1、高二文科数学试卷 第 1 页 共 13 页 西昌市西昌市 2020202020212021 学年度上期半期检测学年度上期半期检测 高 二 文 科 数 学 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，试题卷 4 页，答题卡 2 页。全卷 满分为 150 分，考试时间 120 分钟。 答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形 码粘贴在答题卡的指定位置；选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题 用 0.5 毫米签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域。考试结束后将答题卡收回。 第卷 选择题（共 60 分） 一、选择题
2、（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.直线013 yx的倾斜角是 A. 6 B. 3 C. 3 2 D. 6 5 2.已知直线l过点)2 , 1 (，且在y轴上的截距为x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是 A. 02 yx B. 042 yx C. 02 yx或042 yx D. 02 yx或022yx 3.已知椭圆1 4 2 2 y x 的左右焦点分别是PFF, 21 是椭圆C上的一点，且 2 21 PFF， 则 21PF F面积是 A 2 1 B1 C2 D4 高二文科数学试卷 第 2 页 共 13 页 4.古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前 262公元前 190 年
3、）的著作圆锥曲线论是古代世界光 辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k且1k）的点 的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知)0 , 3(),0 , 0(AO,动点),(yxP满足2 PO PA ，则 动点P轨迹与圆1) 1( 22 yx位置关系是 A外离 B外切 C相交 D内切 5.若过点) 1 , 2(P的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032yx的距离是 A. 5 54 B 5 53 C 5 52 D 5 5 6.已知 21,F F分别是椭圆1 34 22 yx 的焦点，过点 1 F的直线交椭圆E于BA,两点，则 2 ABF的 周长是 A. 32
4、B. 4 C. 6 D. 8 7.已知点P是抛物线xy8 2 上的一个动点，则点P到点 )2 , 0( 的距离与到抛物线准线距离之和的最 小值为 A. 52 B. 3 C. 5 D. 22 8.已知椭圆1 34 : 22 yx C,过点 的直线l与椭圆C交于 BA, 两点，若点P恰为弦AB中点， 则直线l斜率是 A. 3 B. 3 1 C. 4 3 D. 3 4 9.若双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E的一条渐近线被圆4)2( 22 yx所截得的弦长为 22 ，则双曲线E的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 3 32 10.若直线bxy与曲线 2 43
5、xxy 有2个公共点，则b的取值范围是 高二文科数学试卷 第 3 页 共 13 页 A. 221 ,221 B. 1,221 ( C. )221 , 3 D. 3 , 1 11.已知双曲线)0( 1 4 : 2 22 b b yx E,右焦点到其中一条渐近线距离是 32，则双曲线E的方程 是 A.1 34 22 yx B. 1 34 22 yx C. 1 324 22 yx D. 1 124 22 yx 12.已知直线022: yxl，圆4) 1() 1( : 22 yxC.点P为直线l上的动点,过点P作圆 C的切线 PBPA, ,切点分别为BA,.当四边形PACB面积最小时，直线AB方程是
6、A.012 yx B.012 yx C.012 yx D. 012 yx 第卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 已知直线03)43(ymmx与直线032 yx互相垂直， 则实数m的值是 . 14.已知点P是椭圆1 3 : 2 2 y x C上动点，则点P到直线 03 yx 距离的最大值是 . 15.直线021mymx与圆4) 1( : 22 yxC交于 BA, 两点，则弦长AB的最小值 是 . 16.已知抛物线,4: 2 yxCAB为过焦点F的弦， 过 BA, 分别作抛物线的切线， 两切线交于点P， 设),(),(),( 002
7、211 yxPyxByxA则下列结论正确的有 . 若直线AB的斜率为-1，则弦8AB； 若直线AB的斜率为-1，则2 0 x； 点P恒在平行于x轴的直线1y上； 高二文科数学试卷 第 4 页 共 13 页 若点),( MM yxM是弦AB的中点，则 0 xxM. 三、解答题（本大题共 6 个题，满分 70 分，第 1 题满分 10 分，其余各题满分均为 12 分） 17.本题满分 10 分. 已知两点( 3 2)(5 4)MN ，两直线 12 :270:10lxylxy ，. （1）求过点M且与直线 1 l平行的直线方程； （2）求过线段MN的中点以及直线 12 ll与的交点的直线方程. 18
8、.本题满分 12 分. 已知离心率为 2 的双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab 的两条渐近线与抛物线 2 :2(0)D ypx p的准线分别交于 ,A B两点，且 OAB面积为3(O为坐标原点) （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）求实数p的值 19. 本题满分 12 分. 已知圆 22 :2220C xyxy，点 ( , 1),(4,2)A mB m ，其中mR （1）若直线AB与圆C相切，求直线AB的方程； （2）若以AB为直径的圆D与圆C有公共点，求实数m的取值范围 20. 本题满分 12 分. 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点(0,2)A，且
9、椭圆C的右顶点B到直线 高二文科数学试卷 第 5 页 共 13 页 2 20 xy的距离为 4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点20P，且与直线AB平行的直线l与椭圆C交于,M N两点，求OMN的面积(O为 坐标原点). 21. 本题满分 12 分. 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F到准线的距离为 2， 且过点F的直线l被抛物线C所截得 的弦长MN为 8 （1）求直线l的方程； （2）当直线l的斜率大于零时，求过点,M N且与抛物线C的准线相切的圆的方程 22. 本题满分 12 分. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个顶点恰好是抛物线 2 :
10、4D xy的焦点，其离心率与双 曲线 2 2 1 4 x y的离心率互为倒数. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于,A B两点，设点A关于x轴的对 称点为P，当直线l绕着点F转动时，试探究：是否存在定点Q，使得, ,B P Q三点共线？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 高二文科数学试卷 第 6 页 共 13 页 西昌市西昌市 2020202020212021 学年度上期半期检测学年度上期半期检测 高二文科数学参考答案 1-5.BCBCC 6-10.DDCAB 11-12DB 12 题解答： 242222 2 2 2 lcPAC
11、PACB drPCPASS 此时lCPCPkCP, 2 1 方程为) 1( 2 1 1xy即 2 1 2 1 xy 与直线l联立得)0 , 1(P, 2 5 ), 2 1 , 0(,半径圆心四点共圆易得BCAP方程为01 22 yyx 4) 1() 1( 22 yx，-化简整理得 012 yx 答案B 13. 5 4 14 15. 16. 16 题解答：设 PA 方程与抛物线方程联立得 方 程 为)( 24 1 1 2 1 xx xx y同 理 PB方 程 )( 24 2 2 2 2 xx xx y 联立解得交点P所以正确；由题意知AB斜率必存在，设AB 方程为 由 韦 达 定 理 得 正 确
12、 ； 当 t=-1时 高二文科数学试卷 第 7 页 共 13 页 错,正确。 三.解答题（本大题共 6 个题，满分 70 分，第 1 题满分 10 分，其余各题满分均为 12 分） 17.本题满分 10 分(第 1 小问 5 分，第 2 小问 5 分). 已知两点( 3 2)(5 4)MN ，两直线 12 :270:10lxylxy ，. （1）求过点M且与直线 1 l平行的直线方程； （2）求过线段MN的中点以及直线 12 ll与的交点的直线方程. 解：（1）280 xy. （2）线段 12 MNll中点(1,3),直线 与 的交点(-2,3) 故所求直线方程为30.y 18.本题满分 12
13、 分(第 1 小问 4 分，第 2 小问 8 分). 已知离心率为 2 的双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab 的两条渐近线与抛物线 2 :2(0)D ypx p的准线分别交于 ,A B两点，且 OAB面积为3(O为坐标原点) （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）求实数p的值 解：（1） 22 22 cab e aa 高二文科数学试卷 第 8 页 共 13 页 即 3 3 3 ba ab ，故双曲线的渐近线方程为： 3 . 3 yx （2） 2 p Dx 抛物线 的准线方程为 3 3 3 26 2 yx p Ap p x 由得（-,-）；同理可得 3 26 p Bp（-,）
14、, 3 3 ABP 即 1 2 3. 22 OAB P SABp 由得 19. 本题满分 12 分(第 1 小问 6 分，第 2 小问 6 分). 已知圆 22 :2220C xyxy，点 ( , 1),(4,2)A mB m ，其中mR （1）若直线AB与圆C相切，求直线AB的方程； （2）若以AB为直径的圆D与圆C有公共点，求实数m的取值范围 解：圆 22 :(1)(1)4( 1,1)2 C CxyCr，圆心，半径 （1）由题得 33 ,3440 44 AB kyxbxyb故设其方程为即 则圆心 C 到直线 AB 的距离为 47 5 b d 由直线AB与圆C相切得 47 173 2, 54
15、4 C b drb 即解得或 故直线AB的方程为：341703430.xyxy或 （2） 1 25 2 ABD mAB的中点 (, ), 高二文科数学试卷 第 9 页 共 13 页 2 2 125 (2)() 24 ABDxmy以为直径的圆 方程为 由于以AB为直径的圆D与圆C有公共点 故 22 515 -2(3)(1)+2 222 DCDC rrCDrrm, 也即 解得32 52 53m 故实数m的取值范围为32 5,2 53 . 20. 本题满分 12 分(第 1 小问 4 分，第 2 小问 8 分). 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点(0,2)A，且椭圆C的右顶点B
16、到直线 2 20 xy的距离为 4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点20P，且与直线AB平行的直线l与椭圆C交于,M N两点，求OMN的面积(O为 坐标原点). 解：（1）由题得 2b . 因为椭圆C的右顶点( ,0)B a到直线2 20 xy的距离为 4. 所以 2 2 4 2 a ，解得 2 2a 故椭圆C的标准方程为 22 1 82 xy . （2）由题意知 1 (0,2),(2 2,0) 2 AB ABk 高二文科数学试卷 第 10 页 共 13 页 即直线l的方程为220 xy 联立 22 220 1 82 xy xy ，整理得 2 2210yy 设 11 ,M x y，
17、22 ,N xy，则 12 1yy ， 12 1 2 y y 从而 22 121212 1 4143 2 yyyyy y 故OMN的面积 1212 1111 233 2222 SOP yOP yOPyy . 另解：由弦长公式可得15MN ,点O到直线l的距离为 2 5 5 dh 故 1 3. 2 OMN SMNh 21. 本题满分 12 分(第 1 小问 6 分，第 2 小问 6 分). 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F到准线的距离为 2， 且过点F的直线l被抛物线C所截得 的弦长MN为 8 （1）求直线l的方程； （2）当直线l的斜率大于零时，求过点,M N且与抛物线C的准线
18、相切的圆的方程 解：（1）由题意得2,p (1,0)F， 2 4yx 当直线 l 的斜率不存在时，其方程为1x ，此时248MNp，不满足，舍去； 当直线 l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)yk xk 高二文科数学试卷 第 11 页 共 13 页 由 2 (1) 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 设 1221 ( ,),(,)MyxyxN，则 2 16160k ，且 12 2 2 24 k x k x 由抛物线定义得 1212 2 2 44 | | (1)(1)2xxxx k MNMFNF k 即 2 2 44 8 k k ，解得1k 因此 l 的方程为11.yxy
19、x 或 （2）由（1）取1,k 直线l的方程为1yx 线段MN的中点坐标为 1212 (,) 22 xxyy ，即(3,2) 所以MN的垂直平分线方程为2(3)yx ，即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy，则 00 2 200 0 5 (1) (1)16 2 yx yx x 解得 0 0 3 2 x y 或 0 0 11 6 x y 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy. 22. 本题满分 12 分(第 1 小问 4 分，第 2 小问 8 分). 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个顶点恰好是抛物线 2 :4D x
20、y的焦点，其离心率和双 高二文科数学试卷 第 12 页 共 13 页 曲线 2 2 1 4 x y的离心率互为倒数. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于,A B两点，设点A关于x轴的对 称点为P，当直线l绕着点F转动时，试探究：是否存在定点Q，使得, ,P B Q三点共线？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）由于抛物线 2 :4D xy的焦点为（0,1），所以1b 双曲线 2 2 1 4 x y的离心率为 5 2 e ，故椭圆的离心率 2 5 c a 5,1ab，即椭圆C的标准方程为 2 2 1. 5 x y （2）由
21、题知(2,0)F且直线l斜率存在，设为k，则直线l方程为(2)yk x 由 2 2 (2) 1 5 yk x x y 得 2222 (51)202050kxk xk 设 1221 ( ,), (,)AyxyxB，则 122 22 2 1 2 20205 , 5151 xxx kk k x k (*) 由椭圆的对称性知，若存在定点Q，则点Q必在x轴上 故假设存在定点( ,0)Q t,使得, ,P B Q三点共线,则PBPQ且 11 ( ,)P xy 又 212111 (,),(,).PBxx yyPQtx y 211211 ()()()xx yyytx 即 211121 () (2)(4)()xx k xk xxtx 高二文科数学试卷 第 13 页 共 13 页 化简得 1212 2(2)()40 x xtxxt 将(*)式代入上式得 22 22 20520 2(2)40 5151 kk tt kk 化简得 5 2 t 故存在定点 5 ( ,0) 2 Q，使得, ,P B Q三点共线.
