1、 1 数轴数轴、绝对值、相反数绝对值、相反数重难点研习重难点研习 一、教材知识研习一、教材知识研习 研习点研习点 1 1 数轴的概念数轴的概念 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可二是这三 个要素都是规定的 （2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表 示的数并不都是有理数 【梳理总结】 首先，要理解数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数 轴它包含三层涵义：一是数轴是一条直线，可以向两端无限伸展二是数轴有三要素：原 点、正方向、单位长度，三者缺一不可三是原点：原点是数轴上有
2、特殊意义的点，它相当 于温度计的零刻线； 正方向及单位长度是根据实际需要“规定”的， 正方向一般地规定为向 右的方向；单位长度可视具体情况而定，但要注意单位长度和长度单位是两个不同的概念， 前者是指所取度量单位的长度，而后者是指度量的单位的名称（米、分米、厘米等），这就 是说单位长度是一条人为规定的代表“”的线段，这条线段可长可短，按实际情况而定 典例典例 1 1 下列各图中，表示数轴的是 ( ) 研析研析 画数轴时，数轴的三要素原点、正方向、单位长度是缺一不可的，所以应 当用这三要素检查每个图形，判断是否画的正确 解 A 图没有指明正方向； B 图中，1 和-1 表示的一个单位长度不相等，在
3、同一数轴上，单位长度必须一致； C 图中没有原点； D 图中三要素齐全 A、B、C 三个图画的都不是数轴，只有 D 图画的是数轴 2 研习点研习点 2 2 数轴的画法数轴的画法 画法：画一条直线（一般水平放置），在这条直线上任取一点作原点，用这点表示 0。 规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指方向），那么相反的方向，即从原点向左 为负方向。 选取适当的长度作为单位长度，在直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依 次表示 1、2、3，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 图 121 强调：三要素都是规定的，即可根据情况灵活
4、选定原点的位置，正方向的指向、单位长 度的大小也可根据不同需要选择，但这三要素一经确定，就不能随意改变。 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 【归纳整理】【归纳整理】 数轴的画法分为四步：一画，画一条直线二取，在这条直线的适当位 置取一点，作为原点，用实点表示三定，确定正方向，用箭头表示出来四统一，选取适 当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出，并对应地标注各数，注意同一数轴的单位 长度要一致画数轴常出现的错误：（1）没有方向；（2）没有原点；（3）单位长度不统 一；（4）负数的排列错误 典例典例 2 2 判断下列图形中所画数轴是否正确，如不正确，指出错在哪里？ 0 AC
5、234 -10 D 1 研析研析 画数轴三要素缺一不可，故以上数轴都不正确。 解 A 不正确，缺少单位长度； B 不正确，缺少正方向； C 不正确，缺少原点； D 不正确，单位长度不一致。 研习点研习点 3 3 绝对值绝对值 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，数的绝对值记作a 如：5指在数轴上表示 5 的点与原点的距离，这个距离是 5，所以 5 的绝对值是 5，记作 5。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 【梳理总结】【梳理总结】 无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性 质： 3 （1）任何有理数的绝
6、对值都是大于或等于 0 的数，这是绝对值的非负性，即a0； （2）绝对值等于 0 的数只有一个，就是 0，若00； （3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数； （4）互为相反数的两个数的绝对值相等。 典例典例 3 3 求下列各数的绝对值。 （1）18；（2） 3 5；（3）0 研析研析 一个数的绝对值与这个数之间的关系有三种： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0。 解：（1）因为18是负数，所以18的绝对值等于 18，即 1818 。 （2）因为 3 5是正数，所以 3 5的绝对值等于 3 5，即 3 5 3 5 。 （3）0 的绝对值等于 0
7、，即 00 。 说明： 一个数绝对值与这个数的本身或它的相反数有关系。 求一个数的绝对值，首先要对这个数做出判断：是正数还是负数或者 0；然后再选择 一个数的绝对值与这个数之间的某种关系；最后写出结果。必须注意，求一个数的绝对值不 能误认为就是去掉这个数前面的符号。 当一个数是用字母表示的数， 如a， 并没有 aa ， 同样，对于b，也没有 bb 。 研习点研习点 4 4 相反数相反数 只有性质符号不同的两个数，才互为相反数。如 3 1 和- 3 1 ；-3 和 3；7 和-7 都是互为 相反数。0 的相反数是 0，由定义知相反数是成对出现的（但-3 和 5 不叫相反数），数轴上 表示它们的点
8、分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如图，5 2 1 与-5 2 1 互为相反数， 4 图 122 【梳理总结】【梳理总结】一般地，数 a 的相反数是-a,记作-(a)=-a；-a 的相反数是 a,即-(-a)=a， 这里 a 可表示正数，负数和 0。 正数的相反数是负数；0 的相反数还是 0；负数的相反数是正数。 典例典例 4 4 填空题： （1）2 的相反数的绝对值是_； （2）绝对值等于 5 的数是_； （3）绝对值不大于 2 的整数是_。 研析研析 求一个数的绝对值， 用代数定义比较方便， 求绝对值等于 5 的数用几何定义比 较直观，不大于即小于或等于，绝对值不大于 2 的整数即在数轴
9、上到原点距离小于或等于 2 的整数点表示的数。 解：（1）2； （2）5；（3）-2，-1，0，1，2。 二、思维误区辨析二、思维误区辨析 易错点易错点 1 1 数轴的概念理解错误数轴的概念理解错误 典例典例 1 1 数轴的三要素是什么？ 研析研析 误解 数轴的三要素是指原点、正方向、长度单位 正解 数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 错因分析错因分析 上面的回答错在混淆了“单位长度”和“长度单位”这两个概念 看起来只 有词序不同，但实际意义不一样“长度单位”是一个确定的量，如厘米、分米等而“单 位长度”不是确定的， 它的大小可根据实际需要适当选取 当然还可用一个或若干个长度单 位来作为一个
10、“单位长度” 易错点易错点 2 2 数数轴画法错误轴画法错误 典例典例 2 2 在数轴上记出下列各数： 5.5，6，4，3.5，15 研析研析 错解 如图 123 图 123 正解 如图 124 5 图 124 错因分析错因分析 只有标明了原点、正方向和单位长度的直线，才是数轴上面画的数轴错在 没有标出原点和单位长度 易错点易错点 3 3 绝对值理解错误绝对值理解错误 典例典例 3 3 写出绝对值不大于 5 的整数 研析研析 错解 绝对值不大于 5 的整数是：4，3，2，1，1，2，3，4 正解 绝对值不大于 5 的整数有：5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5 错因分析错因分析 上面解答
11、错误有两处：其一，把符合条件的零排除在整数集合之外；其二， 对“不大于”的含义认识模糊事实上，“不大于”包括“小于”或“等于”两层意思，不 能把“等于”排除在外 易错点易错点 4 4 相反数相反数 典例典例 4 4 已知 a0，b0，a|b|，试把a，b，a，b 用连结起来 研析研析 错解 abba 正解 画数轴由 a0，b0 知表示 a，b 的点分别在数轴上原点的右边和左边，且由 a|b|和 a0 知|a|b|，所以表示 a 的点离原点较近因a，b 与 a，b 互为相反数 和 a|b|，再找出a，b 两点(如图 125)显然，baab 图 125 错因分析错因分析 解题者对这类较抽象的数的大小比较， 常常不知道从何处下手， 往往凭主观 猜想乱写结论上面解答之所以出错，主要是解题思想方法不对所造成的即未把a 和 b 所对应的点在数轴上标出来事实上，a 和a 是互为相反数，它们分别在原点的两侧， 且到原点的距离相等，b 和b 也是如此因此在数轴上标出有理数 a，a，b，b，那么 这四个数的大小关系就一目了然
