点F关于一条渐近线的对称点 恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为 16 在数列 n a中， 若 22 1 (2) nn aap np = ， 为常数， 则称 n a为“等方差数列” 已知正项数列 n a 的前n项和为 n S， 且满足 1 () nn n Sa a =+， 若数列 n
8、S为“等方差数列”， 则=_； 1281 111 SSS + =_ （其中 x表示不超过x的最大整数） 数学试题卷 第 3 页 （共 4 页） 四、解答题：四、解答题：本题共本题共 6 小题，小题，第第 17 题题 10 分，第分，第 18 题至题至 22 题每小题题每小题 12 分，分，共共 70 分分解答应写解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 5 35S =， 122 114 bbS =， 35 ST=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问 题：已知正项等差数列 n a的公差是等差数列 n b的公差的两倍，设 n S、 n T分别为数列
9、 n a、 n b的前n项和，且 12 33aT=， ，设2 n b nn ca=，求 n c的前 n 项和 n A 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18已知ABC的内角ABC、 、的对边分别是abc、 、，2cos ( coscos )A bCcBa+=，且7a =， 2bc= （1）求A的大小； （2）求BC边上的高 19 如图， 在四棱锥ABCDE中， 已知四边形BCDE为平行四边 形，平面ABE 平面BCDE，2ABAEBCCE=， =90BAE ，点O为BE的中点 （1）求证：CD 平面AOC； （2）求二面角ABCO的正切值 20湖南省从 2021 年开始将全面推行
10、“3 12+ +”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和 政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规 则”（详见附 1 和附 2） ，具体的转换步骤为：原始分Y等级转换；原始分等级内等比例 转换赋分 某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表： 等级 A B C D E 比例 约 15% 约 35% 约 35% 约 13% 约 2% 政治学科各等级对应的原始分区间 81,98 72,80 66,71 63,65 60,62 生物学科各等级对应的原始分区间 90,100 77,89 69,76 66,68 63,65 现从政治、生物两学科
11、中分别随机抽取了 20 个原始分成绩数据，作出茎叶图： 政 治 生 物 8 8 6 6 5 2 1 0 6 4 4 5 5 7 9 6 5 5 4 3 1 0 7 0 1 1 3 3 3 9 8 2 0 8 1 2 5 7 8 2 9 1 5 6 （1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数； （2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为 82 分，乙同学选考生物学科，其原始分为 91 分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分； （3）根据生物成绩在等级 B 的 6 个原始分和对应的 6 个转化分，得到样本数据(Yi，Ti)，请 （第 19 题图） O BC D E A 数
12、学试题卷 第 4 页 （共 4 页） 计算生物原始分 Yi与生物转换分 Ti之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对 新高考这种“等级转换赋分法”的看法. 附 1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间 等级 A B C D E 原始分从高到低排序的等级人数占比 约 15% 约 35% 约 35% 约 13% 约 2% 转换分 T 的赋分区间 86,100 71,85 56,70 41,55 30,40 附 2：计算转换分 T 的等比例转换赋分公式： 22 11 YYTT YYTT = （其中： 1 Y， 2 Y，分别表示原始 分 Y 对应等级的原始分区间下限和上限； 1 T
13、， 2 T分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间 下限和上限T 的计算结果按四舍五入取整数） 附3:()() 6 1 74 ii i YYTT = = ，()() 66 22 11 5 49474.12 ii ii YYTT = = ， ()() ()() 1 22 11 n ii i nn ii ii YYTT r YYTT = = = . 21已知椭圆() 22 22 10 xy ab ab +=右顶点A为抛物线() 2 20ypx p=的焦点，右焦点F到抛物线的 准线l的距离为 3，椭圆的离心率为 1 2 （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2） 设l上两点M、N满足AMAN=， 直线
14、AM与椭圆相交于点B（B异于点A） ， 直线BN 与x轴相交于点D求AMD面积的最大值，并求此时直线AM的方程 22设( )f x是偶函数，当0 x 时， 2 sin( )01 ( ) 4 (1)()1. xx f x xaxx = ， ， （1）当=2a时，方程( )f xm=有 4 个不同的根，求 m 的取值范围； （2）若方程( )f xm=有 4 个不同的根，且这 4 个根成等差数列，试探求a与m满足的条件 1 2020 年年 11 月湖湘教育三新探索协作体联考试卷答案月湖湘教育三新探索协作体联考试卷答案 1.【答案】A 【解析】 因为|3Axx= * N， 2 |340Bx xx=
15、| 14xx= ， 所以AB =1,2,3， 故选：A. 2.【答案】D 【解析】 取2,1ab= = ， 则,1 a ab b ； 取2,1ab= ， 则1, a ab b ， 因此“a b”是“ 1 a b ” 的既不充分也不必要条件，故选：D. 3.【答案】D 【解析】 1 sincos 2 =， 1 tan tan + sincos cossin =+ 22 sincos sincos + = 1 2 1 2 =，故选：D. 4.【答案】D 【解析】联立 30 260 xy xy += += ，解得1,4xy= =.设与直线230 xy+=垂直的直线方程是 20 xym+=，将1,4x
16、y= =代入方程，解得9m =，故所求方程为290 xy+=，故选： D. 5.【答案】C 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2 , ,2ad ad a ad ad+，则根据题意有 (2 )()()(2 )5 (2 )()()(2 ) adadaadad adadaadad += +=+ ，解得 1 1 6 a d = = ，所以戊所得为 2 2 3 ad+=，故选： C. 6.【答案】D 【解析】 将 22 2440 xyxy+=化为标准形式： 22 (1)(2)9xy+=， 故该圆圆心为( 1,2)， 半径为 3.因为直线截圆所得弦长为 6，故直线过圆心，所以2220ab+=，即1a
17、b+=，所 以 2 2 ab ab + 1 4 =（当且仅当 1 2 ab=时取等号） ，故选：D. 7.【答案】C 【解析】如图所示，可将四面体ABCD还原为正方体，则四面体的外接球即为正方体的外接 球，因此球O的半径 3 2 R =，表面积 2 43SR=，故选：C. 2 8.【答案】D 【解析】设 112200 ( ,), (,), (,)A x yB xyP xy，则 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab += += ， 得 2222 1212 22 0 xxyy ab +=， 整理可得 2 012 2 120 yyyb xxxa = ，即 2 2 1 (
18、 1) 2 b a = ， 又直线230 xy=过椭圆的右焦点(3,0)F，即3c =， 所以 22 18,9ab=，故选：D. 9.【答案】CD 【解析】A 项， 2 =a a aa a，故 A 项错误； B 项，0=时，=0ab =，a与b不一定共线，故 B 项错误. 故选：CD. 10.【答案】BC 【解析】B 项，若/ ,ab，则a与b平行或异面，故 B 项错误； C 项，若,ab b，则/a或a，故 C 项错误. 故选：BC. 11.【答案】ABD 【解析】根据cosyx=的函数性质，易知 A，B，D 项正确； 令cos(0,1)tx=，则 1 yt t = +，因为costx=在
19、(0,) 2 上单调递减， 1 yt t = +在(0,1)上单调递 减，所以( )f x在 (0,) 2 上单调递增，故 C 项错误. 故选：ABD. 12.【答案】ABC 【解析】设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，直线AB的方程为ykxm=+， 联立 2 yx ykxm = =+ ，得 2 0 xkxm=， C D A B 3 所以 1212 ,x xm xxk= +=， 由题知OAOB，则 1212 0OA OBx xy y=+=， 即 22 1212 0 x xx x+=，所以 12 1x x = ，即1m =， 故直线AB：1ykx=+，过定点(0,1)P，A 项正
20、确； 设AOB的重心为 00 (,)G xy， 则 12 0 12 0 0 3 0 3 xx x yy y + = + = ，即 0 2 0 3 2 3 k x k y = + = ， 所以 2 00 2 3 3 yx=+， 因此G点的轨迹为抛物线，B 项正确； 22 1212 1()4ABkxxx x=+ 22 14kk=+， O到AB的距离 2 1 1 d k = + ， 所以 2 11 4 22 AOB SAB dk=+ 1， 当且仅当0k =时等号成立，C 项正确； 若OMAB于点M，则OMMP， 设OP的中点为 1 (0, ) 2 Q，则 11 22 MQOP=， 故M点的轨迹为圆，
21、D 项错误. 故选：ABC. 13.【答案】2 【解析】由题知(2 )+=aba 2 1 212 1 1 2 += + aab1 12= + =. 14.【答案】1 【解析】由236 ab =可知 2 log 6a =， 3 log 6b =，所以 66 11 log 2log 3 ab +=+ 6 log 61=. 15.【答案】2 【解析】设(,0)Fc关于直线 b yx a = 的对称点为( ,)P ab，则直线PF与直线 b yx a =互相垂 直，则1 bb ac a = + ，即 22 baac=+，又 222 bca=，所以 22 20caca=，即 2 20ee =， 解得2e
22、 =或1e = （舍）. 4 16.【答案】 1 2 ；16 【解析】 1 () nn n Sa a =+， 1 1 1 () nnn nn SSS SS =+ （2n 时） ， 222 11 (1 2 )()(1 2 ) nnnnn SSSS S +=+， 因为 n S为“等方差数列”， 则设 22 1nn SSd =， 2 1 (1 2 )(1 2 ) nnn SdS S +=+， 即 2 1 (1 2 )()(1) nnn SS Sd =， 所以 1 2 =，1d =， 此时 22 1 1 nn SS =，可得 n Sn=， 则 2112 (2) 11 n n Snnnnn = + ，
23、故 1281 111 2( 21328281)2( 821)16 SSS + +=， 1281 111 12( 21328180)17 SSS + + +=， 所以 1281 111 SSS + =16. 17.【答案】() 1 21 22 n n An + =+ 【解析】不妨设 n a的公差为2d， n b的公差为d， 方案 1：选条件 由题意得， 1 23bd+=， 5 4 3 5+235 2 d =， 解之得， 1 1b =，1d =， 则() 1 2121, nn aannbn=+=+=， 则()21 2n n cn=+， 5 分 () 123 3 2 +5 2 +72 + 21 2n
24、 n An= +， () 2341 23 2 +5 2 +7 2 + 21 2n n An + = +， 两式相减，整理得：() 1 21 22 n n An + =+. 10 分 5 方案 2：选条件 由题意得 1 23bd+=，()() 11 462b bddd+=+， 解得 1 1b =，1d =或 1 3b =，3d = （舍去） ， 则() 1 2121, nn aannbn=+=+=， 则()21 2n n cn=+， 5 分 () 123 3 2 +5 2 +72 + 21 2n n An= +， () 2341 23 2 +5 2 +7 2 + 21 2n n An + = +
25、， 两式相减，整理得：() 1 21 22 n n An + =+. 10 分 方案 3：选条件 由题意得， 23 35ab=，即()() 11 3+252adbd=+，化简得， 1 549bd+=， 2121 T23bbbd=+=+=，联立方程组得， 1 1b =1d =， 则 n a的公差为 2， n b的公差为 1，() 1 2121, nn aannbn=+=+=， 则()21 2n n cn=+， 5 分 () 123 3 2 +5 2 +72 + 21 2n n An= +， () 2341 23 2 +5 2 +7 2 + 21 2n n An + = +， 两式相减，整理得：(
26、) 1 21 22 n n An + =+. 10 分 18.【答案】 （1） 3 ； （2） 3 21 14 . 【解析】 （1）由正弦定理得，2cos (sincosC sincos )sinABCBA+=， 化简得：2cossinsinAAA=， sin02cos1AA=，即 3 A =. 6 分 （2）设 BC 边上的高为 h， 222 22 1 cos7 22 bca Abcbc bc + =+=， 2 2230bccc= + =， 1c=或3c = （舍去） ， 1,3cb =， 6 由面积公式得， 11 sin 22 ahbcA=， 代入数据得， 3 21 14 h =. 12
27、分 19.【答案】 （1）证明见解析； （2）2. 【解析】 （1）证明：ABAE=，点O为BC的中点，AOBE， 2 分 BCCE=，点O为BC的中点，COBE， 4 分 ACAOA=，AC，AO 平面AOC， BE平面AOC， 四边形BCDE为平行四边形，/ /CDBE， CD平面AOC. 6 分 （2）过 O 点作 BC 的垂线，垂足为 G，连接 AG， 8 分 因为AOBCO面，所以BCAG，故AGO即为所求的二面角， 10 分 在直角三角形AGO中，2AO =，1OG =，所以tan2AGO=. 12 分 (若用空间向量解答，酌情给分) 20.【答案】答案见解析 【解析】 （1）政治
28、成绩的中位数为 72，生物成绩的众数为 73. 2 分 （2）甲同学选考政治学科的等级为 A， 由转换赋分公式： 9882100 828186 T T = ，得 T87. 4 分 乙同学选考生物学科的等级 A， 由换赋分公式：100 91100 91 9086 T T = ，得 T87. 6 分 故甲、乙两位同学的转换分都为 87 分 （3） ()() ()() 6 1 66 22 11 74 0.998 74.12 ii i ii ii YYTT r YYTT = = = . 9 分 说法 1：等级转换赋分法公平，因为相关系数十分接近于 1，接近于函数关系， 因此高考这种“等级转换赋分法”具
29、有公平性与合理性 说法 2： 等级转换赋分法不公平.在同一等级内， 原始分与转化分是确定的函数关 系，理论上原始分与转化分的相关系数为 1，而在实际赋分过程中由于数据的四舍五 入， 使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差， 极小部分同学赋分后会出现偏 高或偏低的现象. 12 分 7 （只要学生说法合理，都给分） 21.【答案】 （1） 22 +=1 43 xy ， 2 8yx=； （2）AMD面积的最大值为2 6，此时直线AM的 方程为36603660 xyxy+=或. 【解析】 （1）依题意， 1 2 c a =， 2 p a=，3ac+=， 解得=2a，3b =，1c =，4p =，
30、所以，椭圆的方程为 22 +=1 43 xy ，抛物线的方程为 2 8yx=. 4 分 （2）设直线AM的方程为()20 xmym=+， 与直线l的方程2x = 联立，可得点 4 2,M m ， 4 2,N m . 故将()20 xmym=+与 22 +=1 43 xy 联立，消去x， 整理得( ) 22 34120mymy+=，解得0y =，或 2 12 34 m y m = + . 由点B异于点A，可得点 2 22 6812 , 3434 mm B mm + + ， 7 分 又求直线BN的方程为() 2 22 124684 220 3434 mm xy mmmm + += + ， 令0y
31、=，解得 2 2 64 32 D m x m + = + ， 所以 22 22 6412 2 3232 mm AD mm + = + ， 9 分 故 2 2 1124 . 2 32 MAD m S mm = + 2 6，当且仅当 6 3 m = 时取等号， 11 分 此时直线AM的方程为36603660 xyxy+=或. 12 分 22.【答案】 （1） 12 , 44 ； （2）2a 且 1 4 m =，或 52 43 2 3 a + 且 2 3103 16 aa m + =. 【解析】 （1）由题意得，当0 x 时， 2 sin( ),01 ( ) 4 (1)(2),1 xx f x xx
32、 x = ， 由图象可知， 12 44 m. 4 分 （2）当方程( )f xm=在1,1上有四个实根时， 8 由 324 2xxx=+， 23 xx= ， 34 1xx+=，可知 3 1 4 x =， 4 3 4 x =， 从而 11 ( ) 44 mf=，且 1 ( ) 4 f x 在()1,x+上恒成立 i 当1a 时，易知成立； ii 当1a 时， 1 ( ) 4 f x 在()1,x+上恒成立， 则 11 () 24 a f + ，解得12a. 7 分 当方程( )f xm=在1,1上有两个实根时， 可知 2 1 2 x = ， 3 1 2 x =， 12 ( ) 24 mf=， 由四个根成等差，得 4 3 2 x =，即 13 22 a+ =，求得2a =， 此时 312 ( ) 244 f=，故这种情形不符合题意，舍去. 9 分 当方程( )f xm=在1,1上无实根时， 由 324 2xxx=+， 23 -xx=， 34 1xxa+=+， 可知 3 1 4 a x + =， 2 13103 () 416 aaa mf + =， 且要满足 2 4 m ，解得 52 43 2 3 a + . 综 上 ，a与m满 足 的 条 件 为2a 且 1 4 m =， 或 52 43 2 3 a + 且 2 3103 16 aa m + =. 12 分
