1、对数与对数运算 （第一课时） (人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第二章第二节) 太原市实验中学太原市实验中学 段段 XX 一、教学内容解析一、教学内容解析 对数与对数运算选自人教 A 版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内 容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小 节内容 16、17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当 务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背
2、 景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指 数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的 运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实 际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分
3、析，引导学生借助指数函 数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引 出对数概念. 通过图示连线， 对指数式和对数式中各字母进行对比分析， 来认识对数与指数的相互联系 ； 利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用. 对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对 数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不 断的学习中逐渐体验对数符号的重要性. 三、学生学情分析三、学生学情分析 1.认知基础 从运算的角度来讲，加、乘
4、、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习. 从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的 一般性质，对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函 数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，之后将在学习对数的基础上继 续学习对数函数. 2.问题诊断 对数的概念对于学生来说，是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的， 在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面： （1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转 换； （2）不能把“对数的实质是指数”应用
5、在数学问题的解决中. 基于以上分析，本节的教学难点是：（1）对数概念的理解；（2）对数的常用性质的概括. 为了突破第一个难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学 习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导 学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从 对数概念外延的角度进行理解. 本节的第二个难点是：“0 和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证 是涉及到求定义域时，看到对数符号，不能如同看到分母一样，瞬间闪现出真数要大于 0 的限 制，因此应该在学习对数伊始，就打好“0 和负
6、数没有对数”的认识基础. 为了突破第二个难点，不要急于将现成的结论抛出，可以让学生在自主举例（感受个例） 的基础上，尝试思考（分析通例）对数中的底数和真数可以取什么样的数，引导学生思考是不 是所有的实数都有对数，哪些数有对数？为什么？ 通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解. 四、教学策略分析四、教学策略分析 本节教学中，学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程： 从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过 程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习； 再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念
7、外 延的角度加深概念理解； 再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识； 循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特 殊的对数值（1 的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，从而丰富学生对于 对数概念的认知. 突破难点的策略为：旧知新悟，适度模仿，归纳概括，自主举例. 五、教学过程设计五、教学过程设计 1.1.对数概念的形成对数概念的形成 1.1.1 1 创设情境，引发思考创设情境，引发思考 【实际情境实际情境】网上的一则消息：有驴友挖到几枚恐龙蛋，送到权威机构做了碳 14 同位素 鉴定，结果是白垩纪的恐龙蛋化石
8、，现坐等博物馆上门收购. 生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量，每经过大约 6000 年，会衰减为原来的一半，这 个时间称为“半衰期” ，研究人员常常根据机体内碳 14 的含量来推断生物体的年代，其中半衰 次数 与碳 14 的含量 P 间的关系为：. x 1 ( ) 2 x P= 但是，当生物组织内的碳 14 含量低于千分之一时（这里我们按来计算） ，一般的放 1 1024 射性探测器就测不到碳 14 了. 众所周知，恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上，那么用碳 14 同位素法能推断出恐龙 蛋化石的年代吗？ 问题问题 1 1： （1）经过 1 次半衰期，碳 14 的含量会变为原来的多少？3
9、 次呢？（2）经过几次 半衰期，一般的放射性探测器就测不到碳 14 了呢？（3）用碳 14 同位素法能推断出恐龙蛋化 石的年代吗？ 【预设的答案】；不能 1 2， 1 8 ；10 【设计意图】对数概念不是凭空产生的，用考古鉴定这一实例，让学生感受“求指数”这 样的问题是客观存在的，是源于实际生活的. 【数学情境】解方程：（1）； （2）； （3）. 2x= 22x= 32x= 4 【设计意图】创设数学情境，通过指数方程的实例，让学生感受在数学学习中， “求指数” 这样的问题也是存在的，有必要研究这一类问题. 问题问题 2 2：以上几个问题的共同特征是什么？ 【活动预设】引导学生归纳概括出问题的
10、共同特征：已知底数和幂，求指数 . x 1.1.2 2 探究典例探究典例，形成概念形成概念 活动活动：解方程：（1）； （2）； （3）. 2x= 22x= 32x= 4 【活动预设】感受在求指数的过程中，有的指数可以直接写出结果，有的指数却不好表示. 【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫. 问题问题 3 3： 以引例中的为例， 分析 的值存在吗？如果存在， 符合条件的 的值有几个？2x= 3xx 能估计出 的大致范围吗？ x 【活动预设】 （1）根据函数图象，思考等式中指数 的存在性，唯一性和大致范围； 2x= 3x （2）类比：在学习求方程的根时，为了表示底数 ，引入了数学符号：，表示
11、 3x3= 2x 次方为 2 的数；这里，我们引入对数符号来表示指数 ,将 记作. xxlog23 【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数 的存在性，唯一性和大致范围，为了 表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程. 问题问题 4 4：结合方程来思考，中表示什么？ 2x= 3x = log23log23 【活动预设】 （1）分析表示的含义； log23 （2）感受：以为例，分析指数 可以怎样用对数符号表示，以及该符号表示什么. 2x= 4x 教师讲授教师讲授：若） ，那么数 叫做以 为底的对数，记作：，ax= N（a 0，a 1xaNNx a log 其中 叫做对
12、数的底数，叫做真数. aN 【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体 到抽象的思路，形成对数概念. 问题问题 5 5：指数式与对数式是等价的，但在两个式子中的名称一样吗？ a， 【预设的答案】此处画上连线图，呈现指数式与对数式之间的关系。 【设计意图】 （1）体验对数式与指数式的互相转化； （2）理解两个式子从不同角度表示之间的关系；通过图示连线，认识在a，a， 指数式与对数式中的名称. 1.1.3 3 具体感知，理性分析具体感知，理性分析 活动：活动：自主举例的接龙活动. 【活动要求】 第一组每一排学生在四线三格中写出一个对数，其中底数与真数都是集合A的
13、元素； （集合A=-1，0，1，2，3，4，5） 第二组相应排学生说出这个对数的值或所表示的含义； 第三组相应排学生说出对数式相应的指数式. 【活动预设】如果出现真数为负数或 0 的情形，引导学生思考其合理性. 【设计意图】 在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延 的角度加深概念的理解，为下一个环节作铺垫；同时也规范对数符号的书写. 问题问题 6 6：对数中底数和真数的范围分别是什么？ 【活动预设】 引导学生回归指数，根据图象来判断底数、真数的范围. 【设计意图】 从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析， 认识底数与
14、真数的取值范围，渗透“对数的本质是指数”这一思想，加深对数概念外延的理解, 为后续对数函数的学习作铺垫. 2.初步应用，理解概念 例 1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 （1）； （2）； 3125log54 16 1 log2 （3）；（4）（其中 e=2.71828）. 2 100.01 - =e0= 1 【预设的答案】（1）；（2）； 53= 1252 4 = 1 16 （3）；（4）. log100.01 = 2loge1 = 0 【设计意图】 （1）进行指数式与对数式的简单互化，熟悉指数式与对数式之间的转化. （2）认识两种特殊对数：常用对数和自然对数. 例 2 求值: (
15、其中a 0，a 1) （1）;（2）; （3）; log525log2 1 16 lg1 （4）;（5）lne e;（6）. . 1logaa a log 【预设的答案】（1）2;（2）-4;（3）0;（4）0;（5）1;（6）1. 【设计意图】 （1）利用对数概念以及对指互化求值,加深对数概念的理解； （2）从这个例题中归纳概括出性质：. 1loga= 0,a a log= 1 例 3 求值: （1）若2求 的值;（2）; 53log x (其中x 0，x 1)，x4log8 （3）. 3log2 4 【预设的答案】（1）;（2） ;（3）9. 5 3 2 3 【设计意图】 在解题中加深对概
16、念的理解，形成解题的基本思路：对数问题指数化；形成解题的基本技 能：恰当设数，变对数式为指数式,然后利用指数的相关知识解题. 3.归纳小结，文化渗透 思考：对于，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？ N a log 【活动预设】 （1）归纳小结; （2）欣赏诗歌: 我为自己代言（对数版） 你只看到我源于指数， 却没看到我比指数早一步来到这世上。 你有你的迷茫，我有我的规则。 你否定我的可爱， 伽利略说， “给我时间、空间以及对数，我就可以创造一个宇宙。 ” 你嘲笑我面目可憎晦涩难懂， 我恳请你靠近一点再多读我一遍。 懂我，是场注定孤独的旅行， 路上少不了探索与思考。 但那又怎样，哪怕再艰难
17、， 也有执着睿智的勇士理解我的价值与内涵。 我是对数，我为自己代言！ 【设计意图】 （1）梳理本节课对于对数的认知； （2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 . 六、课堂教学目标检测六、课堂教学目标检测 1.对数式与指数式的互化： （1） ; （2）. 2 1 = 1 2 ln1 = 0 2.求值： （1）; （2）. 9log33log9 【预设的答案】2.（1）2; （2）0.5 . 【设计意图】检测是否达成本节的教学目标，是否理解对数的概念以及对数符号的含义，是 否能够较为熟练地进行对指互化和求值. 对数与对数运算课例点评 对数与对数运算是人教 A
18、版必修一第二章第二节对数函数的起始课，段艳芳老师的这节课在理解 教材、理解学生和理解教学的基础上，有如下特色： 1. 引入新颖，双管齐下引入新颖，双管齐下 一方面设置“恐龙蛋化石”的实际情境和“解指数方程”的数学情境引入学习内容，从应用价值的角 度突显研究对数的必要性；另一方面进行逆运算的分析，从数学自身发展完善的角度体现研究对数的必要 性.从课堂实际效果来看，学生在进行真假判断时，已经进入良好的学习状态. 2. 紧扣概念，辨证认知紧扣概念，辨证认知 对数概念的理解是教学难点，这节课中对数概念的学习过程贴合了认识的辨证发展过程: 从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从
19、具体到抽象的过程，来建立 对数概念，从概念内涵的角度学习； 再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加 深概念理解； 再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识； 循环往复 ： 在随后的练习巩固中， 认识两种特殊的对数 （常用对数和自然对数） 和两种特殊的对数值 （1 的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，同时丰富对于概念的认知. 3. 类比学习，理解符号类比学习，理解符号 恰当的数学符号，对数学的发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，这节课通过类比熟悉的 分数线，根号，引导学生理解：我们将方程
20、中的指数记作对数符号，该符号是指数的一种记法.从实际的课 堂效果来看，在认识对数符号含义的基础上，学生能够水到渠成地得出对数恒等式的特例. 4. 学生发展，贯穿始终学生发展，贯穿始终 重视发挥学生的主体作用，在学生的最近发展区提问、追问，学生动手动脑动口，引导学生建立原有 知识与新知之间联系，引起学生的认知冲突，揭示学生的思维过程；采用类比策略，降低理解新知的难度， 构建新的知识结构过程入情入理；始终围绕教学重点展开，突破难点抽丝剥茧、水到渠成；多媒体运用恰 当，多媒体演示与板书融为一体，增强课堂教学的有效性. 这节课的不足之处主要是教师驾驭课堂的能力稍显不足，教学语言不精炼，讲授时间偏多，教师可站 得再退后一些，给学生留出更多的思考探究空间. 2018 年 10 月 23 日
