1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法 基础过关练基础过关练 题组一题组一 综合法综合法 1.在ABC 中,tan Atan B1,则ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 2.已知 a0,b0,且 a+b=2,则( ) A.ab B.ab C.a 2+b22 D.a2+b23 3.设函数 f(x)的导函数为 f(x),若对任意 xR 都有 f(x)f(x)成立,则( ) A.3f(ln 2)2f(ln 3) B.3f(ln 2)Q C.P0,y0,且 + =1,若 x+2
2、ym 2+2m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 6.在锐角三角形 ABC 中,A、B、C 为三个内角,求证:sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C. 题组二题组二 分析法分析法 7.如图所示,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面,则当 时,BDA1C(写 上一个条件即可). 8.(2019 山西原平范亭中学高二月考)求证: - 0,则 - a+ -2. 10.(1)已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数 列,a,b,c 成等比数列,用综合法证明:ABC 为等边三角形; (2)设 a,b,c 为一个三角形
3、的三边,s= (a+b+c),且 s 2=2ab,试用分析法证明:s1,A、B 只能都是锐角,tan A0,tan B0, 又tan Atan B1,1-tan Atan B0, tan(A+B)= - 90 ,C 为锐角.故选 A. 2.C 由 a0,b0,a+b=2,可得 ab1,当且仅当 a=b=1 时取等号,又 a 2+b2=4-2ab, a 2+b22. 3.B 令 F(x)= (x0),则 F(x)= - ,对任意 xR 都有 f(x)f(x) 成立,f(ln x)f(ln x), F(x)0, F(x)为增函数,320,F(3)F(2),即 , 3 f(ln 2) , 所以 P
4、2Q2,又 P0,Q0,所以 PQ. 故选 B. 5.解析解析 x0,y0, + =1,x+2y=(x+2y)( )=4+ + 4+2 =8,当且仅当 = 时取等号,若 x+2ym 2+2m 恒成立,则 m2+2m8 恒成立,解得-4m , A -B,0 -BAsin( - )=cos B,即 sin Acos B. 同理,sin Bcos C,sin Ccos A, sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C. 7.答案答案 ACBD(答案不唯一) 解析解析 连结 AC,要证 BDA1C,由 A1ABD 知只需证 BD平面 AA1C,则可添加的一个条 件为 ACBD
5、. 8.证明证明 要证 - - , 只需证 + + , 只需证( + ) 2( + )2, 只需证 9+2 9+2 , 只需证 , 只需证 1418. 因为 1418 显然成立,所以 - 0,所以不等式两边均大于零, 所以只需证( ) ( ) ,只需证 a 2+ +4+4 a 2+ +4+2 ( ), 只需证 ( ), 只需证 a 2+ ( ), 只需证 a 2+ 2, 只需证( - ) 0. 因为( - ) 0 显然成立, 所以原不等式成立. 10.证明证明 (1)因为 A,B,C 成等差数列, 所以 2B=A+C. 由 A+B+C=,得 B= . 因为 a,b,c 成等比数列,所以 b 2=ac. 由余弦定理得 b 2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac, 所以 ac=a 2+c2-ac,即(a-c)2=0, 所以 a=c,所以 A=C, 又 B= ,所以 A=B=C= . 所以ABC 为等边三角形. (2)由于 s 2=2ab,所以要证 s2a,只需证 s ,即证 bs, 因为 s= (a+b+c),所以只需证 2ba+b+c,即证 ba+c. 由于 a,b,c 为一个三角形的三边,所以上式成立.故 s2a.
