1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 不是直接证明的方法通常称为间接证明.反证法是间接证明的一种基本方法. 1 |间接证明 2 |反正法的意义 1.定义:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的 推理,最后得出矛盾,因此说明 假设错误 ,从而证明了 原命题 成立,这样 的证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与 已知条件 矛盾, 或与 假设 矛盾,或与 定义 、 公理 、 定
2、理 、事实矛盾等. 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 原结 论词 至少有 一个 至多有 一个 至少有 n个 只有 一个 对任意x 不成立 都是 p或q p且q 反设词 一个也 没有 (不存在) 至 少有两 个 至多有 (n-1)个 没有或 至少有 两个 存 在某个x 成立 不 都是 p 且 q p 或 q 3 |反证法常用的“结论词”和“反设词” 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 1.反证法属于间接证明问题的方法.( ) 2.反证法的证明过程既
3、可以是合情推理也可以是演绎推理.( ) 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ) 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 1 |用反证法证明确定性命题 对某些结论为肯定性或者否定性的命题的证明,从正面突破比较困难时,可用 反证法证明.通过反设将肯定性命题转化为否定性命题或将否定性命题转化为肯 定性命题,然后用转化后的命题作为条件进行推理,直到推出矛盾,从而达到证题的 目的. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()直线y=kx+m(m0)与椭圆W:+
4、y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.当点B 在W上且不是W的顶点时,求证:四边形OABC不可能为菱形. 思路点拨 用反证法证明,把直线方程与椭圆方程联立,设而不求,结合椭圆的特点求解. 2 4 x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-,=k+m=, 设AC的中点为M,则M点的坐标为-, 因为M为AC和OB的交点,且m0,k0, 所以直线OB的斜率为-, 因为k-1, 所以AC与OB不垂直, 所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以四边形OABC不可能是菱形. 12 2 xx 2 4 14 k
5、m k 12 2 yy 12 2 xx 2 14 m k 2 4 14 km k 2 14 m k 1 4k 1 - 4k 证明证明 假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且ACOB,所以k0. 由消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 2 2 1, 4 x y ykxm 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 跟踪训练跟踪训练1()设数列an是公比为q的等比数列. (1)推导数列an的前n项和公式; (2)设q1,证明数列an+1不是等比数列. 解析解析 (1)设数列an的前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=a1
6、+a1+a1=na1; 当q1时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-1, qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn, 由-得(1-q)Sn=a1-a1qn, 所以Sn=. 综上所述,Sn= 1(1- ) 1- n aq q 1 1 ,1, (1-) ,1. 1- n na q aq q q 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 (2)证明:假设an+1是等比数列, 则对任意的kN*,(+1)2=(ak+1)(+1), 即+2+1=ak+ak+1, 即+2a1qk=a1qk-1 a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, 因为a
7、10,所以2qk=qk-1+qk+1. 因为q0,所以q2-2q+1=0,所以q=1,这与已知矛盾. 1k a 2k a 2 1k a 1k a 2k a 2k a 2 1 a 2k q 所以假设不成立,故数列an+1不是等比数列. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 证明“有且只有一个”的问题时,需要证明两方面,即存在性和唯一性.当证明结论 以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现时,可先直接证“存在 性”,再用反证法证“唯一性”(假设“唯一性”结论不成立易推出矛盾). 证明“唯一性”问题的方法:“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没
8、有另外 一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证明的方法往往会比较困难,因此一 般情况下都采用间接证明的方法,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或 同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时 比用同一法更简便. 2 |用反证法证明存在性、唯一性命题 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()A是由定义在2,4上且满足如下条件的函数(x)组成的集合:对任意的x 1,2,都有(2x)(1,2);存在常数L(0L1),使得对任意的x1,x21,2,都有|(2x1)- (2x2)|L|x1-x2|. 求证:设(
9、x)A,如果存在x0(1,2),使得x0=(2x0),那么这样的x0是唯一的. 证明证明 假设存在x0,x0(1,2),且x0 x0, 使得x0=(2x0),x0=(2x0), 则由已知得|(2x0)-(2x0)|L|x0-x0|(0L1), 所以|(2x0)-(2x0)|=|x0-x0|, 得|x0-x0|L|x0-x0|. 所以L1,这与已知0L1矛盾. 故假设错误,原结论成立. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 跟踪训练跟踪训练2()求证:方程2x=3有且只有一个实根. 证明证明 2x=3, x=log23. 这说明方程2x=3有根. 下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1b2), 则=3,=3,两式相除得=1, b1-b2=0,则b1=b2,这与b1b2矛盾. 假设不成立,从而原命题得证. 1 2b 2 2b 12 - 2b b
