1、1 导数导数的概念及其几何意义的概念及其几何意义教学设计教学设计 深圳中学 刘 XX 一、内容一、内容及及内容内容解析解析 1内容： （高中新课标数学课程内容）导数的概念及其几何意义. 2解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的 学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的 作用，了解微积分的文化价值. 导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的 形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定 义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想. 本节课的教
2、学重点教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念， 利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想. 二、目标二、目标及目标解析及目标解析 1教学目标 （1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养. （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实， 揭示导数的几何意义， 并由此加强直观想象素养的培养. （3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想， 加强数学运算素养的培养. 2目标解析 （1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活 与科学
3、研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具， 还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程. （2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是 平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在 0 xx处的导数就是函数 图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直 观想象素养的难得机会. （3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供 典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般” 、 “从具体到抽象”是数学研究的重要思想方 法. 三
4、、三、学生学情诊断学生学情诊断分析分析 2 本节课授课对象是广东省重点中学深圳中学的学生，在广东省属于基础非常好的学生，他 们具有扎实的基础，较强的计算能力和较高的逻辑思维水平. 如何正确理解瞬时速度、切线的斜率是极限，这是第一个教学问题.要解决这个教学问题， 需要用好前面学习过的案例，通过数值变化和图象直观，正确理解平均速度的极限就是瞬时速 度，以及割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义，这也 是建立导数概念的关键. 如何从已经学习过的求瞬时速度、求切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二 个教学问题，也是教学难点.要解决好这个问题，需要先从学习过的具体
5、案例中提练出平均变化 率的概念，并用符号形式化地表示出来.在此基础上，通过自变量的改变量趋于0的变化，观察 平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念. 导数概念的建立过程中，涉及大量的相关概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意 义，是第三个教学问题.教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与 符号，还要能准确运用相关概念与符号. 教学难点教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊 的“极限”. 四、教学四、教学策略分析策略分析 学生在上一节课体验了用平均速度逼近瞬时速度、割线斜率逼近切线斜率，这是求瞬时速 度、求切线斜
6、率的重要方法，也是建立函数导数概念的重要支持.而且，学生在高中数学学习过 程中，已经建立了不少概念，对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多 的体会与认识. 学生没有极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这都增 加了学生抽象概括出导数概念的难度. 因此， 借助技术平台(如EXCEL软件等)使学生直观感受极 限的“逼近”的过程，以此降低认识导数就是极限的难度，是本节课的另一个重要支持条件. 此外，教学中还应该关注以下几点： 1注重由特殊到一般的思维引导 本课以预设问题链激发学生思考、 推动课堂教学.问题的设置体现了由特殊到一般的认知规 律，即学生从跳水运
7、动员的平均速度到瞬时速度的逼近和割线斜率到切线斜率的逼近，然后再 推广到一般情形，建立导数的概念. 2强化数学抽象的核心素养 在学生充分经历瞬时速度和切线斜率的计算过程后，引导学生归纳概括函数的平均变化率 的概念，导数的概念. 3引导学生借助直观想象理解导数的几何意义 通过割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率的过程，向学生展示切线形成及切线斜率计算 的过程，帮助学生理解导数的几何意义. 3 五、教学过程设计五、教学过程设计 【问题【问题1】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单 位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系 2 ( )4.94.811h ttt
8、. 如何求出0.5st 时刻的瞬时速度？ 师生活动预设：师生活动预设：教师通过提示学生上节课用平均速度逼近瞬时速度的方法计算出 1st ，2st 时刻的瞬时速度，提问：如何求出0.5st 时刻的瞬时速度？ 学生复习上节课求瞬时速度的方法，并思考教师提出的问题. 教师利用信息技术演示平均速度逼近瞬时速度的计算过程：先计算0.5,0.5t时间段 的平均速度，再令时间间隔t无限趋近于0，平均速度趋近于一个确定的值，这个(极限)值就 是0.5st 时的瞬时速度，同时进行极限运算的时候要向学生强调极限的运算过程， 体会无限逼 近的思想. 追问：追问：(1)现在我们算出1st ，2st ，0.5st 时刻
9、的瞬时速度，那么对于某一时刻 0 t， 你能否算出瞬时速度？如果能，请计算求出；如果不能，请说明理由. 解：时间段 00 ,ttt内的平均速度 00 0 4.99.84.8 h tth t vtt t ，令 0t ，则 00 4.99.84.89.84.8vttt ，可见瞬时速度是一个只与 0 t有关的值， 不妨记为 0 v t，即 000 00 limlim( 4.99.84.8)9.84.8 tt v tvttt ，所以 运动员在某一时刻 0 t的瞬时速度为 00 9.84.8v tt. 师生活动预设：师生活动预设：学生思考； 教师展示计算过程，强调极限的表示和描述性定义. 设计意图：设计
10、意图：通过复习上节课瞬时速度的计算，提出一般时刻的瞬时速度的计算问题，为抽 象概括导数的概念作好铺垫. 追问：追问：类似地，我们还研究了抛物线 2 yx在点某点处的切线斜率，如点1,1P， 1,1P ，其他点处切线的斜率能不能求？ 一般的点怎么表示？其斜率如何计算？ 设计意图：设计意图：继续复习上节课切线斜率的计算，提出一般的点处切线斜率的计算问题，为 抽象概括导数的概念作好铺垫. 【问题【问题 2】如果把高台跳水和求抛物线斜率问题中的函数换为一般函数 yf x ，你可以 类似地得出什么结论？ 师生活动预设：师生活动预设：给学生充分思考的时间，引导学生抽象概括导数的概念. 如果学生归纳概括有困
11、难，可以给出下表帮助学生思考： 函数 平均变化率 瞬时变化率(导数) 2 ( )4.94.811h ttt 00 h tth t v t 0 0 lim9.84.8 t vt 2 yx 2 2 00 xxx k x 0 0 lim2 x kx 4 exy 00 ee xxx k x 0 lim x k yf x 00 f xxf x y xx 00 0 lim x f xxf x x 教师引导学生归纳概括出导数的概念，学生在学案上归纳概括导数的概念并拍照上传到 技术平台；教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其中的问题，同时完善学生的表 达，强调其中符号的表示. 教师给出函数的平均变化率
12、、导数的定义： 对于函数 yf x，设自变量x从 0 x变化到 0 xx ，相应的，函数值y就从 0 f x变化到 0 f xx.这时，x的变化量为x，y的变化量为 00 yf xxf x . 我们把比值 y x ，即 00 f xxf x y xx 叫做函数 yf x从 0 x到 0 xx 的平均变化率平均变化率. 如果当0 x 时， 平均变化率 y x 趋近于一个确定的值， 即 y x 有极限， 则称 f x在 0 xx 处可导，并把这个确定的值叫做 yf x在 0 xx处的导数导数(derivative)，记作 0 fx或 0 |x xy ， 即 00 0 00 ()() ()limli
13、m xx f xxf xy fx xx . 设计意图：设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法. 设 计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法. 追问：追问：瞬时速度0.5v用导数怎么表示？点 2 00 ,P xx处的切线斜率k用导数怎么表示？ 师生活动预设：师生活动预设：学生在学案上写下答案并拍照上传到技术平台； 教师通过信息技术平台展示学生的解答并点评其中的问题，同时强调导数符号的表示 0.5 0.5vh， 0 0 |x xv ty . 例例1 1 设 1 f x x ，求 1f. 解： 1 1 111 1 1 fxf x xx
14、x ， 000 1 1 111 1 1limlimlim1 1 xxx fxf x f xxx . 师生活动预设：师生活动预设：学生思考. 教师板书演示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念. 5 【问题【问题 3】 曲线 3 yx(0 x )上的点到直线330 xy距离的最小值为_. 师生活动预设：师生活动预设：教师先回忆上节课研究的抛物线 2 yx上一点到直线330 xy距 离的最小值问题，然后提出问题：将抛物线 2 yx换成曲线 3 yx(0 x )如何解决. 学生有可能给出如下回答：类似于抛物线的解决方法，如(1)设点坐标直接求，困难是 三次函数的最值求不出来；(2)数形
15、结合，利用几何方法，将点到直线的距离转化为平行线间的 距离，当直线与曲线相切时取得最小值，从而引出求切线方程的问题. 教师利用信息技术动态演示距离的变化情况，引出切线问题. 追问：追问：现在我们需要求得曲线 3 yx(0 x )上一点 3 00 ,xx( 0 0 x )的切线，使其平 行于直线330 xy，也就是让切线斜率等于？ 现在的关键是求出曲线 3 yx(0 x )上一点 3 00 ,xx( 0 0 x )的切线斜率，那么切线 怎么定义？是类似于圆的切线定义还是抛物线的切线定义？ 师生活动预设：师生活动预设：学生思考并讨论，如何定义曲线 3 yx(0 x )上一点 3 00 ,xx( 0
16、 0 x )的切线. 学生有可能给出如下回答：小部分回答圆的切线定义方式，大部分抛物线的切线定义 方式. 追问：追问：我们上节课已经知道圆的切线定义方式不适用于抛物线，那么抛物线的切线定 义方式是否适用于圆呢？ 师生活动预设：师生活动预设：学生有可能给出如下回答：适用. 教师利用信息技术动态演示圆的割线逼近切线的过程. 追问：追问：对于曲线 3 yx(0 x )呢？一般曲线 yf x呢？ 师生活动预设：师生活动预设：学生有可能给出如下回答：适用. 教师利用信息技术动态演示圆及一般曲线的割线逼近切线的过程，并给出一般曲线 yf x在一点处的切线定义： 取曲线 yfx上的一动点 00 ,P xxf
17、 xx ，当点 00 ,P xxf xx 沿着曲线 yfx趋近于点 000 ,P xf x时， 割线 0 PP趋近于确定的位置， 这个确定位置的直线 0 PT称为点 P处的切线切线(tangent line). 6 追问：追问：现在切线定义已经解决了，如何求切线斜率？ 师生活动预设：师生活动预设：学生有可能给出如下回答：用割线斜率逼近切线斜率. 教师投影切线斜率 00 0 lim x f xxf x k x . 追问：追问：现在我们称 00 0 lim x f xxf x x 为？ 师生活动预设：师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(函数 yf x在 0 xx处的)导数. 追问：追问：导数的
18、几何意义就是？ 师师生活动预设：生活动预设：学生有可能给出如下回答：(曲线 yf x在点 00 ,xf x处的)切线 斜率. 追问：追问：曲线 3 yx(0 x )上的哪个点处的切线斜率为3？ 师生活动预设：师生活动预设：教师提示：设点 3 00 ,P xx( 0 0 x )处切线斜率为3，则 0 3fx. 学生在学案上计算 0 x的值并拍照上传到畅言平台. 教师点评学生的答案，并给出解答过程. 追问：追问：曲线 3 yx(0 x )上的点到直线330 xy距离的最小值是？ 设计意图：设计意图：通过研究一道解析几何经典问题， 引出一般曲线的切线定义及某点处切线斜 率的计算方法，直观形象地让学生
19、体会导数的几何意义. 追问：追问：通过前面的例子，你知道求函数 yf x在 0 xx处的导数的步骤吗？ 师生活动预设：师生活动预设：学生思考并回答问题： 第一步，求函数的平均变化率 00 ()()f xxf xy xx 并化简； 第二步，求极限，令0 x ，得到导数 0 0 ()lim x y fx x . 设计意图：设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵，掌握导数运算. 【问题【问题 4 4】你认为下列命题哪些是正确的？ 瞬时速度是导数. 导数是切线斜率. 导数是特殊的极限. 曲线 yf x在点 00 ,xf x处的切线方程是 000 yf xfxxx. 师生活动预设：师生活动预设：学生在技术
20、平台上完成解答； 教师通过信息技术平台展示学生的解答情况并点评出错较多的问题，并由此进行小 结. 教师布置课后检测作业. 设计意图：设计意图：通过【问题【问题 4 4】对本节课内容进行小结，进一步加深学生对导数概念的理 解，加强数学抽象、直观想象等核心素养. 7 六、目标检测设计六、目标检测设计 1.圆的面积S与半径R的关系为 2 SR，问5R 时面积关于半径的瞬时变化率是多 少？ (设计意图：认识瞬时变化率(导数)的概念，练习导数的计算) 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加 快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 (设计意图：理解导数的概念及其几何意义) 3.求曲线 2 1 2 2 yx在点 3 1, 2 处的切线的倾斜角的大小. (设计意图：理解导数的几何意义)
