1、 直线与圆直线与圆 1.(2020 全国卷)在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点.若AC BC1，则点 C 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 解析 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标 系，设点A，B分别为(a，0)，(a，0)(a0)，点C为(x，y)，则AC (xa，y)， BC (xa，y)，所以AC BC (xa)(xa)y yx2y2a21，整理得 x2y2 a21.因此点 C 的轨迹为圆.故选 A. 答案 A 2.(2020 全国卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2xy3 0 的距离为( )
2、 A. 5 5 B.2 5 5 C.3 5 5 D.4 5 5 解析 因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上.所以可设圆的方程为(xa)2 (ya)2a2(a0).则(2a)2(1a)2a2，解之得 a1 或 a5.所以圆心的坐 标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线 2xy30 的距离 d |2113| 22（1）2 2 5 5 或 d|2553| 5 2 5 5 . 答案 B 3.(2020 全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线 l：2xy20，点 P 为 l 上的动点.过点 P 作M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，当|PM| |AB|最小时， 直线 AB 的方程为(
3、 ) A.2xy10 B.2xy10 C.2xy10 D.2xy10 解析 由M：x2y22x2y20， 得M：(x1)2(y1)24，所以圆心 M(1，1). 如图，连接 AM，BM，易知四边形 PAMB 的面积为1 2|PM| |AB|，欲使|PM| |AB|最 小，只需四边形 PAMB 的面积最小，即只需PAM 的面积最小. 因为|AM|2，所以只需|PA|最小. 又|PA| |PM|2|AM|2 |PM|24， 所以只需直线 2xy20 上的动点 P 到 M 的距离最小，其最小值为|212| 5 5，此时 PMl，易求出直线 PM 的方程为 x2y10. 由 2xy20， x2y10，
4、得 x1， y0， 所以 P(1，0). 易知 P、A、M、B 四点共圆，所以以 PM 为直径的圆的方程为 x2 y1 2 2 5 2 2 ，即 x2y2y10， 由得，直线 AB 的方程为 2xy10，故选 D. 答案 D 4.(2019 全国卷)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x20 相切. (1)若 A 在直线 xy0 上，求M 的半径； (2)是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由. 解 (1)因为M 过点 A，B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线 xy0上，且A，B关于坐标原点O
5、对称，所以M在直线yx上，故可设M(a， a). 因为M 与直线 x20 相切，所以M 的半径为 r|a2|.连接 MA，由已知得 |AO|2. 又 MOAO，故可得 2a24(a2)2，解得 a0 或 a4. 故M 的半径 r2 或 r6. (2)存在定点 P(1，0)，使得|MA|MP|为定值. 理由如下： 设 M(x，y)，由已知得M 的半径为 r|x2|，|AO|2. 由于 MOAO，故可得 x2y24(x2)2, 化简得 M 的轨迹方程为 y24x. 因为曲线 C：y24x 是以点 P(1，0)为焦点，以直线 x1 为准线的抛物线，所 以|MP|x1. 因为|MA|MP|r|MP|x
6、2(x1)1， 所以存在满足条件的定点 P. 考 点 整 合 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2的斜率 k1，k2存在，则 l1l2k1k2，l1l2k1k2 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 (1)两平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 间的距离 d |C1C2| A2B2. (2)点(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 . 3.圆的方程 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为 r. (2)圆的 一般方程 ： x2y2
7、Dx Ey F 0(D2E24F0)，圆心为 D 2， E 2 ，半径为 r D2E24F 2 . 4.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 来讨 论位置关系：0相交；0相切；0)，则 y|xx01 2x0 1 2k ， x0kx0b ，由可得 b1 2 x0，将 b1 2 x0，k1 2x0 1 2代入得 x0 1 或 x01 5(舍去)，所以 kb 1 2，故直线 l 的方程 y 1 2x 1 2. (2)由 x2y24x0，得(x2)2y24，则圆心为 C(2，0
8、)，半径 r2，过点 P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为 A，B，连接 AC，BC，所以四 边形 PACB 为正方形，即 PC 2r2 2，圆心到直线的距离 d|2k0k| 1k2 2 2，即2 2k2 2，所以实数 k 的取值可以是 1，2.故选 AB. 答案 (1)D (2)AB 探究提高 1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距 离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. 2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径 利用勾股定理计算. 【训练 3】 (1)(2020 浙江卷)已知直线 ykxb(k0
9、)与圆 x2y21 和圆(x4)2 y21 均相切，则 k_，b_. (2)已知O：x2y21，点 A(0，2)，B(a，2)，从点 A 观察点 B，要使视线不 被O 挡住，则实数 a 的取值范围是( ) A.(，2)(2，) B. ，4 3 3 4 3 3 ， C. ，2 3 3 2 3 3 ， D. 4 3 3 ，4 3 3 解析 (1)直线 kxyb0(k0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为 1，及圆心坐 标为(4，0)，半径为 1 的两圆相切， 可得 |b| k211， |4kb| k211， 由，解得 k 3 3 ， b2 3 3 . (2)易知点 B 在直线 y2 上，过点 A(
10、0，2)作圆的切线. 设切线的斜率为 k，则切线方程为 ykx2， 即 kxy20. 由 d|002| 1k2 1，得 k 3. 切线方程为 y 3x2，和直线 y2 的交点坐标分别为 4 3 3 ，2 ， 4 3 3 ，2 . 故要使视线不被O挡住，则实数a的取值范围是 ，4 3 3 4 3 3 ， . 答案 (1) 3 3 2 3 3 (2)B 角度 2 圆的弦长的相关计算 【例 4】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0，1).当 m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C
11、 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现 ACBC 的情况，理由如下： 设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2满足方程 x2mx20， 所以 x1x22.又 C 的坐标为(0，1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1 x1 1 x2 1 2， 所以不能出现 ACBC 的情况. (2)证明 BC 的中点坐标为 x2 2， 1 2 ，可得 BC 的中垂线方程为 y1 2x2 xx2 2 . 由(1)可得 x1x2m， 所以 AB 的中垂线方程为 xm 2. 联立 xm 2， y1 2x2 xx2 2 ， 又 x22mx220， 由解得 xm 2，y 1 2.
12、 所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 m 2， 1 2 ，半径 r m29 2 . 故圆在 y 轴上截得的弦长为 2r2 m 2 2 3， 即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题 几何化，利用数形结合思想解题. 2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d， 及半弦长 l 2，构成直角三角形的三边，利用勾股定理来处理. 【训练 4】 (1)(2020 天津卷)已知直线 x 3y80 和圆 x2y2r2(r0)相交于 A，B 两点.若|AB|6，则 r 的值为_. (2)
13、(2020 菏泽联考)已知圆 O：x2y24，直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，A(2， 2)，若|AP|2|AQ|240，则弦 PQ 的长度的最大值为_. 解 析 (1) 依 题 意 得 ， 圆 心 (0 ， 0) 到 直 线 x 3 y 8 0 的 距 离 d |8| 12（ 3）24，因此 r 2d2 |AB| 2 2 25，又 r0，所以 r5. (2)设点 M 为 PQ 的中点，则|PM|MQ|， 在APQ 中，由余弦定理易得 |AP|2|AQ|2|AM|2|PM|2|MQ|2|AM|22(|AM|2|MQ|2) 又|MQ|2|OQ|2|OM|24|OM|2，|AP|2|AQ|
14、240. 402|AM|282|OM|2，则|AM|2|OM|216， 设 M(x，y)，则(x2)2(y2)2(x2y2)16. 化简得 xy20. 当 OMl 时，OM 取到最小值，即|OM|min 2 2 2. 此时，|PQ|2|OQ|2|OM|22 2. 故弦 PQ 的长度的最大值为 2 2. 答案 (1)5 (2)2 2 A 级 巩固提升 一、选择题 1.(2020 长沙模拟)命题 p：m2，命题 q：直线(m1)xym120 与直线 mx 2y3m0 垂直，则 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若两直线垂
15、直，则(m1)m(1)20，解之得 m2 或 m1.p 是 q 成立的充分不必要条件. 答案 A 2.过点 A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A.yx1 B.yx3 C.2xy0 或 xy3 D.2xy0 或 yx1 解析 当直线过原点时，可得斜率为20 102， 故直线方程为 y2x， 当直线不过原点时，设方程为x a y a1， 代入点(1，2)可得1 a 2 a1，解得 a1， 方程为 xy10， 故所求直线方程为 2xy0 或 yx1. 答案 D 3.过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2xy50 B.2
16、xy70 C.x2y50 D.x2y70 解析 依题意知，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点.圆心(1，0)与切 点(3，1)连线的斜率为1 2，所以切线的斜率 k2.故过点(3，1)的切线方程为 y 12(x3)，即 2xy70. 答案 B 4.(2020 全国卷)点(0，1)到直线 yk(x1)距离的最大值为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 解析 设点 A(0，1)，直线 l：yk(x1)，由 l 恒过定点 B(1，0)，当 ABl 时，点 A(0，1)到直线 yk(x1)的距离最大，最大值为 2.故选 B. 答案 B 5.(2020 合肥调研)已知点 P 为圆 C：
17、(x1)2(y2)24 上一点，A(0，6)， B(4，0)，则|PA PB|的最大值为( ) A. 262 B. 264 C.2 264 D.2 262 解析 取 AB 中点 D(2，3)， 则PA PB2PD ，|PA PB|2PD |2|PD |， 又由题意知，圆 C 的圆心 C(1，2)，半径为 2， |PD |的最大值为圆心 C(1，2)到 D(2，3)的距离 d 再加半径 r， 又 d 125 26，dr 262， 2|PD |的最大值为 2 264， 即|PA PB|的最大值为 2 264. 答案 C 6.(多选题)集合 A(x，y)|x2y24，B(x，y)|(x3)2(y4)
18、2r2，其中 r0，若 AB 中有且仅有一个元素，则 r 的值是( ) A.3 B.5 C.7 D.9 解析 圆x2y24的圆心是O(0，0)，半径为R2，圆(x3)2(y4)2r2的圆 心是 C(3，4)，半径为 r，|OC|5，当 2r5，r3 时，两圆外切；当|r2| 5，r7 时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合 AB 只有一个元素.故 选 AC. 答案 AC 7.(多选题)已知点 A 是直线 l：xy 20 上一定点，点 P，Q 是圆 x2y21 上 的动点，若PAQ 的最大值为 90 ，则点 A 的坐标可以是( ) A.(0， 2) B.(1， 21) C.( 2，0) D.
19、( 21，1) 解析 如图所示，坐标原点O到直线l：xy 20的距离d 2 12121，则 直线 l 与圆 x2y21 相切，由图可知，当 AP，AQ 均为圆 x2y21 的切线时， PAQ 取得最大值，连接 OP，OQ，由于PAQ 的最大值为 90 ，且APO AQO90 ，|OP|OQ|1，则四边形 APOQ 为正方形，所以|OA| 2|OP| 2.设 A(t， 2t)，由两点间的距离公式得|OA|t2（ 2t）2 2，整理得 2t22 2t0，解得 t0 或 t 2，因此，点 A 的坐标为(0， 2)或( 2，0).故选 AC. 答案 AC 8.(多选题)已知圆 C1：x2y2r2与圆
20、C2：(xa)2(yb)2r2(r0)交于不同的两 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是( ) A.a(x1x2)b(y1y2)0 B.2ax12by1a2b2 C.x1x2a D.y1y22b 解析 圆 C2的方程为 x2y22ax2bya2b2r20，两圆的方程相减，可得 直线 AB 的方程为 2ax2bya2b20，即得 2ax2bya2b2，分别把 A(x1， y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入，可得 2ax12by1a2b2，2ax22by2a2b2， 两式相减可得 2a(x1x2)2b(y1y2)0，即 a(x1x2)b(y1y2)0，所以选项 A、B 均
21、正确；由圆的性质可得，线段 AB 与线段 C1C2互相平分，所以 x1x2 a，y1y2b，所以选项 C 正确，选项 D 不正确. 答案 ABC 二、填空题 9.(2019 北京卷)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切 的圆的方程为_. 解析 抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，准线 l 为直线 x1， 所求的圆以 F 为圆心，且与准线 l 相切，故圆的半径 r2. 所以圆的方程为(x1)2y24. 答案 (x1)2y24 10.已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y0 的距离为4 5 5 ，则圆
22、C 的方程为_. 解析 圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a0. 则圆心 C 到直线 2xy0 的距离 d|2a0| 5 4 5 5 ，解得 a2.圆 C 的半径 r |CM|（20）2（0 5）23，因此圆 C 的方程为(x2)2y29. 答案 (x2)2y29 11.已知圆C的方程是x2y28x2y80，直线l：ya(x3)被圆 C截得的弦 长最短时，直线 l 方程为_. 解析 圆 C 的标准方程为(x4)2(y1)29， 圆 C 的圆心 C(4，1)，半径 r3. 又直线 l：ya(x3)过定点 P(3，0)， 则当直线l与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.因
23、此a kCPa 10 431， a1. 故所求直线 l 的方程为 y(x3)，即 xy30. 答案 xy30 12.(2020 衡水中学检测)已知直线 AxByC0(其中 A2B2C2，C0)与圆 x2 y26 交于点 M，N，O 是坐标原点，则|MN|_，OM MN _. 解析 由于 A2B2C2，且 C0，圆心(0，0)到直线 AxByC0 的距离 d |C| A2B21.所以|MN|2 |OM|2d22612 5.设向量OM ，MN 的夹角 为 ，则 cos() 1 2|MN| |OM| 30 6 ，所以 cos 30 6 ，所以OM MN |OM |MN |cos 62 5 30 6
24、10. 答案 2 5 10 B 级 能力突破 13.直线 xy20 分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是( ) A.2，6 B.4，8 C. 2，3 2 D.2 2，3 2 解析 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径 r 2，圆心到直线 xy20 的距 离d |22| 112 2，所以圆上的点到直线的最大距离是dr3 2，最小距离是 dr 2.易知 A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2 2，所以 2SABP6. 答案 A 14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y 600 及
25、其上一点 A(2，4). (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方 程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且|BC|OA|，求直线 l 的方 程. 解 圆 M 的标准方程为(x6)2(y7)225， 所以圆心 M(6，7)，半径为 5， (1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6，y0)， 因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 所以 0y07，圆 N 的半径为 y0， 从而 7y05y0，解得 y01. 因此，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21. (2)因为直线 lOA， 所以直线 l 的斜率为40 202. 设直线 l 的方程为 y2xm， 即 2xym0， 则圆心 M 到直线 l 的距离 d|267m| 5 |m5| 5 . 因为|BC|OA|22422 5， 又|MC|2d2 |BC| 2 2 ， 所以 25（m5） 2 5 5，解得 m5 或 m15. 故直线 l 的方程为 2xy50 或 2xy150.
