1、1 3.3.2 均匀随机数的产生 一.内容和内容解析 内容均匀随机数的产生 内容解析 “3.3.2 均匀随机数的产生”是人教 A 版普通标准实验教科书必修三第三章第 2 节“几何概型”的第 2 课时内容。 本节计划 1 个课时完成， 我将通过组织学生对 2 个问题(例 2 的送报问题和例 3 圆周率的估计) 的探究和实验，初步完成用随机模拟的方法估算几何概型的概率，设计了三个探究活动，3 种形式的实验 操作，让学生在实验中提炼方法，感受数学思想。 从课程安排来看，本课时是在用整数值随机数的产生之后，这是将 2 种概率类型的模拟问题进行了类 比，是对随机模拟方法的补充，也是数学建模思想的再次强化
2、，是高中概率内容的最后一课时。 从数学文化价值来看， 随机模拟是数学应用价值的充分体现， 也是培养数学建模核心素养的重要内容。 所以本节内容是必要的，也是重要的。 二.目标和目标分析 目标 1.了解均匀随机数的意义，能用随机模拟的方法估计概率; 2.掌握运用工具（计算器、excel 软件）产生均匀随机数的方法; 三.教学问题诊断分析 学生已经在概率前面部分学习了概率的意义、概率与频率的关系以及两种概率类型，也了解了用整数 值随机数模拟古典概型的方法，初步具备本节要求的基本知识和技能； 但面对实际问题如何抽象出数学模型，以及如何将古典概型的处理办法迁移到几何概型中，仍然是学 生能力的主要不足。
3、教学重点1.均匀随机数的意义及其产生方法; 2.用均匀随机数模拟几何概型。 教学难点随机模拟的方案设计. 教学方法学生学法以合作交流、实验操作为主，以数学运算检验为辅； 教师采用问题导向、师生互动探究式教学方法。 四.教学支持条件分析 1.导学案。由于本课时是本章的最后一课时，需要涉及前面铺垫的知识，所以采用导学案做好预备和引 导，可以很好地将课堂的重点和难点问题从课前开始就由学生初步思考，提高课堂效率和知识连贯性。 2.科学计算器. 3.电脑软件：excel、几何画板、PPT。由于本节的难点在于如何建立数学模型以及如何呈现大量重复试 2 验所体现的规律性，而这一过程更适合采用计算机软件从数与
4、形两方面进行展示。 4.自制教具：转盘、撒豆子模型。课程标准明确指出，培养学生数学运算的核心素养，而本节采用定义 计算定积分正需要详细进行计算，采用 PPT 可以让课堂更大容量更高效率地进行，也能让学生有更大空间 进行数学运算。 五.教学过程设计 （一）复习回顾，创设情境 1.复习回顾 概率的意义：描述随机事件发生的可能性大小 概率与频率的关系：概率是频率的稳定值 频率是概率的估计值 古典概型特点：基本事件有限个、等可能 几何概型特点：基本事件无限个、等可能 古典概型计算公式： ( ) A P A 包含的基本事件个数 基本事件总数 几何概型计算公式： ( ) () A P A 构成事件 的区域
5、长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 古典概型随机模拟的方法： 用（整数值）随机数代表基本事件 随机模拟试验：试验结果随机数 古典概型的基本事件：有限个、等可能的试验结果离散型整数值随机数 几何概型的基本事件：无限个、等可能的试验结果连续性均匀随机数 【设计意图】 通过课前准备让学生回忆前期知识，并将两种概率类型的类比学习类比学习迁移到本节中。 2.创设情境 如图，朝一个正方形随机地扔一颗豆子，豆子落在圆内的概率如何计算？ （答：根据几何概型计算公式，P 圆的面积 正方形面积 ） 如果里面画的是一个椭圆呢？或者任意的一个曲边形呢? 【设计意图】 创设情景问题，迅速切入
6、本节主题，同时为本节课铺垫一个问题线索。 3 (二).原理奠基，技能完善 1.生成均匀随机数的方法: 计算器：SHIFT RAN# 重复按 = Excel 表格：选择一个单元格，输入=，然后选择函数(或直接手动输入函数) “=rand（）”，产生一个 随机数，然后复制粘贴到其他单元格，产生更多随机数。 2.如何利用生成0,1的均匀随机数的方法得到a,b的均匀随机数呢？ 答： (b-a) x+a 学生操作计算器和 excel，分别生成 10 个 3,7 的均匀随机数，填入表格. 计算器 Excel 【设计意图】 演示操作过程并让学生自行操作，将自学内容进一步延伸，由特殊到一般。学生更加熟悉操作工
7、具，为本 节设计随机模拟的方案做好理论铺垫。 类比类比整数值随机数，认识均匀随机数的特点和作用。 (三).结合情景，方案初探 例 2(教材 P137) 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30-7:30 之间把报纸送到你家，你父 亲离开家去工作的时间在早上 7:00-8:00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件 A）的概率是 多少？ 探究一： 1.该问题中，随机试验是什么？（两个时刻的组合）试验结果是什么？（一对实数）A 事件发生的条 件是什么？（离家时刻大于送报时刻） 2.如果用均匀随机数表示试验结果， 需要哪些量？ （离家时刻 x 和送报时刻 y） 这些量的取值范围呢？
8、（6.5,7.5x 7,8y） 3.如果用频率估计概率，如何计算频率？ (学生讨论以上三个问题，设计模拟方案，并演示表盘道具，同时体现手工进行大量重复操作试验是 很困难的) 4.类比古典概型的随机模拟方法，请设计一个计算机模拟方案，将问题需要的量写在表格第一行。 4 (学生充分参与设计，方案基本成熟以后，教师演示计算机具体操作。) 【设计意图】将概率问题转化为频率问题，用问题串引导学生初步形成随机模拟的方向，并类比古典 概型，初步探索设计模拟方案，并分组展示设计结果。 5.按照刚才的模拟方法，用 Excel 软件实践操作，并得出概率的估计值。 (学生使用计算机软件得出概率的估计值并汇报，体现结
9、果的随机性，然后教师通过折线图和散点图 展示大量重复试验的结果，再次说明统计结果既具有随机性也具有规律性。) 【设计意图】用实践操作检验理论结果，激发学生成就感，教师还要通过折线图展示变化趋势，引导 学生再次认识：随着试验次数的增加，频率稳定在一个常数附近，体现概率的本质。同时通过散点图的分 布规律体现：随着试验次数的增加，点数之比近似等于面积之比，为计算精确概率值做出铺垫。 探究二： 结合散点图呈现的规律和上一节几何概型计算公式，例 2 如何计算概率的准确值？ 解：送报纸时间为 x, 则6.57.5x，爸爸离家时间为 y,则78y，爸爸离家前取得报纸, 只需 送报时间早于离家时间，则yx：
10、得到概率的准确值 111 1 7 222 1 18 A S P A S 【设计意图】将问题从理论上进行计算，发现由两个变量决定的几何概型可以转化为面积之比计算概 率，同时使用几何画板再次演示，对模拟结果进行了一次验证，各组之间的实验对比有了结果。 提示学生，用统计方法计算概率，既具有随机性，也具有规律性。 通过解决刚才的问题，尝试总结例 2 的模拟步骤。 模拟步骤： 例 2 送报问题 模拟什么随机试验 送报时刻与离家时刻的关系 用几组随机数？ 两组均匀随机数 x 、y 5 图 3.3-3 随机数的范围？ 6.5,7.5x 7,8y 事件 A 发生的条件？ xy 随机模拟试验的工具 Excel
11、软件 【设计意图】通过例 2 归纳模拟步骤，为其他模拟问题提供统一的方法。 (四).理论迁移，应用实践 例 3(教材 P139)在图 3.3-3 的正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值 探究三： 1.类比例 2，如何用频率估计豆子落在圆内的概率？ 2.圆周率和该问题有何联系？ 解： 随机撒一把豆子， 每个豆子落在正方形内的任意一点处都是等可能的， 落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即： 圆的面积圆中的豆子数 正方形的面积正方形中的豆子数 假设正方形边长为 4，则 4 16 圆中的豆子数 正方形中的豆子数 即4 圆中的豆子数 正方形中的豆子数 这样就得到圆周率的近
12、似值。 3.类比例 2，请设计一个估计圆周率的模拟方法。 (学生讨论并形成方案，然后开始撒豆子试验，并统计结果) 类比例 2，请设计一个用 Excel 模拟的类似表格： A B C D E F 1 豆子横坐标 x 豆子纵坐标 y 试验次数 圆中的豆子数 正方形中的豆子数 频率 2 【设计意图】在例 2 的基础上，让学生再次经历手工模拟、计算机模拟的流程解决例 3，再次强化类比学 习的方法，提炼随机模拟的一般步骤。 （最后，回扣课堂开始的问题： 通过以上 2 道例题的探究，本课刚开始的问题就可以迎刃而解了： 由于=P 任意曲边形面积曲边形内的点数 频率 正方形面积正方形内的点数 所以，任意曲边形
13、的面积频率正方形面积） 例 3 估计圆周率 6 而频率用随机模拟的方法就可以得到。 (五).整合完善，归纳拓展 自我归纳，建构网络 课后思考，实践拓展 1.利用随机模拟的方法估算图 3.3-4 中阴影部分(y=1 和 y=x2围成的部分)的面积. 2.课本 P140练习 2，并设计随机模拟的方案(手工方案或者计算机模拟方案)。 【设计意图】学生自主整理本节主要内容，构建知识结构，归纳技能方法，提炼数学思想；然后设计课后 实践，将本节获取的知识和能力迁移拓展，体现数学建模的数学思想。 六.目标检测设计： 1.利用随机模拟的方法估算图 3.3-4 中阴影部分(y=1 和 y=x2围成的部分)的面积. 2.课本 P140练习 2，并设计随机模拟的方案(手工方案或者计算机模拟方案)。 3.34图 3.34图
