1、第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 本章达标检测本章达标检测 (满分:150分;时间:120分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若集合 A=i,i 2,i3,i4(i 是虚数单位),B=1,-1,则 AB 等于( ) A.-1 B.1 C.1,-1 D. 2.(3-2i)(3+2i)+4i=( ) A.9+8i B.13+4i C.5+4i D.13+8i 3.复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.设 z= ,i 是虚数单位,则 z 的虚部为( )
2、 A.1 B.-1 C.3 D.-3 5.已知复数 z=1+i,则 z 4=( ) A.-4i B.4i C.-4 D.4 6.已知 i 为虚数单位,若 =a+bi(a,bR R),则 a b=( ) A.1 B. C. D.2 7.若复数 z= - ,则下列结论正确的是( ) A.|z|=2 B.z 的虚部为 i C. =-1+i D.z 2=2i 8.已知复数 z1,z 满足 z1=-1-i,z1z=4,则复数 在复平面内对应的点的坐标为( ) A.(2,-2) B.(-2,2) C.(2,2) D.(-2,-2) 9.如果复数 - (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反
3、数,那么 b 等 于( ) A.-6 B. C.- D.2 10.已知集合 A=x|x=2n,nZ,B=x|x=2n+1,nZ,i 是虚数单位,若 kZ,且 i k -1,1,则( ) A.kA B.kB C.kAB D.kAB 11.已知 是复数 z 的共轭复数,(z+1)( -1)是纯虚数,则|z|=( ) A.2 B. C.1 D. 12.i 为虚数单位,则 1+i+2i 2+3i3+2 018i2 018+2 019i2 019=( ) A.-2 018+2 019i B.1 008-1 008i C.-1 009-1 010i D.1 010-1 009i 二、填空题(本大题共 4
4、小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 i 为虚数单位,复数 z= - ,则|z|= . 14.已知复数 z 在复平面内对应的点是(1,-2),i 为虚数单位,则 - = . 15.若 zC,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为 . 16.已知 a0,b0,复数(a+2i)(3-bi)的虚部为 4,则 2a+b 的最小值为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知复数 z= - - . (1)求 z 的共轭复数 ; (2)若 az+b=1-i,求实数 a,b 的值. 18.(12 分)已知复数 z1=2+ai(其中 aR 且 a0,i
5、 为虚数单位),且 为纯虚数. (1)求实数 a 的值; (2)若 z= - ,求复数 z 的模|z|. 19.(12 分)已知 z1=m 2+ i,z2=(2m-3)+ i,mR,i 为虚数单位,且 z1+z2 是纯虚数. (1)求实数 m 的值; (2)求 z1 的值. 20.(12 分)已知复数 z1=(a-4)+i,z2=a-ai(a 为实数,i 为虚数单位),且 z1+z2是纯虚 数. (1)求复数 z1,z2; (2)求 的共轭复数. 21.(12 分)已知复数 z 在复平面上对应的点在第二象限,且满足 z 2= . (1)求复数 z; (2)设 z,z 2,z3在复平面上对应的点
6、分别为 A,B,C,求 S ABC. 22.(12 分)设 z 是虚数,=z+ 是实数,且-10,b0,2a+b2 =4, 当且仅当 a=1,b=2 时等号成立, 2a+b 的最小值为 4. 三、解答题 17.解析解析 (1)因为 z=- - = - =1+i, 所以 =1-i. (2)由题意得 a(1+i)+b=1-i, 即 a+b+ai=1-i,解得 a=-1,b=2. 18.解析解析 (1) =(2+ai)2=4-a2+4ai,因为 为纯虚数,所以 - 解得 a=2. (2)由(1)知 z1=2+2i,所以 z= - = - = =2i,所以|z|=2. 19.解析解析 (1)z1+z2
7、=(m 2+2m-3)+( )i. z1+z2是纯虚数, - 解得 m=1. (2)由(1)得 z1=1+ i,z2=-1+ i, 则 =-1- i, z1 =( )(- - ) =-( ) =-( )=- -i. 20.解析解析 (1)z1+z2=2a-4+(1-a)i, z1+z2为纯虚数, 2a-4=0,且 1-a0, a=2,z1=-2+i,z2=2-2i. (2)由(1)得 = - - = - - = - - - =- - i, 的共轭复数为- + i. 21.解析解析 (1)设 z=a+bi(a0), 则 =a-bi, 故 z 2=a2-b2+2abi= =a-bi, 所以 a 2
8、-b2=a,2ab=-b, 又 a0,所以 a=- ,b= , 所以 z=- + i. (2)由(1)得 z=- + i,z 2=- - i,z 3=1. z,z 2,z3在复平面上对应的点分别为 A,B,C,如图所示. 故 SABC= = . 22.解析解析 (1)设 z=a+bi(a、bR R,b0), 则 =a+bi+ =( )+( - )i. 是实数,b- =0. 又 b0,a 2+b2=1,=2a. -12,- a1,即 z 的实部的取值范围是(- ). (2)u 是纯虚数. 理由如下:由(1),知 u= - = - - = - - - =- i. - a1,b0, - 0, u 是纯虚数.
