1、 1 第第 1 1 章章 有理数有理数 一、正数和负数 10 既不是正数，也不是负数，0 和正数统称为非负数，0 和负数统称为非正数。 2有理数的分类：共有两种不同的分类，如下所示： 注意：小数属于分数；圆周率 不是有理数，因此不是整数也不是分数； 正负数表示具有相反意义的量；0 是最小的自然数。 例 1 下列各数，哪些是整数，哪些是分数，哪些是正数，哪些是负数，哪些是有理数？ 7， 2 1 7， 6 1 ，0，0.67，5， 3 2 1，5.1， 4 3 ，2012，1.8. 解：整数有：7， 0， 5， 2012； 分数有： 2 1 7， 6 1 ， 0.67， 3 2 1， 5.1， 4
2、 3 ，1.8； 负数有： 6 1 ， 5， 3 2 1， 1.8； 有理数有：7， 2 1 7， 6 1 ， 0， 0.67， 5， 3 2 1， 5.1， 4 3 ， 2012， 1.8. 二、数轴 1规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三 要素。 2 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示， 但数轴上的点表示的数不一定是有理数， 有可能是无理数（以后要学习的数）。 2 3在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。一个数 a 的绝对值记作 |a|。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。任何有理数的 绝对值都
3、是大于或等于 0，即绝对值是非负数。绝对值最小的数是 0，非负数的绝对值等于 它的本身，非正数的绝对值等于它的相反数。 4相反数： 如果两个数符号相反，绝对值相等，那么我们称这两个数互为相反数。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是 0。a 的相反数是a。 如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 0。 注意：a、b互为相反数，则1ba。 例 2 绝对值小于 5 的整数有哪几个？ 解：绝对值小于 5 的整数有 9 个，它们是 0，1，2，3，4。 注意：整数不能丢掉负整数和零。 例 3 若1a2b0，求a、b 的值。 解：由绝对值都是非负数可知：1a0，2b0。 1a2b0，
4、1a0，且2b0， 即 a10，且 b20。 a1，且 b2。 注意：任何一个有理数的绝对值都大于或等于 0。几个有理数的绝对值相加得 0，只有这几 个数同时为 0。 巩固练习： 1什么数的相反数等于本身？什么数的绝对值等于本身？ 2a取什么数时，aa？ 3绝对值不大于 5 的整数有哪几个？它们的和是多少？积是多少？ 4绝对值小于 100 的整数有几个？它们的和是多少？积是多少？ 5如果ab，那么ab？ 三、有理数的大小 1比较两个有理数的大小的方法： 3 若是两个具体的数：两个正数，绝对值大的数就大；两个负数，绝对值大的反而小； 一正数与一负数，正数大于负数；一正数与零，正数大于零；一负数与
5、零，负数小于零。 若是字母表示的数：要根据字母的不同取值分情况进行讨论。 23)3(，3)3(，3)3(，3)3(； 33 ， 33 ， 33，33。 例 4 比较大小： 3 2 4 3 （填“”或“”） 解： 4 3 3 2 。 例 5 已知0a，0b，且ba ，试比较a、a、b、b的大小。 解：baab。 例 6 比较a与 2a的大小。 解：当0a时，aa2； 当0a时，aa2； 当0a时，aa2。 注意：比较含字母的两数的大小，需要就字母的不同取值进行讨论，特别不能忽视字母取 0 的情况。 四、有理数的加减 1有理数加法：先定符号（同号取原号，异号取绝对值大的加数的符号），后用绝对值计
6、算（同号相加，异号相减）。互为相反数之和为 0。 2有理数减法：应先把减法改为加法，再用有理数的加法法则计算。 3有理数加减混合运算：应先统一为加法，再利用加法的交换律、结合律，把具有某些特 点的数结合在一起，然后再进行有理数加法运算。数结合在一起相加的一般规律：互为相反 数结合（凑 0）；符号相同的数结合（归类）；几个数相加能得到整数的结合（凑整）。 例 7 某自行车厂本周计划每日生产 400 辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量 为：405 辆，393 辆，397 辆，410 辆，391 辆，385 辆，405 辆。 用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况； 该自行车厂本周实
7、际共生产多少辆自行车，平均每日实际生产多少辆自行车？ 4 解： 把超过计划量的车辆数用正数表示， 把低于计划量的车辆数用负数表示， 可得下表 （单 位：辆）： 本周总增量： （5）（7）（3）（10）（9）（15）（5）14， 所以本周实际生产总量为：4007（14）2786（辆）， 平均每日实际生产：27867398（辆）。 或者这样求平均每日实际生产：400（14）7398（辆）。 答：该自行车厂本周实际共生产 2786 辆自行车，平均每日实际生产 398 辆自行车。 例 8 小明的爸爸上周五以收盘价（收市时的价格）买进某公司股票 2000 股，每股 14.8 元， 下表为本周每日该股票的
8、涨跌情况（单位：元）： 星期三收盘时，每股是多少元？ 本周内每股最高价多少元？最低价多少元？ 已知股民买进股票时需要付 1.5的手续费，卖出时还要付成交额 1.5的手续费和 1 的交易税，如果他在周五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 解：14.844.5（1）22.30（元）。 本周内每股最高价是： 14.844.523.30 元）。 本周内每股最低价是： 14.844.5（1）（2.5）（4）15.80（元）。 周五每股卖出价为：15.8 元， 共收益： 15.82000 （11.51） 14.82000 （11.5） 1876.60 （元） 。 星期 一 二 三 四 五 六 日 增
9、减 5 7 3 10 9 15 5 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 4 4.5 1 2.5 4 5 五、有理数的乘除 1有理数的乘（除）法的计算方法：先定符号，后用绝对值相乘（除）。 有理数的乘除混合运算计算方法：由于除法可化为乘法，所以有理数的乘除混合运算统 一为乘法运算。 2求一个数的倒数的方法：用 1 除以这个数即得这个数的倒数。记住零没有倒数。a的倒 数是)0( 1 a a ，a、b互为倒数，则1ab。 3几个不为零的有理数相乘、除，结果的符号由负因数的个数决定：当负因数个数为奇数 时，结果为负；当负因数个数为偶数时，结果为正。 六、有理数的乘方 1 n a的计算方法：n个a相乘。
10、可以先定符号，然后计算。当a0时， n a0；当a 0时，若n是偶数，则 n a0，若n是奇数，则 n a0。 2科学记数法：一个绝对值大的正数写成a10 n 的形式，其中 1a10，a是只有一位 整数的数，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减 1。 3有理数混合运算的顺序：有理数混合运算顺序为先算乘方，再算乘除，最后算加减；如 果有括号，先算括号里面的。 七、近似数 1近似数的精确程度（精确度）有两种形式：一是精确到哪一位，二是有几个有效数字。 精确到哪一位：一个近似数精确到哪一位，就看最末一位在哪一位。近似数中，小数点后 面第一位、第二位、第三位、，依次为十分位，百分位，千分位。 有效数字：由四舍五入得到的近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到最末一位止，所 有的数字都叫做这个数的有效数字。 2在确定以科学记数法的形式出现的近似数的有效数字时，应根据“”前面的数确定， 在确定精确到哪一位时，应先将其写成一般的记数形式，然后再根据“”前面的数确定。 3对于一个较大的数按照保留几个有效数字或精确到哪一位的要求取近似值时，如果该数 不是科学记数法形式， 应先将其写成科学记数法的形式， 然后再根据“”前面的数取近似 值。 4特定情况下取近似数的方法：去尾法和进一法。
