1、 1 佛山一中 2020- 2021 学年上学期高二级期中考试题 数学数学 2020 年 11 月 本试卷共 8 页，22 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项：注意事项： 1 答题前， 考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、 考号填写在答题卷上。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用 黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不 按以上要求作答
2、的答案无效。 3作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、 错涂、多涂的，答案无效。 第一部分选择题（共 60 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1已知直线 l1：2xmy2，l2：m2x2y1，且 l1l2，则 m 的值为( ) A0 B1 C0 或 1 D0 或1 2若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A. 2 B2 2 C2 D4 3把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B， C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时
3、， 直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为( ) A90 B60 C45 D30 4若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230 xy的距离为（ ） A 5 5 B 2 5 5 C 3 5 5 D 4 5 5 5下列命题中，正确的是( ) A任意三点确定一个平面 B三条平行直线最多确定一个平面 C不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行 D一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 2 6已知 M(3，2 3)，N(1，2 3)，F(1，0)，则点 M 到直线 NF 的距离为( ) A. 5 B2 3 C 2 2 D3 3 7已知各顶点都在一个球面上的正
4、四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为 4，体 积为 16，则这个球的表面积是( ) A20 B16 C32 D24 8直线: 20l xy分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在圆 22 (2)2xy上， 则 ABP 面积的取值范围是（ ） A 26， B48， C 23 2 ， D2 23 2 ， 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 9若 2 20 xx是2xa 的充分不必要条件，则实数a的值可以是( ) A1 B2 C3 D4 10 已知, 是两个不重合的平面， ,m n是两条不重合的直线， 则下列命题正确的是 （ ） A若/m n m，则n B若/ ,m
5、n，则 /mn C若m，m ，则/ D若,/ ,mm n n，则/ 11若直线过点(1,2)A，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为( ) A10 xy B30 xy C20 xy D10 xy 12 已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为矩形， 侧面PCD平面ABCD，2 3BC ， 2 6CDPCPD .若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（ ） ABM 平面PCD B/PA面MBD C四棱锥MABCD外接球的表面积为36 D四棱锥MABCD的体积为 6 3 第二部分非选择题（90 分） 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分. 13命题“ 2 0210
6、 xxx ，”的否定是_ 14已知直线 l1的方程为23yx ，l2的方程为42yx，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相同，则直线 l 的斜截式方程为_ 15若直线: l ykx与曲线 2 :113M yx 有两个不同交点，则k的取值范围是 _ 16已知三棱锥 S- ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA 平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 S- ABC 的体积为 9，则球 O 的体积为_ 四、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 10 分)已知直线 l1的方程为 x2y40，若 l2在
7、x 轴上的截距为3 2， 且 l1l2. (1)求直线 l1与 l2的交点坐标； (2)已知直线 l3经过 l1与 l2的交点，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍，求 l3 的方程 18 (本小题满分 12 分)四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形， ABCD， ABAD， AB1 2CD1，PA平面 ABCD，PAAD 3. (1)求证：PDAB； (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积 19(本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心坐标为(a，0)，且圆 C 与 y 轴相切 (1)已知 a1，M(4，4)，点 N 是圆 C 上的任意一点，求|MN|的最小值； (
8、2)已知 a0，直线 l 的斜率为4 3，且与 y 轴交于点 2 0, 3 .若直线 l 与圆 C 相离，求 a 的取值范围 4 20(本小题满分 12 分)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB5，AC3，BC4，点 D 是 线段 AB 上的动点 (1)当点 D 是 AB 的中点时，求证：AC1平面 B1CD； (2)线段 AB 上是否存在点 D， 使得平面 ABB1A1平面 CDB1？ 若存在，试求出 AD 的长度；若不存在，请说明理由 21. (本小题满分 12 分) 如图，多面体ABCDEF中，四边 形ABCD是菱形， 0 60ABC，FA 平面ABCD， / /,22.FAED A
9、BFAED 求二面角FBCA的大小的正切值； 求点E到平面AFC的距离； 求直线FC与平面ABF所成的角的正弦值. 22. (本小题满分 12 分)已知圆 22 +=9：Oxy， 过点0, 2P任作圆O的两条相互垂直 的弦 AB、CD，设 M、N 分别是 AB、CD 的中点， （1）直线 MN 是否过定点? 若过， 求出该定点坐标， 若不过，请说明理由； （2）求四边形 ACBD 面积的最大值，并求出对应 直线 AB、CD 的方程. 5 佛山一中 2020- 2021 学年上学期高二级期中考试题 数学答案及说明数学答案及说明 一、选择题：1.D，2.A，3.C，4.B，5.C，6.B，7.D，
10、8.A，9.BCD，10.ACD，11.ABC，12.BC. 二、填空题：13. 0 x ， 2 210 xx ；14.y2x2；15. 1 3 , 2 4 ；16.36. 题目及详细解答过程： 一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1已知直线l1：2xmy2，l2：m 2x2y1，且 l1l2，则m的值为( ) A0 B1 C0 或 1 D0 或1 解析：因为l1l2，所以 2m 22m0，解得 m0 或m1. 答案：D 2若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A. 2 B2 2 C2 D4 解析：设底面圆的半径为r，高为h，母线
11、长为l，由题可知，rh 2 2 l，则1 2( 2r) 2 1，r1，l 2.所以圆锥的侧面积为rl 2. 答案：A 3 把正方形ABCD沿对角线AC折起， 当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时， 直线BD和平面ABC所成角的大小为( ) A90 B60 C45 D30 解析：当三棱锥DABC体积最大时，平面DAC平面ABC.取AC的中点O，则DBO即为 直线BD和平面ABC所成的角易知DOB是等腰直角三角形，故DBO45. 答案：C 4若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230 xy的距离为（ ） A 5 5 B 2 5 5 C 3 5 5 D 4 5 5 【答案】B
12、 【解析】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为, a a，则圆的半径为a，圆的标准方程为 22 2 xayaa. 6 由题意可得 22 2 21aaa，可得 2 650aa，解得 1a 或5a， 所以圆心的坐标为1,1或5,5， 圆心到直线的距离均为 1 2 1 1 32 5 55 d ； 圆心到直线的距离均为 2 2 5532 5 55 d 圆心到直线230 xy的距离均为 22 5 55 d ； 所以，圆心到直线230 xy的距离为 2 5 5 . 故选：B 5下列命题中，正确的是( ) A任意三
13、点确定一个平面 B三条平行直线最多确定一个平面 C不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行 D一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知 C 正确 答案：C 6已知M(3，2 3)，N(1，2 3)，F(1，0)，则点M到直线NF的距离为( ) A. 5 B2 3 C 2 2 D3 3 解析：易知NF的斜率k 3，故NF的方程为y 3(x1)，即 3xy 30. 所以M到NF的距离为|3 32 3 3| （ 3） 212 2 3. 答案：B 7已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为 4，体积为 16，则这
14、个球的表面积是( ) A20 B16 C32 D24 解析：由题意知正四棱柱的底面积为 4，所以正四棱柱的底面边长为 2，正四棱柱的底 面对角线长为 2 2，正四棱柱的对角线为 2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即 2R 2 6.所以R 6. 所以S球4R 224. 答案：D 7 8直线:20l xy分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在圆 22 (2)2xy上， 则 ABP 面积的取值范围是（ ） A26， B48， C23 2 ， D2 23 2 ， 【答案】A 【解析】 直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，2,0 ,0, 2AB, 则2 2AB .点P在圆 22 (2)2
15、xy上，圆心为（2，0） ，则圆心到直线的距 离 1 202 2 2 2 d . 故 点P到 直 线20 xy的 距 离 2 d的 范 围 为2 , 32 ， 则 22 1 22,6 2 ABP SAB dd . 故答案为 A. 二、多选题(每题 5 分，共 20 分) 9若 2 20 xx是2xa 的充分不必要条件，则实数a的值可以是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】BCD 【解析】 ：由 2 20 xx，解得12x 又 2 20 xx是2xa 的充分不必要 条件， ( 1 ，2)( 2，)a，则2a实数a的值可以是 2，3，4 故选：BCD 10 已知, 是两个不重合的平面， ,m
16、n是两条不重合的直线， 则下列命题正确的是 （ ） A若/m n m，则n B若/,mn，则/mn C若m，m，则/ D若,/ ,mm n n，则/ 8 【答案】ACD 【解析】 若m，则, a b且abP使得ma，mb，又/m n，则na，nb， 由线面垂直的判定定理得n，故 A 对； 若/m，n， 如图， 设mAB， 平面 1111 DCBA为平面，/m， 设平面 11 ADD A 为平面， 11 ADn，则m n，故 B 错； 垂直于同一条直线的两个平面平行，故 C 对； 若,/mm n，则n，又n，则/ ，故 D 对； 故选：ACD 11若直线过点(1,2)A，且在两坐标轴上截距的绝对
17、值相等，则直线l方程可能为( ) A10 xy B30 xy C20 xy D10 xy 【答案】ABC 【解析】 ： 当直线经过原点时， 斜率为 20 2 10 k ， 所求的直线方程为2yx， 即20 xy； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为xyk，把点(1,2)A代入可得12k，或 12k，求得1k ，或3k ，故所求的直线方程为10 xy ，或30 xy； 综上知，所求的直线方程为20 xy、10 xy ，或30 xy 故选：ABC 12 已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为矩形， 侧面PCD平面ABCD，2 3BC ， 2 6CDPCPD .若点M为PC的中点，则下列说法正确的
18、为（ ） ABM 平面PCD B/PA面MBD C四棱锥MABCD外接球的表面积为36 D四棱锥MABCD的体积为 6 【答案】BC 【解析】作图在四棱锥PABCD中： 由题： 侧面PCD平面ABCD， 交线为CD， 底面ABCD 为矩形，BCCD，则 9 BC平面PCD，过点 B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项 A 错误； 连接AC交BD于O，连接MO，PAC中，OMPA，MO面MBD， PA面MBD，所以/PA面MBD，所以选项 B 正确； 四棱锥MABCD的体积是四棱锥PABCD的体积的一半， 取CD中点N， 连接PN， PNCD，则PN 平面ABCD， 3 2PN ，四棱锥MA
19、BCD的体积 11 2 32 63 212 23 MABCD V 所以选项 D 错误. 矩形ABCD中，易得6,3,3ACOCON， PCD中求得： 1 6, 2 NMPC在Rt MNO中 22 3MOONMN 即： OMOAOBOCOD， 所以O为四棱锥MABCD外接球的球心， 半径为3， 所以其体积为36，所以选项 C 正确， 故选：BC 三、填空题(每题 5 分，共 20 分) 13命题“ 2 0210 xxx ，”的否定是_ 【答案】0 x ， 2 210 xx 【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 2 0210 xxx ， 则该命题的否定是：0 x ， 2 210 xx
20、故答案为：0 x ， 2 210 xx 14已知直线 l1的方程为23yx ，l2的方程为42yx，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相同，则直线 l 的斜截式方程为_ 解析：由斜截式方程知直线l1的斜率k12，又ll1，所以l的斜率kk12.由 题意知l2在y轴上的截距为2，所以l在y轴上的截距b2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y2x2. 答案：y2x2 15若直线: l ykx与曲线 2 :113M yx 有两个不同交点，则k的取值范围是 _ 解析： 曲线M：y1 1（x3） 2是以(3， 1)为圆心， 1 为半径的，且在直线y1 上方的半圆要使直线l与曲线 10 M有
21、两个不同交点， 则直线l在如图所示的两条直线之间转动， 即当直线l与曲线M相切时， k取得最大值3 4；当直线 l过点(2，1)时，k取最小值1 2. 故k的取值范围是 1 3 , 2 4 . 答案： 1 3 , 2 4 16已知三棱锥 S- ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA 平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 S- ABC 的体积为 9，则球 O 的体积为_ 解析：如图，连接OA，OB. 由SAAC，SBBC，SC为球O的直径， 知OASC，OBSC. 又由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，知OA 平面SCB. 设球O的半径为r
22、，则OAOBr，SC2r， 所以三棱锥SABC的体积为 3 11 323 r VSC OBOA ， 即r 3 39.所以 r3.所以 33 44 336 . 33 = O Vr 球 答案：36 四、解答题(每题 5 分，共 70 分) 17(本小题满分 10 分)已知直线 l1的方程为 x2y40，若 l2在 x 轴上的截距为3 2， 且 l1l2. (1)求直线 l1与 l2的交点坐标； (2)已知直线 l3经过 l1与 l2的交点，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍，求 l3 的方程 解：(1)设l2的方程为 2xym0，.1 分 因为l2在x轴上的截距为3 2，所以 30
23、m0，m3，即 l2：2xy30.3 分 联立 x2y40， 2xy30，得 x2， y1. 所以直线l1与l2的交点坐标为(2，1).5 分 (2)当l3过原点时，l3的方程为y1 2x.6 分 当l3不过原点时，设l3的方程为1 2 xy aa .7 分 11 又直线l3经过l1与l2的交点，所以 21 1 2aa ， 得 5 2 a ，l3的方程为 2xy50.8 分 综上，l3的方程为y1 2x 或 2xy50.10 分 18(本小题满分 12 分)四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，AB 1 2CD1，PA平面 ABCD，PAAD 3. (1)求证：PDA
24、B； (2)求四棱锥P-ABCD的体积 18.解：(1)证明：因为PA平面ABCD，AB 平面ABCD， 所以PAAB，.1 分 又因为ABAD，ADPAA，.3 分 所以AB平面PAD，.4 分 又PD 平面PAD，.5 分所以ABPD.6 分 (2)解：S梯形ABCD1 2(ABCD)AD 3 3 2 ，.8 分 又PA平面ABCD，.9 分 所以V四棱锥P-ABCD1 3S 梯形ABCDPA1 3 3 3 2 33 2.12 分 19(本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心坐标为(a，0)，且圆 C 与 y 轴相切 (1)已知 a1，M(4，4)，点 N 是圆 C 上的任意一点，求|M
25、N|的最小值； (2)已知 a0，直线 l 的斜率为4 3，且与 y 轴交于点 2 0, 3 .若直线 l 与圆 C 相离，求 a 的取值范围 19.解：(1)由题意可知，圆C的方程为(x1) 2y21.2 分 又|MC| （41） 2（40）25，.4 分 所以|MN|的最小值为 514.5 分 (2)因为直线l的斜率为4 3，且与 y轴相交于点 2 0, 3 ，所以直线l的方程为y4 3x 2 3. 即 4x3y20.7 分 因为直线l与圆C相离，所以圆心C(a，0)到直线l的距离dr. 则 22 42 43 a a .9 分 12 又0a，所以2 45aa，解得2a .11 分 所以a的
26、取值范围是(2，0).12 分 20(本小题满分 12 分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB5，AC3，BC4，点D是线段 AB上的动点 (1)当点D是AB的中点时，求证：AC1平面B1CD； (2)线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1平面CDB1？若存在，试求出AD的长度； 若不存在，请说明理由 20.解： (1)证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE， 则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得 DEAC1，.1 分 因为DE 平面B1CD，.2 分 AC1平面B1CD，.3 分 所以AC1平面B1CD.4 分 (2)解：当CDAB时，平面ABB1A1
27、平面CDB1.5 分 证明：因为AA1平面ABC，CD 平面ABC， 所以AA1CD.6 分 又CDAB，AA1ABA，.7 分 所以CD平面ABB1A1，因为CD 平面CDB1，.8 分 所以平面ABB1A1平面CDB1，.9 分 故点D满足CDAB时，平面ABB1A1平面CDB1.10 分 因为AB5，AC3，BC4，所以AC 2BC2AB2， 故ABC是以角C为直角的三角形， 又CDAB，所以AD9 5.12 分 22. (本小题满分 12 分) 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， 0 60ABC，FA 平面ABCD， / /,22.FAED ABFAED 求二面角FBC
28、A的大小的正切值； 求点E到平面AFC的距离； 求直线FC与平面ABF所成的角的正弦值. 13 21.解： 作于点 G，连接 FG， 四边形 ABCD 是菱形,， 为等边三角形,-1 分 平面 ABCD，平面 ABCD， 又， ，平面 AFG， BCFG -2 分 为二面角的平面角，-3 分 -4 分 连接 AE，设点 E 到平面 AFC 的距离为 h， 则， -5 分 即， 也就是，-6 分 解得： ； -7 分 (3)作CHAB于点H，连接FH，ABC为等边三角形， H为AB的中点， 22 1,3,5,AHCHFHFAAH FA 平面ABCD，CH 平面ABCD，FACH，-8 分 又,C
29、HAB ABAFA，CH平面ABF，-9 分 CFH为直线FC与平面ABF所成的角，-10 分 36 sin 42 2 CH CFH CF -12 分 22.(本小题满分 12 分)已知圆 22 +=9：Oxy，过点0, 2P任作圆O的两条相互垂直 的弦 AB、CD，设 M、N 分别是 AB、CD 的中点， （1）直线 MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形 ACBD 面积的最大值，并求出对应直线 AB、CD 的方程. 22.解： （1）当直线ABCD、的斜率存在且不为 0，设直线AB的方程为: 1122 20 ,ykxkA x yB x y-1 分 G
30、14 由 22 2 9+= ykx xy 得： 22 1450kxkx-2 分 点0, 2P在圆内,故0 . 又 12 12 222 422 ,2 1211 MMM xxkk xxxykx kkk 即 22 22 , 11 k M kk -3 分 ABCD以 1 k 代换k得 2 22 22 , 11 kk N kk 2 2 22 22 22 1 11 . 22 2 11 MN k k kk k kk k kk -4 分 直线MN的方程为： 2 22 212 121 kk yx kkk 化简得 2 1 1 2 k yx k ，故直线 MN 恒过定点 01，-5 分 当直线ABCD、的斜率不存在
31、或为 0 时，显然直线 MN 恒过定点01， 综上，直线 MN 恒过定点01，-.6 分 (2) 解法一:圆心 O 到直线 AB 的距离 1 2 2 1 d k 22 1 2 4 22 9 1 ABrd k .7 分 （或由第（1）问得： 2 2 22 21212 1 2 95 1142 1 k ABkxxkxxx x k , 以 1 k 代换k得 2 2 59 2 1 k CD k ） ABCD以 1 k 代换k得: 2 2 4 2 9 1 k CD k -8 分 15 22 222 2 14416 2 992 45 211 1 ACBD kk SAB CD kk k -9 分 2 2 2
32、2 1616 2 452 4514 1 1 2 22 k k k k 当且仅当 2 2 1 ,1kk k 时,取等号, 故四边形 ACBD 面积的最大值为 14，-11 分 对应直线 AB 、 CD 分别为2,2yxyx 或2,2yxyx -12 分 解法二：设圆心 O 到直线 AB、CD 的距离分别为 12, dd、 则 222222 1122 9,9ABrddCDrdd -7 分 ABCD 2 22 12 4ddOP-8 分 222222 121212 2 1 2 999918 2 1818414 ACBD SAB CDdddddd OP -10 分 当且仅当 12 dd，即1k 时,取等号, 故四边形 ACBD 面积的最大值为 14，-11 分 对应直线 AB 、CD 分别为2,2yxyx 或2,2yxyx -12 分
