1、 1 如何求解一元一次方程如何求解一元一次方程 方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并具有极其广泛的应用从数学学科本身 来看，方程是代数学的核心内容，它的发展推动了整个代数学的发展代数方程一般按照其 中未知数的个数和未知数的最高次数分类， 一元一次方程是最简单的方程， 也是所有代数方 程的基础 解任何一个代数方程或方程组时最终都要化归为一元一次方程求解 一元一次方 程的理解和掌握对于后续学习其他方程、 方程组、 不等式、 函数等都具有重要的影响 因此， 学习中应注意打好基础 从算式到方程是数学的进步，算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方 法 用算术方法解实际问题是前面学段中已经学
2、习过的内容， 它对于提高分析问题中数量关 系的能力有着打基础的作用算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式中只 含已知数而不包含未知数； 而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的 量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母（未知数） 方程是根据问题中等量 关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之 一由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，所以方程的应用更为方便这正 是用字母表示数带来的好处 使用平衡模型是解方程的一个很古老的方法， 而且它为处理方程提供了一个强有力的智 力图像方程类似于一组天平，方程中的“=”表示天平
3、处于平衡状态通常我们可以画一 个模型图来作为思考工具， 但是某些例子中我们用一组真实的天平来代表方程也是可以扩大 眼界的由于物体的重量不可能为负的，可以用其他颜色来表示负数在处于平衡状态的天 平两边同时添加、减少相同重量的物体，天平仍保持平衡，方程也具有这种特性 利用方程的“平衡”性（实质上是等式的性质）解下列方程： （1）852x； （2） 3 5 6 2 3 x 利用天平模型表示方程122x如下： 两边同时加上-2（用白色圆柱表示） ，即)2(1)2(22x 2 整理后得到 为了简化操作过程，上述过程看作：将左侧的两个红色圆柱移到右侧，为保持天平平衡 移过来的两个红色圆柱必须变成白色，一个
4、白色和一个红色的圆柱重量和恰好是 0，因此， 右侧只剩下一个白色圆柱方程也可以同样操作，即方程某一侧的一个项可以移到另一侧， 并改变符号 因此，可以采用“移项”、“合并”求解方程，如122x可变形212x，解得 2 1 x“移项”时一定注意符号的改变 随着学习的深入，方程的形式也越来越复杂，如含有括号、分母等方程中的字母表示 的是数， 因此去括号法则于有理数运算中的去括号法则相同， 去括号过程中一定要注意符号 的变化规律若方程中含有分母，首先通过“去分母”使方程的系数都化为整数，这样可以 使解方程中减少分数运算，从而计算更为方便 解一元一次方程时，主要依据等式的性质和运算律等，通过去分母、去括
5、号、移项、合 并、系数化为 1 等步骤，使一元一次方程逐步向 x=a 的形式转化求解中应灵活运用这些步 骤 利用以上方法求解下列方程： （1）) 1(2)1 () 1(3xxx （2） 2 2 )5( 5 4 x x x 改变 颜色 3 （3）1 3 . 0 2 . 03 . 0 5 . 0 9 . 04 . 0 yy （4） 5 2 2 2 1 yy y 解答： （1）去括号，得22133xxx 移项，得13223xxx 合并，得42x 系数化为 1，得2x （2）去分母，得，)2(5)5(10)4(2xxx， 去括号，得，105501082xxx 移项合并后，6813 x 两边同时除以 1
6、3，得 13 68 x （3）原方程化为1 3 23 5 94 yy ， 去分母，得15)23(5)94(3yy， 去括号，得1510152712yy， 移项合并后32y 系数化为 1，得 2 3 y （4）去分母，得 )2(220) 1(510yyy 去括号，得 42205510yyy 移项，得 54202510yyy 合并，得 117y 系数化为 1，得 7 11 y 4 自己尝试做一做 （1）某抗洪突击队有 50 名队员，承担着保护大堤的任务已知在相同的时间内，每名 队员可装土 7 袋或运土 3 袋问应如何分配人数，才能使装好的土及时运到大堤上？ （2） 一件工作，甲单独做 20 小时完
7、成，乙单独做 12 小时完成现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做剩下的部分需要几小时完成？ 与下面的答案对比一下，看看你做得如何？ （1）解：设分配工人装土，则运土有)50(x人根据装上的袋数与运土的袋数相等 的关系，列得 )50(37xx 去括号，得 xx31507 移项及合并，得 15010 x 所以运土的人数为3550 x 答：应分配 15 人装土，35 人运土，才能使装好的土及时运到大堤上 说明： 找准题目中的相等关系关键在于如何理解“装好的土及时运到大堤上”， 即 使得已装好土的袋数和运走的袋数是相同的， 所以依靠总人数 50 人可没装土的人数为x人， 则可以用x表示运
8、土的人数其实在题中还可以依靠其他的相等关系列方程，试试看 （2）解：设剩下的部分需要x小时完成根据两段工作量之和应是总工作量，得 1 122020 4 xx 去分母，得 605312xx 移项及合并，得 488 x 6x 答：剩下的部分需要 6 小时完成 说明：此问题里的相等关系可以表示为：全部工作量甲独做工作量甲、乙合做的工 作量于是问题转化为如何表示工作量，我们知道，工作量工作效率工作时间这里的 5 工作效率是用分数表示的：一件工作需要a小时完成，那么 1 小时的工作效率为 a 1 由此 可知：m小时的工作量工作效率 a m m ，全部工作量工作效率1 a a a，即在工程 问题中，可以把
9、全部工作量看作是 1 前面涉及的方程系数都是具体的数，我们探索一下字母系数的方程如何求解 请尝试解一元一次方程：bax 同学甲说：太简单了， a b x 同学乙说：不对，0a，x不存在 经过仔细研究发现：一元一次方程bax 的解由a、b的值来确定： （1）若0a，则方程有唯一解 a b x （2）若0a，且0b，方程变为00 x，x为任意数都满足，则方程有无数多个 解 （3）若0a，且0b，方程变为bx 0，则方程无解 请考虑以下问题： 问题 1：解关于x的方程0)(nmnmx 分析：这个方程中未知数是x，而m、n是取不同实数的常数，因此需要讨论m、n取 不同值时，方程解的情况 把原方程化为0
10、 22 nmnmnxxm，整理得)()(nmnxnmm 等式两边能不能同时除以（nm）？应该怎样处理？ （1）当0nm，且0m时，原方程有唯一解 m n x ； （2）当0nm，且0m时，方程无解； （3）当0nm时，方程的解为一切实数 这个含有字母系数的方程的求解过程， 提醒我们一定要注意字母的取值范围 解这类方 程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论 问题 2：解方程 2222 )()(baxbxaxbabxa 分析：本题将方程中的括号去掉后产生 2 x项但整理化简后，可以消去 2 x也就是说， 原方程实际上仍是一个一元一次方程 6 将原方程整理化简得： 2222222
11、22 )(baxxbxabaxba， 即 222 )()(baxba （1）当0)( 22 ba时，即ba时，方程有唯一解 ba ba ba ba x 22 2 )( ； （2）当0 22 ba 且 0ba 且 ba，即ba时，方程无解； （3）若0ba，即ba，方程有无数多个解 问题 3：已知08) 1() 1( 22 xmxm是关于x的一元一次方程，求代数式 mmxxm)2)(199的值 因为08) 1() 1( 22 xmxm是关于x的一元一次方程，所以01 2 m，即 1m （ 1 ） 当1m时 ， 方 程 变 为082 x， 因 此4x， 代 数 式 的 值 为 19911) 124)(41 (199； （2）当1m时，原方无解 所以所求代数式的值为 1991 问题 4：已知关于x的方程23) 12(xxa无解，试求a的值 将原方程变形为232xaax，即2)32(axa 由已知该方程无解，所以 , 02 , 032 a a 所以 2 3 a为所求
