1、 1 福清西山学校高中部福清西山学校高中部 2020-2021 学年第一学期期中考试学年第一学期期中考试 高二数学试卷高二数学试卷 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、一、单选单选题题 1经过两点 A(2,1)，B(1，m2)的直线 l 的倾斜角为锐角，则 m的取值范围是( ) Am1 Bm1 C1m1 Dm1或 m1 2与直线 2 :10l mxm y 垂直于点 (2,1)P 的直线的一般方程是 （ ） A 30 xy B30 xy C30 xy D 2 10m xmy 3椭圆 22 2 1(0) 4 xy a a 与双曲线 22 1 93 xy 有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
2、 A 3 2 B 3 5 C 15 5 D 3 4 4若圆 2 2 :418C xy与圆 22 2 :11DxyR的公共弦长为6 2，则圆D的半 径为（ ） A5 B2 5 C2 6 D2 7 5已知过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点 2 ,P F为其右焦点， 若 12 60FPF，则椭圆的离心率为（ ） A 5 3 B 3 2 C 2 2 D 3 3 6已知双曲线 22 22 :1,(0,0) xy abC ab 的左焦点为F，圆M的圆心在y轴正半轴，半径 2 为3a，若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线MF与双曲线的一条渐近线垂直，则该双
3、 曲线C的离心率为（ ） A 5 2 B 2 C 2 3 3 D5 7 已知双曲线 22 2 :10 4 xy Cb b 的右焦点为F， 点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点， 若POF是等边三角形，则PFO的面积为（ ） A3 2 B2 3 C6 2 D4 3 8阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公 式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为, a b，则椭圆的面积公式为Sab.若椭圆C的离心 率为 3 2 ，面积为8，则椭圆的C的标准方程为（ ） A 22 1 164 xy 或 22 1 164 yx B 22 1 1612 xy 或 22 1 161
4、2 yx C 22 1 124 xy 或 22 1 124 yx D 22 1 169 xy 或 22 1 916 xy 二、多选题二、多选题 9下列说法正确的是（ ） A方程1 2 y x 表示一条直线 B到 x轴的距离为 2的点的轨迹方程为2y C方程 22 22 140 xy表示四个点 Dab是 22 acbc的必要不充分条件 10在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点 1 3,0F 和 2 3,0F连线的斜率之积等 于 1 3 ，记点P的轨迹为曲线E，直线l：2yk x与E交于A，B两点，则（ ） AE的方程为 2 2 1(3) 3 x yx BE的离心率为3 3 CE的渐近线与圆
5、 2 2 21xy相切 D满足2 3AB 的直线l仅有 1条 11已知点A是直线: 100l xy 上一定点，点P，Q是圆 22 :(4)(2)4Cxy上的 动点，若 PAQ 的最大值为60，则点A的坐标可以是（ ） A(4,6) B(2,8) C(6,4) D(8,2) 12已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2 3 3 ，右顶点为A，以A为圆心，b为 半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有（ ） A渐近线方程为3yx B渐近线方程为 3 3 yx C60MAN D120MAN 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空题三
6、、填空题 13已知等腰三角形的底边所在直线过点2,1P，两腰所在的直线为 20 xy 与 740 xy ，则底边所在的直线方程是_. 14已知圆 22 :9O xy，点5,0A ，若在直线OA上（O为坐标原点） ，存在异于A的定 点B，使得对于圆O上的任意一点P，都有 PB PA 为同一常数.则点B的坐标是_. 15如图，F1、F2是椭圆C1： 2 4 y 21 与双曲线 C2的公共焦点，A、B分别是 C1、C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 _ 16已知双曲线:C 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，离心率为 3，
7、点P 4 为双曲线上一点， 12 120FPF，则双曲线的渐近线方程为_；若双曲线C的实 轴长为 4，则 12 FPF的面积为_. 四、解答题四、解答题 17已知直线l的方程为2 10 xy . （1）求过点3,2A，且与直线l垂直的直线 1 l方程； （2）求过l与 1 l的交点B，且倾斜角是直线l的一半的直线 2 l的方程. 18已知圆 1 C与y轴相切于点03，圆心在经过点2,1与点2, 3的直线l上 （1）求圆 1 C的方程； （2） 若圆 1 C与圆 2 C: 22 6350 xyxy相交于M、N两点， 求两圆的公共弦MN的长. 19已知椭圆 22 22 xy C1 ab ： 0,0
8、ab的离心率为 3 2 ，短轴长为4 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知过点 P（2,1）作弦且弦被 P平分，则此弦所在的直线方程. 20已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （0a，0b）的离心率为5，虚轴长为 4. 5 （1）求双曲线的标准方程； （2） 直线l： 1ymx与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，OAB 的面积是2 2， 求直线的方程. 21已知二次曲线 k C的方程： 22 1 94 xy kk （1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件； （2）对于点1,0P ，是否存在曲线 k C交直线1yx于A、B两点，使得 2ABBP ？若 存在，求出k的值；若不存在，说
9、明理由； （3）已知 k C与直线1yx有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程 22 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点与抛物线 2 4 3yx的焦点重合， 且椭圆C 的离心率为 3 2 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为 (1, )Mt，直线m是线段AB的垂直平 分线，求证：直线m过定点，并求出该定点的坐标 6 福清西山学校高中部福清西山学校高中部 20202020- -20212021 学年学年 1111 月份月份期中期中高二数学高二数学参考答案参考答案 1C2A3A4D5D6C7D8A9CD10AC11AD12B
10、C 133 70 xy 或310 xy 14 9 ,0 5 15 6 2 162yx 8 3 3 【详解】 双曲线的离心率为 2 13 cb e aa ，所以2 b a ， 所以双曲线的渐近线方程为：2yx ， 由题意知：2a，所以2 3c ， 2 2b ， 设点P在右支上， 1 PFm， 2 PFn，则4nm， 在 12 FPF中，由余弦定理得： 222 1212 22cos120cPFPFPF PF ， 即 2222 1 482 2 mnmnmnmn ， 将4nm两边同时平方得： 22 216mnmn， 由得：332mn，所以 32 3 mn ， 所以 12 FPF的面积为 113238
11、sin1203 22323 mn， 7 故答案为：2yx ； 8 3 3 17 （1）2 70 xy ； （2） 5175 22 yx . 解：由题意设直线 1 l为20 xyc，则 3 2 20c ，得7c ， 所以直线 1 l方程为270 xy， （2）由 210 270 xy xy ，得 1 3 x y = = ，所以(1,3)， 设直线l的倾斜角为，则直线 2 l的倾斜角为 2 ，2tan， 因为 2 2tan 2 tan 1tan 2 ，所以 2 2tan 2 2 1 tan 2 ，即 2 tantan10 22 ， 解得 51 tan 22 或 51 tan 22 ， 因为tan2
12、0，所以(0,) 2 ， 所以(0,) 24 ，所以 51 tan 22 ， 所以直线 2 l的方程为 51 3(1) 2 yx ，即 5175 22 yx 18 （1） 22 (4)(3)16xy； （2）2 3. 【详解】 8 （1）经过点2,1与点2, 3的直线l的方程为： 12 3 122 yx ，即1yx， 由题意可得，圆心在直线 3y 上， 联立 3 1 y yx ，解得圆心坐标为4,3， 故圆 1 C的半径为4， 则圆 1 C的方程为 22 (4)(3)16xy. （2）圆 1 C的方程为 22 (4)(3)16xy， 即 22 8690 xyxy， 圆 2 C: 22 6350
13、 xyxy， 两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为： 2340 xy ， 圆 1 C的圆心到直线2340 xy的距离 22 894 13 23 d ， 两圆的公共弦MN的长为2 16 13 2 3 19(1) 22 1 164 xy (2) 240 xy 解析： 9 （1） c3 e a2 ，2b=4，所以 a=4，b=2，c=2 3，椭圆标准方程为 22 1 164 xy （2）设以点2,1P为中点的弦与椭圆交于 1122 ,A x yB x y，则 1212 4,2xxyy，分 别代入椭圆的方程，两式相减得 12121212 40 xxxxyyyy，所以 1212 480 xxyy，所以
14、 12 12 1 2 yy k xx ，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程 为 1 12 2 yx ，即240 xy 20 （1） 2 2 1 4 y x ； （2）31yx 或 3 2 1 2 yx 解： （1）由题可得 222 5 24 c a b cab ， 解得1a ，2b，5c ， 故双曲线的标准方程为 2 2 1 4 y x ； （2）由 2 2 1 1 4 ymx y x 得 22 (4)250mxmx， 由 222 ( 2 )4 ( 5)(4)80 160mmm 得 2 5m ， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy ， 则 12 2 12 2 2 4 5 4
15、 m xx m xx m ， 10 2 12 1ABmxx 22 22 25 1()4() 44 m m mm 2 2 2 4 5 1 4 m m m O点到直线 l的距离 2 1 1 d m ， 2 2 12 5 2 2 24 ABO m SAB d m ， 42 215270mm 2 3m或 9 2 3m 或 3 2 2 m 故所求直线方程为：31yx 或 3 2 1 2 yx 21（1）k4 时，方程表示椭圆，4k9 时，方程表示双曲线（2）k=4（3）双曲线方程为 22 1 32 xy 详解： （1）当且仅当 90 40 k k 即 k4 时，方程表示椭圆； 当且仅当（9k） （4k）
16、0，即 4k9 时，方程表示双曲线 （2）联立 22 4994 1 k xk ykk yx 11 得： （132k）x2+2（9k）x+（9k）（k3）=0 有两个实根 =4（9k）2（k4）（k6）0k4 或 6k9 设：A（x1，y1），B（x2，y2） ，由 2ABBP ， 得到 12 12 2 0 xx yy 2 9 2 132 k k ， 得到 k=4，所以 k 不存在 （3）4k9 时，方程表示双曲线由 k C与直线1yx有公共点得 0，可得 6k9双曲线 实轴 a 2=9k3，所以最长时 k=6，此时双曲线方程为 22 1 32 xy 22 （1） 2 2 1 4 x y； （2
17、）直线m过定点 3 ,0 4 ，详见解析. 【详解】 （1）抛物线 2 4 3yx的焦点为( 3,0)，则 22 3cab . 椭圆C的离心率 3 2 c e a ，则 222 2,1abac. 故椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y. （2）方法一：显然点(1, )Mt在椭圆C内部，故 33 22 t ，且直线l的斜率不为0. 当直线l的斜率存在且不为0时，易知0t ，设直线l的方程为(1)yk xt， 代入椭圆方程并化简得 22222 (1 4)(88)48440kxktkxkktt. 12 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 2 12 2 88 2 1 4 k
18、tk xx k ，解得 1 4 k t . 因为直线m是线段AB的垂直平分线，故直线:4 (1)m ytt x ，即(43)ytx. 令430 x ，此时 3 ,0 4 xy，于是直线m过定点 3 ,0 4 . 当直线l的斜率不存在时，易知0t ，此时直线:0m y ，故直线m过定点 3 ,0 4 . 综上所述，直线m过定点 3 ,0 4 . 方法二：显然点(1, )Mt在椭圆C内部，故 33 22 t ，且直线l的斜率不为0. 当直线l的斜率存在且不为0时，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 则有 2 2 1 1 1 4 x y， 2 2 2 2 1 4 x y， 两式相减得 1212 1212 ()() ()()0 4 xxxx yyyy . 由线段AB的中点为(1, )Mt，则 1212 2,2xxyyt， 故直线l的斜率 12 12 1 4 yy k xxt . 因为直线m是线段AB的垂直平分线，故直线:4 (1)m ytt x ，即(43)ytx. 令430 x ，此时 3 ,0 4 xy，于是直线m过定点 3 ,0 4 . 当直线l的斜率不存在时，易知0t ，此时直线:0m y ，故直线m过定点 3 ,0 4 . 13 综上所述，直线m过定点 3 ,0 4 .
