1、 1 基本不等式教学设计 青海省西宁市第五中学 高 丽 一教学内容解析 基本不等式是选自人教 A 版数学必修 5 第三章第 4 节第 1 课时， 是在学习了 “不等关系与不等式” ， “一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组） 与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓 展， 为后面选修中不等式的学习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过 程中有着广泛的应用。 本节课内容属于概念性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不 等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。因此，根据以 上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的
2、形成与正明， 会利用基本不等式求解简单的最值问题。在本节课中，学生通过观察，试验等方 法抽象概括，归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。 二教学目标设置 本章的课程目标是：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是 数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。根据本节课内容特点和以上分析， 我确定了以下教学目标： 知识与技能目标： 了解基本不等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利 用基本不等式求解简单的最大（小）值问题； 过程与方法目标： 了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路，体会 利用基本不等式求解最值的方法； 情感态度与价值观目标： 通过实
3、际背景抽象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体 现了数学来源于生活， 又应用于生活； 同时培养学生分析问题， 解决问题的能力， 充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。 基本不等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和 最值等问题时有着广泛的应用，时培养学生思维品质的重要途径。 2 三学生学情分析 在此之前，学生已经学习了完全平方差公式，圆，三角形以及比较法证明不 等式等相关知识，具备了初步的观察能力，分析能力；但由于数学基础相对比较 薄弱，还缺乏一定的探究归纳能力以及分析问题和解决问题的能力。 课堂上，教师问题逐步引导带领学生探究，归纳基本不等式与证明，由
4、于数 学学习是一个长期的过程，分析和解决问题的能力需要逐步提高。 四教学策略分析 学习知识的结果固然重要，但探索知识形成的过程同样重要。因此，在课堂 上，教师主要利用多媒体课件，几何画板的动态演示，课堂例题规范书写等方式 启发引导学生自主探究，合作学习，以便于学生学会甚至会学。 由于学生个体之间存在着差异，因此，对于不同学生，学习目标达成的效果 是有差距的。在课堂上，对于不同程度学生给予相应的评价和鼓励，激发学生的 学习兴趣和信心。 五教学过程 （一）创设情境 如图是在北京召开的第 24 国际数学家大会的会标，会标是根 据中国古代数学家赵爽的弦图设计的颜色的明暗使它看上去像一 个风车，代表中国
5、人民热情好客。 【设计意图】 ：以会标图案引入，贴近生活，有利于充分激发学生 的学习兴趣。 （二）探索发现，形成新知识 下面请同学们思考以下问题。 问题 1：会标中 ABCD 是什么形状吗？还有哪些图形？ 问题 2：它们的面积之间存在着怎样的大小关系？如何 用ba,表示？ 问题 3：中间的正方形是怎样产生的？能消失吗？（几 何画板展示） 学生们开动脑筋，找到很多相等关系与不等关系。 3 4SS 大正方形直角三角形，得 abba2 22 。 【设计意图】 ：问题的设计，可以给学生提供更多独立思 考的机会，启发引导学生得出不等关系。 进一步深化问题，思考等号成立的条件，几何画板演 示，润物细无声地
6、引导学生体会极限思想。 问题 4： 你能用代数方法证明吗？上式对正实数是成立的， 那么对任意实数ba,， 上式都成立吗？ （学生回答，学生比较自然的想到用“比较法”证明。教师利用投影仪展示 学生的完整证明过程。强调ba和ba两种情况，说明“当且仅当”的含义。 ） 1. 重要不等式： 对任意实数ab、，有abba2 22 ，当且仅当ba时，等号成立。 【设计意图】 ：思考变量取值范围和不等式证明过程，为后面基本不等式的条件 和证明方法作铺垫。 问题 5：对于上式，如果0, 0ba,用ba,代替ba,可得到什么结论？ 2 ba ab ，当且仅当a b=时，等号成立。 2.基本不等式 通常我们把不等
7、式 )0, 0( 2 ba ba ab ，当且仅当ba时等号成立。 称为基本不等式。 我们把 2 ba 叫做正数ba,的算术平均数，ab叫做正数ba,的几何平均数。 基本不等式文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 由于基本不等式中含有两个平均数， 因此， 我们又把基本不等式叫均值不等式 （均 值定理） 基本不等式实质反映的是两个正数的和与积之间的不等关系。 【设计意图】 ：演绎变换，得出本节课的核心内容。其中，渗透 a,b 的取值范围 为正数。 4 【过渡】实际上，在许多几何图形中也都蕴含着基本不等式，下面就让我们回归 到直观图形进一步理解基本不等式 【问题 6】动手操作
8、现在我们来做一个实验， 请拿出准备好的两个正方形纸张， 记一张面积为a， 另一张面积为b. 步骤一：把两张纸张沿对角线对折，把对折后的两部分纸张沿对角线靠拢， 则两部分的总面积为 2 ab ； 步骤二：此时靠拢的两张纸张的下半部分可看成一个 矩形（见下图） ，则其中一个边长为a，另一边为b， 故矩形的面积为ab； 步骤三：由图显然可得基本不等式：矩形面积不大于整个面积，即 2 ab ab 其实，用我们初中所学过的平面几何的知识也可以解释基本不等式。 【问题 7】你能用这个图得出基本不等式的几何解释 吗? 如图,点 C 是 AB 上一点, AC=a，BC=b， 以 AB 为 直径作圆, O 为圆
9、心，过点 C 作垂直于 AB 的弦 DC,连 接 AD、BD、OD。 如何用 a, b 表示 OD? 如何用 a, b 表示 CD? OD 与 CD 的大小关系怎样? (教师问题引导，学生观察图形回答问题，教师用几何画板展示说明） 【设计意图】 ：根据所学过的圆和三角形相似的知识，结合图形得出几何解释， 几何画板的动态演示，既使学生从数和形的角度感受等号成立的条件，又在同时 激发着他们对数学的无限兴趣。 刚才我们从几何方面体会了基本不等式。 数缺形时少直观， 形少数时难入微。 因此，代数证明是不可缺少的。你可以想到哪些方法呢？（学生回答作差法，这 个问题留作课下自己推导）今天我们尝试一种新的证
10、明方法 5 方法二：分析法 教师多媒体展示证明过程，学生观察思考。 要证ab ba 2 只要证abba2 要证,只要证02abba 要证,只要证0)( 2 ba 显然, 是成立的。当且仅当 a=b 时, 中的等号成立 。因此式成立。 这种执果索因的证明方法叫做分析法，在本节课做一个了解内容，还会在后面 的选修中继续学习。 【设计意图】 ：一方面，渗透分析法证明问题的思路即执果索因；另一方面从代 数的角度证明不等式，培养学生严谨的学习态度。 （三）初步应用，归纳提升 判断下列式子的正误： . 2 1 1, 1 2 1 2 1 ,0. 1有最小值是时即，当且仅当则若 x xx x x x x x
11、xx .2 1 1 1 2 1 2 1 , 1.2有最小值是时时，即，当且仅当则若 x xx x x x x x xx .)1( 2 1 ,1 2 1 2 1 )1(, 10.3有最大值时即，当且仅当则若xxxxx xx xxx 【设计意图】 ：本题逐步变换条件，引起学生对三个限制条件的分析，培养学生 分析问题解决问题的能力，从而突破本节课难点。 实际应用： (1).现用篱笆为我家金毛制作一面积为 4 的矩形窝，如何设计所用篱笆最短。 (2).若用长为 8m 的篱笆为我家金毛制作一矩形窝，如何设计使得此窝面积最 大？ 【设计意图】 ：例题的设计，用到了三个限制条件，得出了解决此类问题的两个 变
12、形，突出了本节课的重点，体会了数学在实际中的应用价值。 课堂练习 6 证明不等式：) 1( , 3 1 1 a a a （四）反思总结，培养能力 两个不等式：_ 两个概念：_;_ 三种语言：符号语言_ 文字语言_ 几何语言_ 几种证法： 数学思想： 【设计意图】从知识到数学思想，反思总结，巩固提高。 （五）教学目标检测（附：最后） （六）板书设计 3.4 基本不等式 2 ab ab 1、重要不等式 2、基本不等式 课堂练习演草 六教学反思 设计本节课的理念是以学生为主体。 从实际生活数学家大会会标的引入到基 本不等式的推导，从几何解释到代数证明，从师生互动到动手操作，从课内练习 到实际应用，最
13、后由教师引导学生归纳，将本节课划上圆满的句号。在课堂问题 设计方面，力争提问准确到位，以便于学生思考和回答。在课堂中，能够明确教 学目标，通过课堂师生活动突出重点，突破难点。我忍为本节课的设计中有以下 几个亮点，1.几何画板的演示，使学生感性的认识基本不等式，化解了等号成立 这一难点；2.课堂上的动手操作折纸实验，让学生亲身体验知识的形成过程；3. 例题的设计，来源于教材，又不拘泥于教材；4.本节课的小结，从知识到思想方 法逐步加深。在课堂上，对学生提问的提问还不够多，学生回答问题的评价有待 7 进一步的提高。 基本不等式教学目标检测基本不等式教学目标检测 一、一、 知识梳理知识梳理 1. 重
14、要不等式： 2. 基本不等式： 3. 几个变式 (1) (2) 二、二、 基础自测基础自测 1. 若,0,22a babab且。则的最大值为 若,0,12a babab且。则的最小值为 2. 若 12 ,0,1a bab ab 且。则的最小值为 若 12 ,0,2a bab ab 且。则的最小值为 3. 若 12 ,0,12a bab ab 且。则的最小值为 若 12 ,0,22a bab ab 且。则的最小值为 三、三、 考点突破考点突破 1.若 1x ，则 4 1 x x 的最小值为 2.若01x，则3 3xx的最大值为 3.已知 4 ,0,11 ba a b ab 则的最小值为 4.已知
15、 5 0 4 x，则54xx的最大值为 5.已知正实数满足, a b满足 1 log1 a b ，则13a bb的最小值 6. （2009 天津卷理）设0,0.ab若 11 333 ab ab 是与 的等比中项，则的最小值 8 为（ ） A 8 B 4 C 1 D 1 4 基本不等式一课点评 青海省西宁市第五中学 韩尚义 我校高丽老师的 基本不等式 一课， 从实际问题直观引入， 以问题为纽带， 不断提出问题， 由学生通过独立思考或合作交流， 在不断的讨论中积极参与学习 活动，积极思考问题，主动探求问题的答案。高老师运用多媒体课件教学，把文 字、声音、图像、颜色、动画等多种信息高质量高速度的传达
16、给学生，极大的丰 富了教学信息，化难为易，化抽象为具体，化枯燥为生动，增强了学生的学习兴 趣。高老师不是简单的把基本不等式及其用法讲授给学生， 而是让学生逐步的发 现、总结基本不等式的特点，并应用基本不等式解决相关问题。整个课堂设计都 是以学生为主题，教师引导学生通过主动参与探索、归纳来获取知识，从而培养 了学生的观察、比较、归纳和自学能力。使学生在 45 分钟内不仅学到了知识， 而且还有一种美的享受，让学生在轻松愉悦的氛围中快乐学习。从一开始由第 24 届国际数学家大会会标中几何图形的面积关系引入基本不等式，到后来用现 用篱笆为我家金毛制作一面积为 4 的矩形窝， 如何设计所用篱笆最短实际问题。 由易到难，让思维在问题解决中成长，让问题解决在思维中拓展，最终让学生真 正成为学习的主人,在今后教学中注意语言表达的精炼。
