1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.定理内容:如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F (x)=f(x),那么f(x)dx= F(b)-F(a) .这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 2.定理的符号表示: f(x)dx=F(x)= F(b)-F(a) . b a b a b a 1 |微积分基本定理 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其
2、应用 图1中, f(x)0,f(x)dx0,因此面积S= f(x)dx ; 图2中, f(x)0,f(x)dx0,因此面积S= -f(x)dx ; 图3中,当axc时, f(x)0,因此面积S=|f(x)|dx= -f(x)dx+f(x)dx . b a b a b a ( )d b a f xx b a b a c a b c 1.求由曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及y=0所围成的平面图形的面积S. 2 |定积分在几何中的应用 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2.求由曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(a
3、g(x)0,因此面积S= f(x)-g(x)dx ; 图5中, f(x)0,g(x)0,因此面积S= . b a ( )- ( )d b a f x g xx 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 3 |定积分在物理中的应用 1.变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间 a,b上的定积分,即s= v(t)dt . 2.变力做功 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a 移动到x=b(ab),那么变力 f(x)所做的功为W= F(x)dx
4、 . b a b a 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.若=,则f(x)=g(x).( ) 提示:根据导数与微积分基本定理可知, f(x)=g(x)+c(c为常数),故错误. 2.应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便,通常取原函数的常数项为0. ( ) 3.应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分区间上必须是连续函数. ( ) ( )d b a f xx( )d b a g xx 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用
5、4.函数y=f(x),xa,b与x轴围成的图形的面积S=f(x)dx.( ) 提示:当f(x)2.5时,v0,所以s=|5-2t|dt.故错误. 6.曲线y=x3与直线x+y=2,y=0围成的图形的面积为x3dx+(2-x)dx.( ) 7.曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为( ) 提示:曲线y=3-x2与直线y=-1交点的横坐标分别为-2,2,故其围成的图形的面积为 . b a b a 3 1 3 1 1 0 2 1 22 -2(4- )d .xx 2222 -2-2 3-(-1)d(4-)dxxxx 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用
6、导数及其应用 1 |利用定积分求平面图形的面积 利用定积分求平面图形的面积时,一般先画出函数图象,确定积分变量,解方程 组求出交点坐标,确定积分上、下限,再利用定积分求面积.特别要注意,当所围成的 图形在x轴下方时,求面积需要对定积分取绝对值. 由两条或两条以上的曲线围成的较复杂的图形,若在不同的区段内位于x轴上方和 下方的函数图象有所变化,可通过解方程组求出曲线的各交点坐标,将积分区间细 化区段,然后根据图象对各个区段分别求面积,进而求和,在每个区段上被积函数均 是由上减下;若积分变量选取x运算较为复杂,可以选y为积分变量,同时更改积分的 上下限为y的对应值,被积函数也相应改变. 第第1讲讲
7、 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()求由曲线y=与直线x+y=2,y=-x所围成的图形的面积. 解析解析 解法一:解方程组及 得交点坐标分别为(1,1),(0,0),(3,-1). x 1 3 , 2, yx xy , 1 - 3 yx yx 2, 1 -, 3 xy yx 画出草图,如图所示. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 所以S=dx+dx =dx+dx =+ 1 0 1 - - 3 xx 3 1 1 (2- )- - 3 xx 1 0 1 3 xx 3 1 2 2- 3 x 3 2
8、 2 21 36 xx 1 0 2 1 2 - 3 xx 3 1 =+6-9-2+=. 解法二:若选积分变量为y,则曲线为x=y2(y0),直线分别为x=2-y,x=-3y. 由解法一知,它们的交点坐标分别为(1,1),(0,0),(3,-1), 所以S=(2-y)-(-3y)dy+(2-y)-y2dy =(2+2y)dy+(2-y-y2)dy =(2y+y2)+ =0-(-2+1)+2-=. 2 3 1 6 1 3 1 3 13 6 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 -1 23 11 2 - 23 yyy 1 0 1 2 1 3 13 6 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概
9、念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练1()由曲线y=x2+2与直线x+y=4所围成的封闭图形的面积为 . 答案答案 解析解析 联立解得或 当-2x1时,x2+24-x, 2 2, 4, yx xy 1, 3 x y -2, 6, x y 因此,所求封闭图形的面积为=. 12 -2(4- )-( 2)dxxx 12 -2(2- - )dx xx 32 11 2 - 32 xxx 1 -2 9 2 9 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 路程、位移的计算公式 沿直线运动的物体,其经过的路程是位移的绝对值之和,从时刻t
10、=a到时刻t=b所经 过的路程和位移分别为s,s1. (1)若v(t)0(atb),则s=v(t)dt;s1=v(t)dt. (2)若v(t)0(atb),则s=-v(t)dt;s1=v(t)dt. (3)在区间a,c上,v(t)0,在区间c,b上,v(t)0,则s=v(t)dt-v(t)dt;s1=v(t)dt. 变力做功 (1)求变力做功,要根据实际意义,求出变力F(x)的表达式. (2)物体在变力F(x)的作用下,沿着F(x)的方向从x=a移动至x=b(ab)处,确定出始、 末的位置. b a b a b a b a c a b c b a 2 |利用定积分计算运动路程及变力做功 (3)
11、由变力做功公式求出W=F(x)dx,即变力 F(x)做的功. b a 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()某物体按s=4t2(t的单位:s,s的单位:m)的规律做直线运动,设物体所受的阻 力与其速度成正比,且速度等于10 m/s时,阻力为2 N,求物体从s=0到s=2阻力所做的 功. 解析解析 设物体运动的速度为v,运动时间为t,所受阻力为F(s),阻力与速度之比为k. v=s=8t,又t=,F(s)=kv=8kt=4k, 2=10k,k=,F(s)= , 物体的运动方向与所受阻力的方向相反,阻力做负功, W=ds=-=- (J). 2
12、 s s 1 5 4 5 s 2 0- ( )d F ss 2 0 4 - 5 s 8 15 3 2 s 2 0 16 15 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 导师点睛 物体做功时,若物体的位移方向与力F(s)的方向相反,则力所做的功为负值,表示物 体在克服力做功. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 答案答案 4+25ln 5 解析解析 由v(t)=7-3t+=0,可得t=4,因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s,在此期间行驶的距离为= =4+25ln 5. 25 1t 8 - 3 t 舍去 4 0 ( )dv tt 4 0 25 7-3d 1 tt t 2 3 7 -25ln(1) 2 ttt 4 0 跟踪训练跟踪训练2()一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离 (单位:m)是 . 25 1t
